6: Рішення Д'Аламбера хвильового рівняння

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.6: Неоднорідні рівняння
- 6.1: Передумови до рішення D'Alembert

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Зазвичай не корисно вивчати загальне рішення рівняння з частинними похідними. Як і будь-яке таке широке твердження, його потрібно кваліфікувати, оскільки є деякі винятки. Одним з них є одновимірне хвильове рівняння, яке має загальне рішення, завдяки французькому математику д'Аламберу.

6.1: Передумови до рішення D'Alembert
Хвильове рівняння описує хвилі, які поширюються зі швидкістю c (швидкість звуку, або світла, або що завгодно). Таким чином, будь-яке збурення до одновимірного середовища буде поширюватися або вправо- або вліво з такою швидкістю.
6.2: Нові змінні
Щоб зрозуміти рішення у всіх математичних деталах, що беруть участь у вирішенні Д'Аламберта хвильового рівняння, ми робимо зміну змінних.
6.3: Приклади
Тепер дозвольте мені розглянути два приклади.