3.1: Вступ до граничних та початкових умов

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61111

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як ви всі знаєте, рішення звичайних диференціальних рівнянь зазвичай не є унікальними (інтеграційні константи з'являються в багатьох місцях). Це, звичайно, однаково проблема для PDE. PDE зазвичай задаються через набір граничних або початкових умов. Гранична умова виражає поведінку функції на межі (межі) її області визначення. Початкова умова схожа на граничну умову, але потім для часового напрямку. Не всі граничні умови дозволяють розв'язати, але зазвичай фізика підказує, що має сенс. Нагадаю ситуацію для звичайних диференціальних рівнянь, з якими ви всі повинні бути знайомі, частка під впливом постійної сили,

\[\begin{align} {\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}} &= a. & \text{Which leads to} \\ {\frac{\partial x}{\partial t}} &= at + v_0, & \text{and}\\ x &= {\frac{1}{2}} a {t}^{2} + {v}_{0} t + {x}_{0}. & l. 21\\ \nonumber \end{align} \nonumber \]

Це містить дві константи інтеграції. Стандартною практикою було б вказати\(\frac{\partial x}{\partial t}(t=0) = v_0\) і\(x(t=0)=x_0\). Це лінійні початкові умови (лінійні, оскільки вони включають лише лінійно\(x\) та його похідні), які мають у них максимум першу похідну. Ця різниця в порядку між граничною умовою та рівнянням зберігається до PDE. очевидно, що оскільки рівняння вже включає цю похідну, ми не можемо вказати ту саму похідну в іншому рівнянні.

Важливою відмінністю між свавіллям інтеграційних констант в PDE і ODE є те, що в той час як рішення ODE це дійсно константи, рішення PDE містять довільні функції.

Наведу приклад. Візьміть

\[u = y f(x) \nonumber \]потім\[\frac{\partial u}{\partial y} = f(x). \nonumber \]

Це може бути використано для усунення\(f\) з першого з рівнянь, даючи\[u = y \frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \] які має загальне рішення\(u=yf(x)\).

Можна побудувати більш складні приклади. Розглянемо\[u(x,y) = f(x+y) + g(x-y) \nonumber \], що дає на подвійну диференціацію\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= 0. \nonumber \]

Проблема в тому, що без додаткових умов свавілля в рішеннях робить практично марним (по можливості) записувати загальне рішення. Потрібні додаткові умови, які зменшують цю свободу. У більшості фізичних задач це граничні умови, які описують, як система поводиться на своїх межах (за всі часи) і початкові умови, які визначають стан системи за початковий час\(t=0\). У розглянутій раніше задачі ОДА ми маємо дві початкові умови (швидкість і положення в часі\(t=0\)).