6: Параболічні рівняння

Тут розглядаються лінійні параболічні рівняння другого порядку. Прикладом може служити рівняння тепловіддачі

$u_t=a^2\ трикутник u,\]

де$u=u(x,t)$,,$$\in\mathbb{R}^3$$t\ge0$, і$a^2$ - позитивна константа, звана коефіцієнтом провідності. Рівняння тепловіддачі має свій початок у фізиці, де$u(x,t)$ температура$x$ в момент часу$t$, див. [20], стор. 394, наприклад.

Зауваження 1. Після масштабування осі можна припустити$a=1$.

Зауваження 2. Встановлюючи$t:=-t$, рівняння тепловіддачі змінюється на рівняння, яке називається зворотним рівнянням. Це є причиною того, що рівняння тепловіддачі описує незворотні процеси на відміну від хвильового рівняння,$\Box u=0$ яке є інваріантним щодо відображення$t\mapsto -t$. Математично це означає, що знайти розподіл температури в більш ранні терміни не представляється можливим.\(t

Розглянемо початкову задачу значення для\ (u=u (x, t)\),$t\ge0$ і$x\in\mathbb{R}^n$$u\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times R_+)$,
\ begin {eqnarray}
\ етикетки {par1}
u_t&=&\ трикутник u\\
\ label {par2}
u (x,0) &=&\ phi (x),
\ end {eqnarray}

де$\phi\in C(\mathbb{R}^n)$ дається і$\triangle\equiv\triangle_x$.

Мініатюра: Візуалізація розв'язку двовимірного рівняння теплоємності з температурою, представленою третім виміром. Зображення використовується з дозволу (Public Prodomain; Олег Александров). Рівняння тепловіддачі - це параболічне рівняння з частинними похідними, яке описує розподіл тепла (або зміни температури) в даній області з плином часу.