6.1: Формула Пуассона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61839

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Припустимо,$u$ це рішення (6.2), то, оскільки перетворення Фур'є є лінійним відображенням,

\[\widehat{u_t-\triangle u}=\hat{0}.\]

З властивостей перетворення Фур'є див. Пропозиція 5.1, ми маємо

\[\widehat{\triangle u}=\sum_{k=1}^n\widehat{\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}}=\sum_{k=1}^n i^2\xi^2_k\widehat{u}(\xi),\]

за умови існування перетворень. Таким чином, ми дійшли до звичайного диференціального рівняння для перетворення Фур'є$u$

\[\frac{d\widehat{u}}{dt}+|\xi|^2\widehat{u}=0,\]

де$\xi$ розглядається як параметр. Рішення є

\[\widehat{u}(\xi,t)=\widehat{\phi}(\xi)e^{-|\xi|^2 t}\]

так як$\widehat{u}(\xi,0)=\widehat{\phi}(\xi)$. З теореми 5.1 випливає

\ почати {екнаррай*}
u (x, t) &=& (2\ пі) ^ {-н/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\\ widhat {\ phi} (\ xi) e^ {-|\ xi|^2t} e^ {i\ xi\ cdot x}\ d\ xi\\ = & (2\ пі) ^ {i\ xi\ cdot x}\ d\ xi\\
= & (2\ пі) ^ {-i\ cdot x}\ d\ xi\\ =& (2\ пі) ^ {-n}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\\ фі (у)\ ліворуч (\ int_ {\ mathbb {R} ^n} e^ {i\ xi\ cdot (x-y) -|\ xi|^2t}\ d\ xi\ праворуч)\ dy.
\ end {еканаррей*}

Набір

$ $ К (х, у, т) = (2\ пі) ^ {-n}\ int_ {\ mathbb {R} ^n} e^ {i\ xi\ cdot (xy) -|\ xi|^2t}\ d\ xi.\]

За тими ж розрахунками, що і в доведенні теореми 5.1, step (vi), знаходимо

\ begin {рівняння}
\ мітка {ядро1}
K (x, y, t) =( 4\ pi t) ^ {-n/2} e^ {-|x-y|^2/4t}.
\ end {рівняння}

Ядро <span перекладати= \ (K (x, y, t)\)$\rho=|x-y|$,$t_1<t_2$ "висота = «213" ширина = «403" src=» https://math.libretexts.org/@api/dek.../parabfig2.jpg "/>

Малюнок 6.1.1: Ядро$K(x,y,t)$$\rho=|x-y|$,$t_1<t_2$

Таким чином, ми маємо

\ почати {рівняння}
\ мітка {poisson1}
u (x, t) =\ розрив {1} {\ лівий (2\ sqrt {\ pi t}\ праворуч) ^n}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\\ phi (z) e^ {-|x-z|^2/4t}\ dz.
\ end {рівняння}

Визначення. Формула (\ ref {poisson1}) називається формулою Пуассона}, а функція,$K$ визначена (\ ref {kernel1}), називається тепловим ядром або фундаментальним розв'язком рівняння теплоти.

Пропозиція 6.1 Ядро$K$ має такі властивості:

(i)$K(x,y,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^1_+)$,
(ii)$(\partial/\partial t\ -\triangle)K(x,y,t)=0,\ t>0$,
(iii)$K(x,y,t)>0,\ t>0$,
(iv)$\int_{\mathbb{R}^n}\ K(x,y,t)\ dy=1$,$x\in\mathbb{R}^n$,$t>0$
$\delta>0$:( v) Для кожного фіксованого

$\ lim_ {\ begin {масив} {l} t\ t0\\ t>0\ кінець {масив}}\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ setminus B_\ дельта (x)}\ K (x, y, t)\ dy=0$$

рівномірно для$x\in\mathbb{R}$.

Доказ. (i) і (iii) очевидно, і (ii) випливає з визначення$K$. Рівняння (iv) і (v) утримуються з

\ почати {екнаррай*}
\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ setminus B_\ дельта (x)}\ K (x, y, t)\ dy&= &\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ встановити мінус B_\ дельта (x)}\ (4\ pi t) ^ {-n/2} e^ {-|x-y|^42/t}\ dy\\
&= &\ pi^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ setminus B_ {\ дельта/\ sqrt {4t}} (0)} e^ {-|\ eta|^2}\ d\ eta
\ end { eqnarray*}
за допомогою підстановки$y=x+(4t)^{1/2}\eta$. Для фіксованого$\delta>0$ слід (v), а для$\delta:=0$ отримуємо (iv).

$\Box$

Теорема 6.1. Припустимо$\phi\in C(\mathbb{R}^n)$ і$\sup_{\mathbb{R}^n}|\phi(x)|<\infty$. Потім$u(x,t)$ задана формулою Пуассона (\ ref {poisson1}) знаходиться в$C^{\infty}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^1_+)$, безперервному включенні$\mathbb{R}^n\times[0,\infty)$ та розв'язанні початкової задачі (6.2), (6.3).

Доказ. Залишилося показати

$
\ lim_ {\ begin {масив} {l} x\ to\ xi\
t\ to0\ end {масив}} u (x, t) =\ phi (\ xi).
\]

$Малюнок до доказу теореми 6.1$

Малюнок 6.1.2: Рисунок до доказу теореми 6.1

Оскільки$\phi$ є безперервним існує для даного$\varepsilon>0$$\delta=\delta(\varepsilon)$ такого, що$|\phi(y)-\phi(\xi)|<\varepsilon$ якщо$|y-\xi|<2\delta$.
Набір$M:=\sup_{\mathbb{R}^n}|\phi(y)|$. Потім див. пропозицію 6.1,
$$
u (x, t) -\ phi (\ xi) =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ K (x, y, t)\ left (\ phi (y) -\ phi (\ xi)\ праворуч)\ dy.
$
Випливає, якщо$|x-\xi|<\delta$ і$t>0$, що
\ почати {екнаррай*}
|u (x, t) -\ phi (\ xi) |&\ le&\ int_ {B_ {\ дельта} (x)}\ K (x, y, t)\ ліворуч |\ phi (y) -\ phi (\ xi)\ right|\ dy\
&&+\ int_ {\ mathbb R} ^n\ встановлений мінус B_ {\ дельта} (x)}\ K (x, y, t) \ ліворуч |\ фі (y) -\ фі (\ xi)\ праворуч |\ dy\\
&\ le&\ int_ {B_ {2\ дельта} (x)}\ K (x, y, t)\ ліворуч |\ фі (у) -\ фі (\ xi)\ праворуч |\ dy\
&&2M\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ мінус B_ {\ дельта} (x)}\ K (x, y, t)\ dy\\
&\ le&\ варепсилон\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ K (x, y, t)\ dy+2m\ int_ {\ mathbb {R} ^n\ setminus B_ {\ дельта} (x)}\ K (x, y, t)\ dy\
&<&2\ varepsilon
\ end {eqnarray*}
якщо$0<t\le t_0$,$t_0$ досить малий.

$\Box$

Зауваження. 1. Унікальність випливає за додатковим припущенням зростання
$$
|u (x, t) |\ le Me^ {a|x|^2}\\ mbox {in}\ D_T,
$$
де$M$ і$a$ є додатними константами,
див. Пропозиція 6.2 нижче.
У одновимірному випадку одна має унікальність у класі$u(x,t)\ge 0$ в$D_T$, див. [10], стор. 222.

2. $u(x,t)$визначається формулою Пуассона залежить від усіх значень$\phi(y)$,$y\in\mathbb{R}^n$. Це означає, що збуренням$\phi$, навіть далеко не фіксованим$x$, впливає на значення$u(x,t)$. Це означає, що тепло рухається з нескінченною швидкістю, на відміну від досвіду.