1.0: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61865

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Передмова

Ці конспекти лекцій призначені як прямий вступ до рівнянь з частинними похідними, які можуть служити підручником для студентів та початківців аспірантів.

Для додаткового читання рекомендуємо наступні книги: Смирнов В.І. [21], Петровський І.Г. [17], П.Р. Гарабедіан [8], В.А. Штраус [23], Ф.Джон [10], Л.К. Еванс [5] і Р.Курант і Д Гільберт [4] і Д. Гілбарг і Н.С.Трудінгер [9]. Деякий матеріал цих конспектів лекцій був взятий з деяких з цих книг.

Вступ

Звичайні та частинні похідні рівняння зустрічаються у багатьох додатках. Звичайне похідне рівняння є окремим випадком рівняння з частинними похідними, але поведінка розв'язків в цілому досить інша, викликана тим, що функції, для яких ми розглядаємо, є функціями більш ніж однієї незалежної змінної.

Рівняння

$ $ F (x, y (x), y' (x),\ ldpots, y^ {(n)}) =0\]

звичайне диференціальне рівняння n-го порядку для невідомої функції$y(x)$, де$F$ задано.

Важливою задачею для звичайних диференціальних рівнянь є задача початкового значення

\ begin {екнаррай*}
y' (x) &=&f (x, y (x))\\
y (x_0) &=&y_0\,
\ end {екнаррай*}

де$f$ задана дійсна функція двох змінних$x$,$y$ і$x_0,$, задані$ y_0$ дійсні числа.

Теорема Пікарда-Лінделефа. Припустимо,
(i)$f(x,y)$ є безперервним у прямокутнику

$ $ Q =\ {(x, y)\ in {{\ mathbb R} ^2}:\ |x-x_0|<a,\ |y-y_0|<b\}. $$

(ii) Існує постійна$K$ така, що$|f(x,y)|\le K$ для всіх$(x,y) \in Q$.
(ii) умова Ліпшица: Існує постійна$L$ така, що

$|ф (х, у_2) -ф (х, у_1) |\ ле L|Y_2-Y_1|$$

для всіх$(x,y_1), (x,y_2)$.

$Задача про початкове значення$

Малюнок 1.0.1: Проблема початкового значення

Тоді існує унікальне рішення$y\in C^1(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$ вищевказаної задачі початкового значення, де$\alpha=\min (b/K,a)$.

Лінійне звичайне диференційне рівняння

$ $ y^ {(n)} +a_ {n-1} (x) y^ {(n-1)} +\ lточки a_1 (x) y'+a_0 (x) y=0,\]

де$a_j$ знаходяться неперервні функції, має точно$n$ лінійно незалежні рішення. На відміну від цієї властивості частинний похідний$u_{xx}+u_{yy}=0$ в${\mathbb R}^2$ має нескінченно багато лінійно незалежних розв'язків у лінійному просторі$C^2(\mathbb{R})^2$.

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

$ $ у "(х) = f (x, y (x), y '(x))\]

має в цілому сімейство рішень з двома вільними параметрами. Таким чином, природно розглядати пов'язану з нею проблему початкового значення

\ begin {eqnarray*}
y "(x) &=&f (x, y (x), y' (x))\\
y (x_0) &=&y_0,\ y' (x_0) =y_1,
\ end {eqnarray*}
де$y_0$ і$y_1$ задано, або розглянути граничну задачу
\ begin {eqnarray*}
y "(x) &=&f (x, y (x), y' (x))\\
y (x_0) &=&y_0,\ y (x_1) =y_1.
\ end {еканаррей*}

$альт$

Малюнок 1.0.2: Крайова задача

Початкові та крайові задачі відіграють важливу роль також у теорії рівнянь з частинними похідними. Наприклад, рівняння з частинними похідними для$u(x,y)$ невідомої функції

$F (х, у, у, у_х, у_й, у_ {хх}, u_ {xy}, u_ {yy}) =0,\]

де$F$ задана функція. Це рівняння другого порядку.

Рівняння вважається n-го порядку, якщо найвища похідна, яка виникає, має порядок$n$.

Рівняння вважається лінійним, якщо невідома функція та її похідні лінійні$F$. Наприклад,

$ $ а (х, у) u_x+b (x, y) u_y+c (x, y) u=f (x, y),\]

де функції$a$$b$,$c$ і задані$f$, - лінійне рівняння першого порядку.

Рівняння вважається квазілінійним, якщо воно лінійне у найвищих похідних. Наприклад,

$ $ а (х, у, у, у_х, у_й) у_ {хх} +б (х, у, у, у_х, у_й) u_ {xy} +c (x, y, u, u_x, u_y) u_ {yy} =0\]

квазілінійне рівняння другого порядку.