1.1: Приклади

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.0: Вступ
- 1.2: звичайні диференціальні рівняння

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Приклад 1.1.1:

$u_y=0$ , де $u=u(x,y)$ . Всі функції $u=w(x)$ є рішеннями.

Приклад 1.1.2:

$u_x=u_y$ , де $u=u(x,y)$ . Зміна координат перетворює це рівняння в рівняння першого прикладу. Встановити $\xi=x+y,\ \eta=x-y$ , потім
$$
u (x, y) =u\ ліворуч (\ frac {\ xi+\ eta} {2},\ frac {\ xi-\ eta} {2}\ праворуч) =:v (\ xi,\ eta).
$
Припустимо $u\in C^1$ , тоді

$v_\ eta=\ frac {1} {2} (u_x-u_y).$
Якщо

$u_x=u_y$ , то

$v_\eta=0$ і навпаки, таким чином,

$v=w(\xi)$ є розв'язками для довільних

$C^1$ -функцій

$w(\xi)$ . Отже, маємо великий клас розв'язків вихідного рівняння з частинними похідними:

$u=w(x+y)$ з довільною

$C^1$ -функцією

$w$ .

Приклад 1.1.3:

Необхідна і достатня умова така, що для заданих $C^1$ -функцій $M,\ N$
інтеграл

$\ int_ {P_0} ^ {P_1}\ M (x, y) dx+n (x, y) dy$
не залежить від кривої, яка з'єднує точки

$P_0$

$P_1$ в простому зв'язку область

$\Omega\subset\mathbb{R}^2$ полягає в тому, що рівняння з частинними похідними (умова інтегровності)

$M_Y=N_x$
в

$\Omega$ .

$незалежність шляху$

Малюнок 1.1.1: Незалежність шляху

Це одне рівняння для двох функцій. Великий клас розв'язків задається тим $M=\Phi_x,\ N=\Phi_y$ , де $\Phi(x,y)$ - довільна $C^2$ -функція. З теореми Гаусса випливає, що це все $C^1$ -розв'язки вищевказаного диференціального рівняння.

Приклад 1.1.4: Метод інтегруючого множника для звичайного

диференціальний

рівняння

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння

$M (x, y) Dx+n (x, y) dy=0$
для заданих

$C^1$ -функцій

$M,\ N$ . Тоді ми шукаємо

$C^1$ -функцію

$\mu(x,y)$ таку, яка

$\mu Mdx+\mu Ndy$ є загальним диференціалом, тобто., що

$(\mu M)_y=(\mu N)_x$ задовольняється. Це лінійне рівняння з частинними похідними першого порядку для

$\mu$ :
$$
M\ mu_y-n\ mu_x=\ mu (n_x-m_y).
\]

Приклад 1.1.5:

Дві $C^1$ -функції $u(x,y)$ і $v(x,y)$ вважаються функціонально залежними, якщо

$\ det\ left (\ begin {array} {cc} u_x&u_y\\ v_x&v_y\ end {array}\ right) =0,$ ,
що є лінійним рівнянням з частинними похідними першого порядку для

$u$ if

$v$ є заданою

$C^1$ -функцією. Великий клас розв'язків задається

$u=H (v (x, y)),$
де

$H$ довільна

$C^1$ -функція.

Приклад 1.1.6: Рівняння Коші-Рімана

Набір $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , де $z=x+iy$ і $u,\ v$ задані $C^1(\Omega)$ -функції. $\Omega$ Ось домен в $\mathbb{R}^2$ . Якщо функція $f(z)$ диференційовна відносно комплексної змінної, $z$ то $u,\ v$ задовольняють рівняння Коші-Рімана

$u_x=v_y,\\ u_y=-v_x.$ З теорії функцій однієї комплексної змінної
відомо, що дійсна частина

$u$ та уявна частина

$v$ диференційовної функції

$f(z)$ є розв'язками рівняння Лапласа

$\ трикутник u=0,\\ трикутник v=0,$
де

$\triangle u= u_{xx}+u_{yy}$ .

Приклад 1.1.7: Потенціал Ньютона

Потенціал Ньютона
$$
u=\ frac {1} {\ sqrt {x^2+y^2+z^2}
$
є розв'язком рівняння Лапласа в $\mathbb{R}^3\setminus{(0,0,0)}$ , тобто

$u_ {xx} +u_ {yy} +u_ {zz} =0.
\]

Приклад 1.1.8: Рівняння теплоти

$u(x,t)$ Дозволяти бути температура точки $x\in\Omega$ в той час $t$ , де $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ є домен. Потім $u(x,t)$ задовольняє в $\Omega\times[0,\infty)$ рівнянні
теплопровідності

$u_t=k\ трикутник u,$
де

$\triangle u= u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}+u_{x_3x_3}$ і

$k$ є додатною константою. Умова

$u (x,0) =u_0 (x),\\ x\ in\ Omega,$
де задано,

$u_0(x)$ є початковою умовою, пов'язаною з вищевказаним рівнянням теплоти. Умова

$u (x, t) =h (x, t),\\ x\ in\ partial\ Omega,\ t\ ge0,$
де

$h(x,t)$ задано, є граничною умовою для рівняння теплоти.

Якщо $h(x,t)=g(x)$ , $h$ тобто, не залежить від $t$ , то можна очікувати, що рішення $u(x,t)$ прагне до функції $v(x)$ if $t\to\infty$ . Більш того, виходить, що $v$ є розв'язком крайової задачі для рівняння Лапласа
\ begin {eqnarray*}
\ трикутника v&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\
v&=&g (x)\\\ mbox {on}\\ partial\ Omega.
\ end {еканаррей*}

Приклад 1.1.9: Хвильове рівняння

$альт$
Малюнок 1.1.2: Коливальна струна

Хвильове рівняння

$u_ {tt} =c^2\ трикутник u,$
де

$u=u(x,t)$ ,

$c$ є додатною константою, описує коливання мембран або тривимірних областей, наприклад. В одновимірному випадку

$u_ {tt} =c^2 u_ {xx}$
описує коливання рядка.

Пов'язаними початковими умовами є

$u (x,0) =u_0 (x),\\ u_t (x,0) =u_1 (x),$
де

$u_0,\ u_1$ задані функції. Таким чином прописується початкове положення і початкова швидкість.

Якщо рядок скінченний, то додатково описується граничні умови, наприклад
$$
u (0, t) =0,\ u (l, t) =0\\ mbox {for all}\ t\ ge 0.
\]