2.3E: Існування та єдиність розв'язків нелінійних рівнянь (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62354

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q2.3.1

У вправах 2.3.1-2.3.13 знайти все,\((x_0,y_0)\) для чого теорема 2.3.1 передбачає, що задача початкового значення\(y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0\) має (а) розв'язок і (b) унікальний розв'язок на деякому відкритому інтервалі, який містить\(x_0\).

1. \( {y'={x^2+y^2 \over \sin x}}\)

2. \( {y'={e^x+y \over x^2+y^2}}\)

3. \(y'= \tan xy\)

4. \( {y'={x^2+y^2 \over \ln xy}}\)

5. \(y'= (x^2+y^2)y^{1/3}\)

6. \(y'=2xy\)

7. \( {y'=\ln(1+x^2+y^2)}\)

8. \( {y'={2x+3y \over x-4y}}\)

9. \( {y'=(x^2+y^2)^{1/2}}\)

10. \(y' = x(y^2-1)^{2/3}\)

11. \(y'=(x^2+y^2)^2\)

12. \(y'=(x+y)^{1/2}\)

13. \( {y'={\tan y \over x-1}}\)

Q2.3.2

14. Застосуйте теорему 2.3.1 до початкової задачі\[y'+p(x)y = q(x), \quad y(x_0)=y_0\] для лінійного рівняння та порівняйте висновки, які можна зробити з неї, з тими, що випливають з теореми 2.1.2.

15.

Переконайтеся, що функція\[y = \left\{ \begin{array}{cl} (x^2-1)^{5/3}, & -1 < x < 1, \\[6pt] 0, & |x| \ge 1, \end{array} \right.\] є розв'язанням початкової задачі значення\[y'={10\over 3}xy^{2/5}, \quad y(0)=-1\] на\((-\infty,\infty)\). ПІДКАЗКА: Вам знадобиться визначення,\[y'(\overline{x})=\lim_{x\to\overline{x}}\frac{y(x)-y(\overline{x})}{x-\overline{x}}\] щоб переконатися, що\(y\) задовольняє диференціальне рівняння на\(\overline{x}=\pm 1\).
Переконайтеся\(i=1\), що якщо\(\epsilon_i=0\) або\(1\) for\(a\)\(b>1\),\(2\) і, то функція\[y = \left\{ \begin{array}{cl} \epsilon_1(x^2-a^2)^{5/3}, & - \infty < x < -a, \\[6pt] 0, & -a \le x \le -1, \\[6pt] (x^2-1)^{5/3}, & -1 < x < 1, \\[6pt] 0, & 1 \le x \le b, \\[6pt] \epsilon_2(x^2-b^2)^{5/3}, & b < x < \infty, \end{array} \right.\] є розв'язанням початкової задачі значення увімкнення\((-\infty,\infty)\).

16. Використовуйте ідеї, розроблені у Вправі 2.3.15, щоб знайти нескінченно багато розв'язків початкової задачі\[y'=y^{2/5}, \quad y(0)=1\] на\((-\infty,\infty)\).

17. Розглянемо початкову задачу значення\[y' = 3x(y-1)^{1/3}, \quad y(x_0) = y_0. \tag{A} \]

Для яких пунктів\((x_0,y_0)\) Теорема 2.3.1 означає, що (А) має рішення?
Для яких пунктів теорема 2.3.1 означає, що (A) має\((x_0,y_0)\) унікальне рішення на деякому відкритому інтервалі, який містить\(x_0\)?

18. Знайти дев'ять розв'язків початкової задачі\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(0)=1\], які всі\((-\infty,\infty)\) визначені і відрізняються один від одного для значень кожного\(x\) відкритого інтервалу, який містить\(x_0=0\).

19. З теореми 2.3.1, початкова задача\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(0)=9\] має унікальний розв'язок на відкритому інтервалі, який містить\(x_0=0\). Знайдіть рішення і визначте найбільший відкритий інтервал, на якому воно унікальне.

20.

З теореми 2.3.1, початкова задача\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(3)=-7 \tag{A} \] має унікальний розв'язок на деякому відкритому інтервалі, який містить\(x_0=3\). Визначте найбільший такий відкритий інтервал, і знайдіть рішення на цьому інтервалі.
Знайти нескінченно багато розв'язків (A), всі визначені на\((-\infty,\infty)\).

21. Доведіть:

Якщо\[f(x,y_0) = 0,\quad a<x<b, \tag{A} \] і\(x_{0}\) знаходиться в\((a,b)\), то\(y≡y_{0}\) це рішення\[\begin{aligned} y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0}\end{aligned}\] на\((a,b)\).
Якщо\(f\) і\(f_y\) є неперервними на відкритому прямокутник, який містить\((x_0,y_0)\) і (A) тримає, жодне рішення\(y'=f(x,y)\) іншого, ніж не\(y\equiv y_0\) може дорівнювати в\(y_0\) будь-якій точці\((a,b)\).