7.3: Гамма-функція
- Page ID
- 61563
Ще однією функцією, яка часто виникає при вивченні спеціальних функцій, є гамма-функція. Нам знадобиться функція Gamma в наступному розділі, присвяченому функціям Бесселя.
Для\(x>0\) ми визначаємо функцію Gamma як
\[\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} d t, \quad x>0 \label{7.36} \]
Гамма-функція є узагальненням факторіальної функції. Насправді у нас є
\[\Gamma(1)=1 \nonumber \]
і
\[\Gamma(x+1)=x \Gamma(x). \nonumber \]
Читач може довести цю особу, просто виконавши інтеграцію частинами. (Див. Проблема 7.7.) Зокрема, для цілих чисел\(n \in Z^{+}\), ми потім
\[\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n(n-1) \Gamma(n-2)=n(n-1) \cdots 2 \Gamma(1)=n !. \nonumber \]
Ми також можемо визначити гамма-функцію для від'ємних, нецілих значень\(x\). Спочатку зауважимо, що шляхом ітерації\(n \in Z^{+}\), ми маємо
\[\Gamma(x+n)=(x+n-1) \cdots(x+1) x \Gamma(x), \quad x<0, \quad x+n>0 \text {. } \nonumber \]
Вирішуючи для\(\Gamma(x)\), ми потім знаходимо
\[\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma(x+n)}{(x+n-1) \cdots(x+1) x}, \quad-n<x<0 \nonumber \]
Зауважте, що функція Gamma не визначена при нулі та від'ємних цілих чисел.
\[\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} . \nonumber \]
Це робиться шляхом безпосереднього обчислення інтеграла:
\[\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty} t^{-\dfrac{1}{2}} e^{-t} d t \nonumber \]
Відпускаючи\(t=z^{2}\), у нас є
\[\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=2 \int_{0}^{\infty} e^{-z^{2}} d z \nonumber \]
За рахунок симетрії цілого, отримуємо класичний інтеграл
\[\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^{2}} d z \nonumber \]
який можна виконати за допомогою стандартного трюку. Розглянемо інтегральний
\[I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x \nonumber \]
Потім,
\[I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}} d y \nonumber \]
Зверніть увагу, що ми змінили змінну інтеграції. Це дозволить записати цей добуток інтегралів як подвійний інтеграл:
\[I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y . \nonumber \]
Це інтеграл по всій\(x y\) -площині. Ми можемо перетворити цю декартову інтеграцію в інтеграцію над полярними координатами. Інтеграл стає
\[I^{2}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r d r d \theta \nonumber \]
Це просто інтегрувати, і ми маємо\(I^{2}=\pi\). Отже, кінцевий результат знаходимо, взявши квадратний корінь з обох сторін:
\[\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=I=\sqrt{\pi} . \nonumber \]
Ми бачили, що факторіальна функція може бути записана термінами гамма-функцій. Можна записати парні та непарні подвійні факторіали як
\[(2 n) ! !=2^{n} n !, \quad(2 n+1) ! !=\dfrac{(2 n+1) !}{2^{n} n !} \nonumber \]
Зокрема, можна написати
\[\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(2 n-1) ! !}{2^{n}} \sqrt{\pi} . \nonumber \]
Ще одне корисне відношення, яке ми тільки констатуємо, це
\[\Gamma(x) \Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin \pi x} . \nonumber \]