6.1: Вступ
- Page ID
- 61645
У фізиці багато задач виникають у вигляді крайових задач, що включають звичайні диференціальні рівняння другого порядку. Наприклад, ми можемо захотіти вирішити рівняння
\[a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \label{6.1} \]
за умови дотримання граничних умов. Таке рівняння ми можемо записати в операторній формі, визначивши диференціальний оператор.
\[L = a_2(x) \dfrac{d^2}{dx^2} + a_1(x) \dfrac{d}{dx} + a_0(x). \nonumber \]
Потім рівняння\ ref {6.1} набуває вигляду
\[Ly = f. \nonumber \]
Як ми бачили в загальній крайовій задачі (4.20) у розділі 4.3.2, ми можемо розв'язати деякі рівняння за допомогою власних розширень. А саме, шукаємо розв'язки задачі на власні значення.
\[L \phi = \lambda \phi \nonumber \]
з однорідними граничними умовами, а потім шукати рішення як розширення власних функцій. Формально ми дозволимо
\[y=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}. \nonumber \]
Однак нам не гарантується хороший набір власних функцій. Нам потрібен відповідний набір, щоб сформувати основу в функціональному просторі. Крім того, було б непогано мати ортогональність, щоб ми могли легко вирішити коефіцієнти розширення, як це було зроблено в розділі 4.3.2. [Інакше нам доведеться вирішити нескінченну зв'язану систему алгебраїчних рівнянь замість незв'язаної та діагональної системи.
Виходить, що будь-який лінійний оператор другого порядку може бути перетворений в оператор, який володіє якраз правильними властивостями (самозближеність для виконання цієї процедури). Отриманий оператор називається оператором Штурма-Ліувіля. Ми виділимо деякі властивості таких операторів і доведемо кілька ключових теорем, хоча це не буде великим оглядом теорії Штурма-Ліувілля. Зацікавлений читач може переглянути літературу та більш просунуті тексти для більш глибокого аналізу.
Визначаємо оператор Штурма-Ліувіля як
\[\mathcal{L}=\dfrac{d}{d x} p(x) \dfrac{d}{d x}+q(x) \label{6.2} \]
Задача Штурма-Ліувіля на власні значення задається диференціальним рівнянням
\[\mathcal{L} u=-\lambda \sigma(x) u \nonumber \]
або
\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d u}{d x}\right)+q(x) u+\lambda \sigma(x) u=0 \label{6.3} \]
для\(x \in(a, b)\). Функції\(p(x), p^{\prime}(x), q(x)\) і\(\sigma(x)\) приймаються безперервними ввімкнено\((a, b)\) і\(p(x)>0, \sigma(x)>0\) ввімкнено\([a, b]\). Якщо інтервал кінцевий і ці припущення щодо коефіцієнтів істинні\([a, b]\), то проблема, як кажуть, регулярна. Інакше його називають одниною.
Нам також потрібно накласти безліч однорідних граничних умов.
\ [\ почати {зібраний}
\ альфа_ {1} u (a) +\ beta_ {1} u^ {\ прайм} (a) =0\\
\ alpha_ {2} u (b) +\ beta_ {2} u^ {\ прайм} (b) =0
\ кінець {зібраний}\ мітка {6.4}\]
The і\(\alpha\) '\(\beta\)s є константами. Для різних значень існують спеціальні типи граничних умов. Бо\(\beta_{i}=0\), ми маємо так звані крайові умови Діріхле. А саме,\(u(a)=0\) і\(u(b)=0\). Для\(\alpha_{i}=0\), ми маємо граничні умови Неймана. В даному випадку\(u^{\prime}(a)=0\) і\(u^{\prime}(b)=0\). Що стосується прикладу рівняння тепловіддачі, умови Діріхле відповідають підтримці фіксованої температури на кінцях стрижня. Граничні умови Неймана відповідали б відсутності теплового потоку по кінцях або ізоляційним умовам, оскільки в цих точках не було б градієнта температури. Більш загальні граничні умови допускають частково ізольовані межі.
Інший тип граничної умови, який часто зустрічається, - періодична гранична умова. Розглянемо нагрітий стрижень, який був зігнутий, щоб утворити коло. Тоді дві кінцеві точки фізично однакові. Отже, ми очікуємо, що температура та градієнт температури повинні узгоджуватися в цих точках. Для цього випадку пишемо\(u(a) = u(b)\) і\(u′(a) = u′(b)\). Крайові задачі з використанням цих умов повинні оброблятися інакше, ніж зазначені вище однорідні умови. Ці умови призводять до різних типів власних функцій і власних значень.
Як вже говорилося раніше, рівняння виду (Equation\ ref {6.1}) зустрічаються часто. Тепер ми покажемо, що рівняння (\ ref {6.1}) можна перетворити на диференціальне рівняння форми Штурма-Ліувіля:
\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) . \label{6.5} \]
Ще один спосіб висловити це наводиться в теоремі:
Будь-який лінійний оператор другого порядку можна поставити у вигляді оператора Штурма-Ліувіля (6.2).
Доказ цього прямо вперед, як ми скоро покажемо. Розглянемо рівняння (6.1). Якщо\(a_{1}(x)=a_{2}^{\prime}(x)\), то ми можемо записати рівняння у вигляді
\ [\ почати {вирівняний}
f (x) &=a_ {2} (x) y^ {\ прайм\ прайм} +a_ {1} (x) y^ {\ прайм} +a_ {0} (x) y\\
&=\ лівий (a_ {2} (x) y^ {\ прайм}\ прайм} +a_ {0} (x) y^ {\ прайм} +a_ {0} (x) кінець {вирівняний}\ мітка {6.6}\]
Це в правильній формі. Ми просто ідентифікуємо\(p(x)=a_{2}(x)\) і\(q(x)=a_{0}(x)\).
Однак розглянемо диференціальне рівняння
\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0. \nonumber \]
В даному випадку\(a_{2}(x)=x^{2}\) і\(a_{2}^{\prime}(x)=2 x \neq a_{1}(x)\). Лінійний диференціальний оператор у цьому рівнянні не має типу Штурма-Ліувіля. Але ми можемо змінити його на оператора Sturm Liouville.
У операторі Sturm Liouville похідні члени зібрані разом в одну досконалу похідну. Це схоже на те, що ми бачили в першому розділі, коли ми вирішували лінійні рівняння першого порядку. У цьому випадку ми шукали інтеграційний фактор. Ми можемо зробити те ж саме тут. Ми шукаємо мультиплікативну функцію\(\mu(x)\), яку ми можемо помножити через (6.1), щоб її можна було записати у формі Штурма-Ліувіля. Спочатку ділимо на\(a_{2}(x)\), даючи
\[y^{\prime \prime}+\dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\dfrac{f(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]
Тепер помножимо диференціальне рівняння на\(\mu\):
\[\mu(x) y^{\prime \prime}+\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\mu(x) \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\mu(x) \dfrac{f(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]
Перші два члени тепер можуть бути об'єднані в точну похідну,\(\left(\mu y^{\prime}\right)^{\prime}\) якщо\(\mu(x)\) задовольняє
\[\dfrac{d \mu}{d x}=\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]
Це формально вирішено дати
\[\mu(x)=e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} . \nonumber \]
Таким чином, вихідне рівняння можна помножити на коефіцієнт
\[\dfrac{\mu(x)}{a_{2}(x)}=\dfrac{1}{a_{2}(x)} e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} \nonumber \]
перетворити його в форму Штурм-Ліувіль.
\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=f(x), \label{6.7} \]
можна поставити у форму Штурма-Ліувіля
\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) \label{6.8} \]
де
\ [\ почати {зібраний}
р (х) =e^ {\ int\ dfrac {a_ {1} (x)} {a_ {2} (x)} д х},\\
q (x) =p (x)\ dfrac {a_ {0} (x)} {a_ {2} (x)},\\
F (x) =p (x) frac {f (x)} {a_ {2} (x)}
\ кінець {зібраний}\ мітка {6.9}\]
Для наведеного вище прикладу,
\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0. \nonumber \]
Рішення
Нам потрібно лише помножити це рівняння на
\[\dfrac{1}{x^{2}} e^{\int \dfrac{d x}{x}}=\dfrac{1}{x}, \nonumber \]
поставити рівняння у вигляді Штурма-Ліувіля:
\ [\ почати {вирівняний}
0 &=x y^ {\ прайм\ прайм} +y^ {\ прайм} +\ dfrac {2} {x} y\\
&=\ лівий (x y^ {\ прайм}\ прайм}) ^ {\ прайм} +\ dfrac {2} {x} y.
\ end {вирівняний}\ мітка {6.10}\]