Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3: Розв'язок логістичного рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61692

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми бачили, що не потрібно явного розв'язку логістичного рівняння (3.2) для вивчення поведінки його розв'язків. Однак логістичне рівняння є прикладом нелінійного рівняння першого порядку, яке можна розв'язати. Це приклад рівняння Ріккаті.

    Загальна форма рівняння Ріккаті

    Знімок екрана 2022-06-30 в 6.35.53 PM.png
    Малюнок 3.3. Фазова лінія для\(y' = y - y^2\).

    \[\dfrac{d y}{d t}=a(t)+b(t) y+c(t) y^{2} \label{3.4} \]

    До тих пір\(c(t) \neq 0\), поки це рівняння може бути зведено до лінійного диференціального рівняння другого порядку шляхом перетворення

    \[y(t)=-\dfrac{1}{c(t)} \dfrac{\dot{x}(t)}{x(t)} \nonumber \]

    Ми продемонструємо це, використовуючи простий випадок логістичного рівняння,

    \[\dfrac{d y}{d t}=k y-c y^{2} \label{3.5} \]

    Ми пускаємо

    \[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x} \nonumber \]

    Тоді

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {d y} {d t} &=\ dfrac {1} {c}\ лівий [\ dfrac {\ ddot {x}} {x}} {2}\ праворуч]\\ dfrac {1} {x}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч]\\
    &=\ dfrac {1} {c}\ вліво [\ dfrac {\ ddot {x}} {x} - (c y) ^ {2}\ праворуч]\\
    &=\ dfrac {1} {c}\ dfrac {\ ddot {x}} {x} -c y^ {2}
    \ кінець {вирівняний}\ мітка {3.6}\]

    Вставивши це в логістичне рівняння (3.5), ми маємо

    \(\dfrac{1}{c} \dfrac{\ddot{x}}{x}-c y^{2}=k \dfrac{1}{c}\left(\dfrac{\dot{x}}{x}\right)-c y^{2}\),

    або

    \[\ddot{x}=k \dot{x} \nonumber \]

    Це рівняння легко вирішується, щоб дати

    \[x(t)=A+B e^{k t} \nonumber \]

    Тому у нас є рішення логістичного рівняння

    \[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x}=\dfrac{k B e^{k t}}{c\left(A+B e^{k t}\right)} \nonumber \]

    Виявляється, що у нас є дві довільні константи. Але, ми почали з диференціального рівняння першого порядку і очікуємо тільки однієї довільної константи. Однак ми можемо вирішити це, розділивши чисельник і знаменник на\(k B e^{k t}\) і визначивши\(C=\dfrac{A}{B}\). Тоді у нас є

    \[y(t)=\dfrac{k / c}{1+C e^{-k t}} \label{3.7} \]

    показуючи, що насправді є тільки одна довільна константа в розчині.

    Слід зазначити, що це не єдиний спосіб отримати рішення логістичного рівняння, хоча він дає введення в рівняння Ріккаті. Більш прямим підходом було б використання поділу змінних на логістичному рівнянні. Читач повинен переконатися в цьому.