Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1: Вступ

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61723

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Більшість ваших досліджень диференціальних рівнянь на сьогоднішній день були вивченням лінійних диференціальних рівнянь і загальних методів їх розв'язання. Однак реальний світ дуже нелінійний. Отже, навіщо вивчати лінійні рівняння? Тому що вони більш охоче вирішуються. Як ви пам'ятаєте, для отримання загальних розв'язків можна використовувати властивість лінійного накладання розв'язків лінійних диференціальних рівнянь. Ми побачимо, що іноді можна наблизити розв'язки нелінійних систем з лінійними системами в малих областях фазового простору.

    Загалом нелінійні рівняння не можуть бути розв'язані, отримуючи загальні розв'язки. Однак ми часто можемо досліджувати поведінку розв'язків, фактично не маючи можливості знайти прості вирази з точки зору елементарних функцій. Коли ми хочемо стежити за еволюцією цих рішень, ми вдаємося до чисельного вирішення наших диференціальних рівнянь. Такі чисельні методи потрібно виконувати з обережністю і існує безліч технік, які можна використовувати. Ми не будемо вдаватися в ці прийоми в цьому курсі. Однак ми можемо використовувати системи комп'ютерної алгебри, або комп'ютерні програми, вже розроблені для отримання таких рішень.

    Нелінійні проблеми виникають природним шляхом. Ми побачимо проблеми з багатьох тих самих полів, які ми досліджували в розділі 2.9. Одним із прикладів є динаміка чисельності населення. Як правило, ми маємо певну популяцію\(y(t)\), і диференціальне рівняння, що регулює поведінку зростання цієї популяції, розробляється аналогічно тому, який використовувався раніше для змішування задач. Відзначимо, що швидкість зміни населення задається Rate In мінус Rate Out. Rate In задається кількістю видів, народжених за одиницю часу. Rate Out задається числом, яке вмирає за одиницю часу.

    Просту модель популяції можна отримати, якщо припустити, що ці показники лінійні в популяції. Таким чином, ми припускаємо, що Rate In = по і Rate Out = мій. Тут ми позначили народжуваність як\(b\) і рівень смертності як\(m\),. Це дає швидкість зміни чисельності населення як

    \[\dfrac{dy}{dt} = by - my \label{3.1} \]

    Як правило, ці ставки можуть залежати від часу. У випадку, якщо вони обидва є постійними швидкостями, ми можемо визначити\(k = b − m\) та отримати знайому експоненціальну модель:

    \[\dfrac{dy}{dt} = ky \nonumber \]

    Це легко вирішується, і один отримує експоненціальне зростання (\(k > 0\)) або розпад (\(k < 0\)). Ця модель була названа на честь Мальтуса, священнослужителя, який використовував цю модель, щоб попередити про майбутню загибель людського роду, якщо її репродуктивна практика продовжуватиметься.

    Однак, коли населення стає досить великим, існує конкуренція за ресурси, такі як простір та їжа, що може призвести до більш високого рівня смертності. Таким чином, рівень смертності може залежати від чисельності населення,\(m=m(y)\). Найпростішою моделлю буде лінійна залежність,\(m=\tilde{m}+c y\). Потім попередня експоненціальна модель набуває вигляду

    \[\dfrac{dy}{dt} = ky - cy^2 \label{3.2} \]

    Це відоме як логістична модель зростання населення. Як правило,\(c\) невеликий, і доданий нелінійний термін насправді не вдаряється до тих пір, поки населення не стане достатньо великим.

    Хоча можна вирішити саме це рівняння, повчально вивчати якісну поведінку розв'язків, фактично не записуючи явних розв'язків. Такі методи корисні для більш складних нелінійних рівнянь. Ми будемо досліджувати деякі прості рівняння першого порядку в наступному розділі. У наступному розділі ми представляємо аналітичне рішення для повноти.

    Ми відновимо наші дослідження систем рівнянь та різних застосувань протягом решти цієї глави. Ми побачимо, що ми можемо отримати досить багато інформації про поведінку рішень, використовуючи деякі з наших попередніх методів для лінійних систем.