9.3: Серія Фур'є

Переглянути підручник на YouTube

Наше рішення дифузійних і хвильових рівнянь потребуватиме використання ряду Фур'є. Періодична функція\(f(x)\) з періодом\(2L\), може бути представлена у вигляді ряду Фур'є у вигляді \[\label{eq:1}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).\]

Визначення коефіцієнтів\(a_0,\: a_1,\: a_2,\ldots\) і\(b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots\) використовує співвідношення ортогональності для синуса і косинуса. Спочатку ми визначаємо широко використовувану дельту Кронекера\(\delta_{nm}\) як\[\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{rl}1&\text{if }n=m; \\ 0&\text{otherwise.}\end{array}\right.\nonumber\]

Відносини ортогональності для\(n\) і\(m\) додатних цілих чисел задаються компактними позначеннями як інтеграційні формули \[\label{eq:2} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},\]\[\label{eq:3}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},\]\[\label{eq:4}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=0.\]

Щоб проілюструвати метод інтеграції, який використовується для отримання цих результатів, ми виведемо\(\eqref{eq:3}\) припущення, що\(n\) і\(m\) є додатними цілими числами з\(n\neq m\). Змінюючи змінні на\(ξ = \pi x/L\), отримуємо\[\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin&\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \\ &=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(m\xi)\sin(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi [\cos ((m-n)\xi)-\cos((m+n)\xi)]d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\frac{1}{m-n}\sin((m-n)\xi)-\frac{1}{m+n}\sin((m+n)\xi)\right]_{-\pi}^\pi \\ &=0.\end{aligned}\]

Для\(m=n\), однак,\[\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin^2(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi(1-\cos(2n\xi))d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\xi-\frac{1}{2n}\sin 2n\xi\right]_{-\pi}^\pi \\ &=L.\end{aligned}\]

Формули інтеграції,\(\eqref{eq:2}\) наведені і\(\eqref{eq:4}\) можуть бути аналогічно виведені.

Для визначення коефіцієнта\(a_n\) множимо обидві сторони\(\eqref{eq:1}\) на\(\cos (n\pi x/L)\) невід'ємне\(n\) ціле число, і міняємо фіктивну змінну\(n\) підсумовування з на\(m\). Інтегруючи\(x\) від\(−L\) до\(L\) і припускаючи, що інтеграція може бути здійснена термін за терміном в нескінченній сумі, отримуємо\[\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}\]

Якщо\(n = 0\), то другий і третій інтеграли з правого боку дорівнюють нулю, а перший інтеграл\(2L\) таким чином, що права сторона стає\(La_0\). Якщо\(n\) є натуральним числом, то перший і третій інтеграли праворуч дорівнюють нулю, а другий інтеграл дорівнює\(L\delta_{nm}\). Для цього випадку ми маємо,\[\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty La_m\delta_{nm} \\ &=La_n,\end{aligned}\] де всі терміни підсумовування крім\(m = n\) нульових в силу дельти Кронекера. Тому ми отримуємо для\(n = 0, 1, 2,\ldots\) \[\label{eq:5}a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Для визначення\(b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots\) коефіцієнтів множимо обидві сторони\(\eqref{eq:1}\) на\(\sin (n\pi x/L)\), з\(n\) додатним цілим числом, і знову міняємо фіктивну змінну\(n\) підсумовування з на\(m\). Інтегруючи, отримуємо\[\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}\]

Тут перший і другий інтеграли на правій стороні дорівнює нулю, а третій інтеграл\(L\delta_{nm}\) так, що\[\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty Lb_m\delta_{nm} \\ &=Lb_n.\end{aligned}\]

Значить, для того\(n = 1,\: 2,\: 3,\ldots\), \[\label{eq:6}b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Наші результати для рядів Фур'є функції\(f(x)\) з\(2L\) крапкою наведено\(\eqref{eq:1}\),\(\eqref{eq:5}\) і\(\eqref{eq:6}\).