9.3: Серія Фур'є

Переглянути підручник на YouTube

Наше рішення дифузійних і хвильових рівнянь потребуватиме використання ряду Фур'є. Періодична функція$f(x)$ з періодом$2L$, може бути представлена у вигляді ряду Фур'є у вигляді $$\label{eq:1}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).$$

Визначення коефіцієнтів$a_0,\: a_1,\: a_2,\ldots$ і$b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots$ використовує співвідношення ортогональності для синуса і косинуса. Спочатку ми визначаємо широко використовувану дельту Кронекера$\delta_{nm}$ як $$\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{rl}1&\text{if }n=m; \\ 0&\text{otherwise.}\end{array}\right.\nonumber$$

Відносини ортогональності для$n$ і$m$ додатних цілих чисел задаються компактними позначеннями як інтеграційні формули $$\label{eq:2} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},$$ $$\label{eq:3}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=L\delta_{nm},$$ $$\label{eq:4}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=0.$$

Щоб проілюструвати метод інтеграції, який використовується для отримання цих результатів, ми виведемо$\eqref{eq:3}$ припущення, що$n$ і$m$ є додатними цілими числами з$n\neq m$. Змінюючи змінні на$ξ = \pi x/L$, отримуємо $$\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin&\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \\ &=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(m\xi)\sin(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi [\cos ((m-n)\xi)-\cos((m+n)\xi)]d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\frac{1}{m-n}\sin((m-n)\xi)-\frac{1}{m+n}\sin((m+n)\xi)\right]_{-\pi}^\pi \\ &=0.\end{aligned}$$

Для$m=n$, однак, $$\begin{aligned}\int_{-L}^L\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=\frac{L}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin^2(n\xi)d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi(1-\cos(2n\xi))d\xi \\ &=\frac{L}{2\pi}\left[\xi-\frac{1}{2n}\sin 2n\xi\right]_{-\pi}^\pi \\ &=L.\end{aligned}$$

Формули інтеграції,$\eqref{eq:2}$ наведені і$\eqref{eq:4}$ можуть бути аналогічно виведені.

Для визначення коефіцієнта$a_n$ множимо обидві сторони$\eqref{eq:1}$ на$\cos (n\pi x/L)$ невід'ємне$n$ ціле число, і міняємо фіктивну змінну$n$ підсумовування з на$m$. Інтегруючи$x$ від$−L$ до$L$ і припускаючи, що інтеграція може бути здійснена термін за терміном в нескінченній сумі, отримуємо $$\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\cos\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}$$

Якщо$n = 0$, то другий і третій інтеграли з правого боку дорівнюють нулю, а перший інтеграл$2L$ таким чином, що права сторона стає$La_0$. Якщо$n$ є натуральним числом, то перший і третій інтеграли праворуч дорівнюють нулю, а другий інтеграл дорівнює$L\delta_{nm}$. Для цього випадку ми маємо, $$\begin{aligned}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty La_m\delta_{nm} \\ &=La_n,\end{aligned}$$ де всі терміни підсумовування крім$m = n$ нульових в силу дельти Кронекера. Тому ми отримуємо для$n = 0, 1, 2,\ldots$ $$\label{eq:5}a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx.$$

Для визначення$b_1,\: b_2,\: b_3,\ldots$ коефіцієнтів множимо обидві сторони$\eqref{eq:1}$ на$\sin (n\pi x/L)$, з$n$ додатним цілим числом, і знову міняємо фіктивну змінну$n$ підсумовування з на$m$. Інтегруючи, отримуємо $$\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin &\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}dx \\ &+\sum\limits_{m=1}^\infty\left\{a_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}dx+b_m\int_{-L}^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx\right\}.\end{aligned}$$

Тут перший і другий інтеграли на правій стороні дорівнює нулю, а третій інтеграл$L\delta_{nm}$ так, що $$\begin{aligned}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx&=\sum\limits_{m=1}^\infty Lb_m\delta_{nm} \\ &=Lb_n.\end{aligned}$$

Значить, для того$n = 1,\: 2,\: 3,\ldots$, $$\label{eq:6}b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.$$

Наші результати для рядів Фур'є функції$f(x)$ з$2L$ крапкою наведено$\eqref{eq:1}$,$\eqref{eq:5}$ і$\eqref{eq:6}$.