5.2: Розв'язування початкових задач
- Page ID
- 61245
Почнемо з простої однорідної оди і покажемо, що метод перетворення Лапласа дає ідентичний нашому раніше вивченому методу результат. Потім ми застосовуємо метод перетворення Лапласа для вирішення неоднорідного рівняння.
\(x(0)=1\)Вирішуйте\(\overset{.}{x}(0)=0\) за\(\overset{..}{x}-\overset{.}{x}-2x=0\) допомогою та двома різними методами.
Рішення
Переглянути підручник на YouTube
Характерне рівняння оди визначається з ансаца\(x = e^{rt}\) і становить\[r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0.\nonumber\]
Таким чином, загальне рішення оди\[x(t)=c_1e^{2t}+c_2e^{-t}.\nonumber\]
Щоб задовольнити початкові умови, ми повинні мати\(1 = c_1 + c_2\) і\(0 = 2c_1 − c_2\), вимагаючи\(c_1 =\frac{1}{3}\) і\(c_2 = \frac{2}{3}\). Тому рішення оди, яка задовольняє початковим умовам, задається \[\label{eq:1}x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}.\]
Тепер ми вирішуємо цей приклад за допомогою перетворення Лапласа. Беручи перетворення Лапласа обох сторін оди, використовуючи лінійність перетворення, і застосувавши наш результат для перетворення першої та другої похідних, ми знаходимо\[[s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)]-[sX(s)-x(0)]-[2X(s)]=0,\nonumber\] або\[X(s)=\frac{(s-1)x(0)+\overset{.}{x}(0)}{s^2-s-2}.\nonumber\]
Зауважимо, що знаменник правого боку є якраз квадратичним з характеристичного рівняння однорідної оди, і що цей фактор виникає з похідних експоненціального члена в інтегралі перетворення Лапласа.
Застосовуючи початкові умови, знаходимо \[\label{eq:2}X(s)=\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}.\]
Таким чином, ми визначили перетворене рішення Лапласа\(X(s) =\mathcal{L}\{x(t)\}\). Тепер нам потрібно обчислити зворотне перетворення Лапласа\(x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}\).
Однак пряма інверсія\(\eqref{eq:2}\) за допомогою пошуку в таблиці 5.1.1 неможлива, але часткове розширення дробу може виявитися корисним. Зокрема, пишемо \[\label{eq:3}\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}=\frac{a}{s-2}+\frac{b}{s+1}.\]
Метод прикриття може бути використаний для вирішення\(a\) і\(b\). Множимо обидві сторони\(\eqref{eq:3}\) на\(s − 2\) і ставимо\(s = 2\) ізолювати\(a\):
\[\begin{aligned}a&=\left.\frac{s-1}{s+1}\right]_{s=2} \\ &=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
Аналогічно множимо обидві сторони\(\eqref{eq:3}\) на\(s + 1\) і ставимо\(s = −1\) ізолювати\(b\):
\[\begin{aligned}b&=\left.\frac{s-1}{s-2}\right]_{s=-1} \\ &=\frac{2}{3}.\end{aligned}\]
Отже,\[X(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1},\nonumber\] і рядок 3 таблиці 5.1.1 дає нам зворотні перетворення кожного члена окремо, щоб отримати\[x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t},\nonumber\] ідентичні\(\eqref{eq:1}\).
\(\overset{..}{x}+x=\sin 2t\)\(x(0)=2\)Вирішуйте\(\overset{.}{x}(0)=1\) за допомогою методів перетворення Лапласа та за допомогою.
Рішення
Беручи перетворення Лапласа обох сторін оди, ми знаходимо,\[\begin{aligned}s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)+X(s)&=\mathcal{L}\{\sin 2t\} \\ &=\frac{2}{s^2+4},\end{aligned}\] де перетворення Лапласа\(\sin 2t\) використано рядок 6 таблиці 5.1.1. Підставляючи\(x(0)\)\(\overset{.}{x}(0)\) і вирішуючи для\(X(s)\), отримуємо\[X(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.\nonumber\]
Для визначення оберненого перетворення Лапласа з таблиці 5.1.1 виконаємо часткове розширення дробу другого члена:
\[\label{eq:4}\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac{as+b}{s^2+1}+\frac{cs+d}{s^2+4}.\]
За допомогою огляду ми можемо спостерігати те\(a = c = 0\) і те\(d = −b\). Швидкий розрахунок показує, що\(3b = 2,\) або\(b = 2/3\). Тому,\[\begin{aligned}X(s)&=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{(s^2+4)} \\ &=\frac{2s}{s^2+1}+\frac{5/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{(s^2+4)}.\end{aligned}\]
З рядків 6 і 7 таблиці 5.1.1 отримуємо розв'язок шляхом прийняття обернених перетворень Лапласа трьох членів окремо, де\(b = 1\) в перших двох доданках, і\(b = 2\) в третьому семестрі:
\[x(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin 2t.\nonumber\]