1.14: Комплексні числа

Переглянути підручник на YouTube: складні числа

Переглянути підручник на YouTube: Складна експоненціальна функція

Ми визначаємо уявне число$i$ як одне з двох чисел, яке задовольняє правилу$(i)^2 = −1$, інше число є$−i$. Формально пишемо$i =\sqrt{−1}$. Комплексне число$z$ записується як $$z=x+iy,\nonumber$$ де$x$ і$y$ є дійсними числами. $x$Називаємо реальну частину$z$ і$y$ уявну частину і пишемо $$x=\text{Re }z,\quad y=\text{Im }z.\nonumber$$

Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли їх дійсна і уявна частини рівні.

Складний сполучений з$z = x + iy$, позначається як$\overline{z}$, визначається як $$\overline{z}=x-iy.\nonumber$$

Використовуючи$z$ і$\overline{z}$, у нас є $$\label{eq:1}\text{Re }z=\frac{1}{2}(z+\overline{z}),\quad\text{Im }z=\frac{1}{2i}(z-\overline{z}).$$

Крім того, $$\begin{aligned}z\overline{z}&=(x+iy)(x-iy) \\ &=x^2-i^2y^2 \\ &=x^2+y^2;\end{aligned}$$ і ми визначаємо абсолютну величину$z$, також звану модулем$z$, шляхом $$\begin{aligned} |z|&=(z\overline{z})^{1/2} \\ &=\sqrt{x^2+y^2}.\end{aligned}$$

Ми можемо складати, віднімати, множити і ділити комплексні числа, щоб отримати нові комплексні числа. З$z = x + iy$ і$w = s + it$, і$x,$$y,$$s,$$t$ дійсні числа, ми маємо $$z + w = (x + s) + i(y + t);\quad z − w = (x − s) + i(y − t);\nonumber$$

$$\begin{aligned} zw&=(x+iy)(s+it) \\ &=(xs-yt)+i(xt+ys); \\ & \\ \frac{z}{w}&=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}} \\ &=\frac{(x+iy)(s-it)}{s^2+t^2} \\ &=\frac{(xs+yt)}{s^2+t^2}+i\frac{(ys-xt)}{s^2+t^2}.\end{aligned}$$

Крім того, $$\begin{aligned} |zw|&=\sqrt{(xs-yt)^2+(xt+ys)^2} \\ &=\sqrt{(x^2+y^2)(s^2+t^2)} \\ &=|z||w|;\end{aligned}$$ і $$\begin{aligned}\overline{zw}&=(xs-yt)-i(xt+ys) \\ &=(x-iy)(s-it) \\ &=\overline{z}\overline{w}.\end{aligned}$$

Аналогічно $$\left|\frac{z}{w}\right| =\frac{|z|}{|w|},\quad\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}.\nonumber$$

Крім того,$\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$. $|z + w| ≤ |z| + |w|$Однак теорема відома як нерівність трикутника.

Особливо цікаво і корисно розглянути експоненціальну функцію уявного аргументу. Використовуючи розширення рядів Тейлора експоненціальної функції, ми маємо $$\begin{aligned}e^{i\theta}&=1+(i\theta )+\frac{(i\theta )^2}{2!}+\frac{(i\theta )^3}{3!}+\frac{(i\theta )^4}{4!}+\frac{(i\theta )^5}{5!}\cdots \\ &=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(\theta -\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdots\right) \\ &=\cos\theta +i\sin\theta.\end{aligned}$$

Оскільки ми визначили, що $$\label{eq:2}\cos\theta=\text{Re }e^{i\theta },\quad\sin\theta =\text{Im }e^{i\theta },$$ ми також використовуємо$\eqref{eq:1}$ і$\eqref{eq:2}$, часто використовувані вирази $$\cos\theta =\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta }}{2},\quad\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\nonumber$$

Значна ідентичність Ейлера походить$e^{iθ} = \cos θ + i \sin θ$ від встановлення$θ = π$ та використання$\cos π = −1$ та$\sin π = 0$:

$$e^{i\pi}+1=0,\nonumber$$ і ця ідентичність пов'язує п'ять основних чисел$π$ -$0,\: 1,\: i,\: e$ і - використовуючи три основні математичні операції - додавання, множення та зведення в ступінь - лише один раз.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Складна площина.

Комплексне число$z$ може бути представлено в комплексній площині з$\text{Re }z$ як$x$ -вісь і$\text{Im }z$ як$y$ -вісь (див. Рис.$\PageIndex{1}$). Це призводить до полярного представлення$z = x + iy$:

$$z=re^{i\theta},\nonumber$$ де$r = |z|$ і$\tan θ = y/x$. Визначаємо$\text{arg }z = θ$. Зверніть увагу, що не$θ$ є унікальним, хоча прийнято вибирати значення таке$−π < θ ≤ π$, що і$θ = 0$ коли$r = 0$.

Полярна форма комплексного числа може стати в нагоді при множенні чисел. Наприклад, якщо$z_1=r_1e^{i\theta _1}$ і$z_2=r_2e^{i\theta _2}$, то$z_1z_2 = r_1r_2e^{i(θ_1+θ_2)}$. Зокрема, якщо$r_2 = 1$, то множення$z_1$ на$z_2$ спини подання в$z_1$ комплексній площині кута$θ_2$ проти годинникової стрілки.

Корисні тригонометричні відносини можуть бути$e^{iθ}$ виведені з використанням і властивостей експоненціальної функції. Закон додавання може бути отриманий від $$e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}.\nonumber$$

У нас є $$\begin{aligned} \cos(x + y) + i \sin(x + y) &= (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \\ &= (\cos x \cos y − \sin x \sin y) + i(\sin x \cos y + \cos x \sin y);\end{aligned}$$ врожайність $$\cos(x + y) = \cos x \cos y − \sin x \sin y,\quad \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y.\nonumber$$

Теорема де Муавра походить від того$e^{inθ} = (e^{iθ})^n$, що дає ідентичність $$\cos(nθ) + i \sin(nθ) = (\cos θ + i \sin θ)^n.\nonumber$$

Наприклад, якщо$n=2$, виводимо $$\begin{aligned} \cos 2\theta +i\sin 2\theta &=(\cos\theta +i\sin\theta)^2 \\ &=(\cos^2\theta -\sin^2\theta)+2i\cos\theta\sin\theta.\end{aligned}$$

Тому, $$\cos 2θ = \cos^2 θ − \sin^2 θ,\quad \sin 2θ = 2 \cos θ \sin θ.\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Запишіть$\sqrt{i}$ як стандартне комплексне число

Рішення

Щоб розв'язати цей приклад, спочатку потрібно визначити, що мається на увазі під квадратним коренем комплексного числа. Значення$\sqrt{z}$ - це комплексне число, квадрат якого дорівнює$z$. Таких чисел завжди буде два, тому що$(\sqrt{z})^2 = (−\sqrt{z})^2 = z$. Не можна визначити позитивний квадратний корінь, оскільки комплексні числа не визначаються як позитивні або від'ємні.

Ми покажемо два методи вирішення цієї проблеми. Перший найбільш простий метод пише $$\sqrt{i}=x+iy.\nonumber$$

Квадратуючи обидві сторони, ми отримуємо $$i=x^2-y^2+2xyi;\nonumber$$ і прирівнюючи дійсну і уявну частини цього рівняння, виходить два дійсних рівняння $$x^2-y^2=0,\quad 2xy=1.\nonumber$$

Виходить перше рівняння$y = ±x$. З$y = x$, друге рівняння виходить$2x^2 = 1$ з двома розв'язками$x = ±\sqrt{2}/2$. З$y = −x$, виходить друге рівняння$−2x^2 = 1$, яке не має рішення для реального$x$. Тому ми виявили, що $$\sqrt{i}=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\nonumber$$

Другий метод розв'язку використовує полярну форму комплексних чисел. Алгебра, необхідна для цього методу, дещо простіша, особливо для знаходження кубових коренів, четвертих коренів тощо Ми знаємо$i = e^{iπ/2}$, що, але загалом через періодичну природу полярного кута ми можемо записати, $$i=e^{i(\frac{\pi}{2}+2\pi k)},\nonumber$$ де$k$ є ціле число. Потім ми маємо $$\sqrt{i}=i^{1/2}=e^{i(\frac{\pi}{4}+\pi k)}=e^{i\pi k}e^{i\pi /4}=\pm e^{i\pi /4},\nonumber$$ , де ми використовували звичайні властивості експоненціальної функції, і$e^{iπk} = ±1$ для$k$ парних або непарних. Перетворення назад в стандартну форму, у нас є $$\sqrt{i}=\pm (\cos \pi /4+i\sin \pi /4)=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\nonumber$$

Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожне поліноміальне рівняння ступеня$n$ має точно$n$ складні коріння, підраховані з кратністю. Два знайомі приклади були б$x^2 − 1 = (x + 1)(x − 1) = 0$, з двома коренями$x_1 = −1$ і$x_2 = 1$; і$x^2 − 2x + 1 = (x − 1)^2 = 0$, з одним коренем$x_1 = 1$ з кратністю два.

Задача знаходження коренів$n$ одиниці полягає у розв'язанні поліноміального рівняння $$z^n=1\nonumber$$ для$n$ комплексних значень$z$. У нас є$z_1 = 1$ для$n = 1$; і$z_1 = 1$,$z_2 = −1$ для$n = 2$. Крім того$n = 2$, деякі корені складні, і тут ми знаходимо кубічні корені єдності, тобто три значення$z$ цього задовольняють$z^3 = 1$. Запис$1 = e^{i2πk}$, де$k$ ціле число, ми маємо $$z=(1)^{1/3}=\left(e^{i2\pi k}\right)^{1/3}=e^{i2\pi k/3}=\left\{\begin{array}{l}1; \\ e^{i2\pi /3}; \\ e^{i4\pi /3}.\end{array}\right.\nonumber$$

$\cos (2π/3) = −1/2,$$\sin (2π/3) = \sqrt{3}/2,$$\cos (4π/3) = −1/2,$$\sin (4π/3) = − \sqrt{3}/2,$За допомогою трьох кубічних коренів одиниці задаються $$z_1=1,\quad z_2=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad z_3=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.\nonumber$$

Ці три кореня рівномірно розташовані навколо одиничного кола в складній площині, як показано на малюнку нижче.

Малюнок$\PageIndex{2}$