6.2: Перспективи

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.1: Аксіоми для проективної геометрії
- Назад Матерія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перегляньте мотивацію проективної геометрії та дайте відповідь на наступне.

Якщо ви розглядаєте дерево з 10 метрів і 100 метрів (огляд з тієї ж сторони), в чому різниця в об'єктах?
Як ви продовжуєте віддалятися від дерева, до чого наближається відображення дерева?
Подивіться термін «точка зникнення» в художній книзі. Поясніть його відношення до цього.

Визначення: Перспектива

Трансформація - це перспектива тоді і лише тоді, коли вона відображає точки лінії з точками іншої лінії таким чином, що всі лінії від точок до їхніх зображень потрапляють в одну точку.

Намалюйте дві чіткі лінії. Виберіть точку не на жодній лінії. Виберіть три точки на одній з ліній і знайдіть точки на другій лінії, до якої вони зіставляються за перспективою, визначеною обраною вами точкою.

Дослідити склад перспектив наступним чином.

_{_{_{Намалюйте три чіткі лінії}}}
Виберіть точку А не на жодній з ліній.
Виділіть три точки P ₁, Q ₁, R ₁ на ₁ і зіставте їх на P ₂, Q ₂, R ₂ ON ₂ за перспективою, визначеною A.
Виберіть точку, відмінну від усіх інших точок.
_{Відображення} P _{2, Q 2}, R ₂ до P ₃, Q ₃, R ₃ на ₃ за перспективою, визначеною B.
Визначте, чи P _₁, Q _{1, R 1} відображені на P ₃, Q ₃, R ₃ будь-якою перспективою.

Визначення: Проективність

Трансформація - це проективність тоді і лише тоді, коли вона може бути написана як композиція перспектив.

Визначення: Трикутник

Безліч точок - це трикутник тоді і тільки тоді, коли він має розмір три.

Визначення: Тристоронній

Набір рядків є тристороннім, якщо і тільки якщо він має розмір три.

Визначення: Перспектива з точки зору

Два трикутника є перспективними щодо точки тоді і лише тоді, коли лінії, що з'єднують відповідні пари вершин, потрапляють у точку.

Визначення: Перспектива з лінії

Дві трилатеральні сторони є перспективними щодо лінії тоді і лише тоді, коли відповідні сторони потрапляють на лінію.

Теорема: Теорема Десарга

Трикутники перспективи від точки є перспективою від лінії.

Теорема: Фундаментальна теорема проективної геометрії

Проективність однозначно визначається трьома точками та їх зображеннями.