6.1: Аксіоми для проективної геометрії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58453

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

6.1.1 Мотивуюча ілюстрація

Розглянемо наступну ілюстрацію як мотивацію цієї геометрії. Розглянемо, що стоїть посеред Канзасу, дивлячись на ідеально пряму дорогу, яка простягається аж до горизонту.

Припускаючи ідеальне будівництво, дві сторони дороги - це лінії з якою геометричною властивістю?
Коли ви дивитеся на горизонт, що роблять сторони дороги?
Дві лінії завжди перетинаються в одній що?
Розглянемо всі лінії розмітки смуги руху (їх більше двох). Всі ці лінії є те, що в порівнянні один з одним і, здається, що робити?
Якщо ви перебуваєте на перетині двох доріг (не в одному напрямку), чи сходиться розмітка смуги руху?
Скільки існує різних конвергентних локацій?

Визначення: Ідеальна точка

Точка є ідеальною точкою тоді і тільки тоді, коли вона є перетином паралельних ліній. Їх іноді називають «точками на нескінченності».

Визначення: Ідеальна лінія

Лінія є ідеальною лінією тоді і тільки в тому випадку, якщо вона складається виключно з ідеальних точок.

6.1.2 Аксіоми для проективної геометрії

Аксіома: Проективна геометрія

Лінія лежить мінімум на двох точках.
Будь-які дві різні точки мають рівно одну спільну лінію.
Будь-які дві різні лінії мають принаймні одну спільну точку.
Існує набір з чотирьох різних точок, три з яких не є колінеарними.
Всі, крім однієї точки кожного рядка, можна поставити в відповідність один до одного з дійсними числами.

Перші чотири аксіоми вище - це визначення скінченної проективної геометрії. П'ята аксіома додається для нескінченних проективних геометрій і не може використовуватися для доказів скінченної проективної геометрії.

Теорема

Лінія лежить мінімум на трьох точках.

Теорема

Будь-які дві різні лінії мають рівно одну спільну точку.

Лемма

Для будь-яких двох різних ліній існує точка, яка не знаходиться на жодній лінії.

Теорема

Існує відповідність один до одного між точками будь-яких двох ліній.

Теорема

Кожна точка лежить на однаковій кількості ліній.

Слідство

Проективна площина, в якій кожна пряма лежить рівно на k+1 точка, має загальну кількість k^2+k+1 точок і k ^ 2+k+1 ліній.

6.1.3 Подвійність

Визначення: Проективна подвійність

Твердження є проективним дуалом іншого твердження тоді і тільки в тому випадку, якщо одне твердження отримано від іншого шляхом перемикання ролей «точка» і «лінія».

Теорема

Кожна точка наступає мінімум трьома лініями.

Теорема

Існує чотири лінії, три з яких не збігаються в точці.

Теорема

Існує відповідність один до одного між дійсними числами і всіма, крім однієї з ліній, що падають з точкою.

Теорема: Проективна подвійність

Проективна дуал кожної проективної теореми також вірна.

Теорема

Кожен рядок складається з однакової кількості точок.

Теорема

Існує відповідність один до одного між лініями через будь-які дві точки.