17.3: Будівництво Боляя

Припустімо, що нам потрібно побудувати лінію через$P$ асимптотично паралельну заданій лінії$\ell$ в h-площині.

Якщо$A$ і$B$ є ідеальними точками$\ell$ в проективній моделі, то ми могли б просто провести евклідову лінію$(PA)$. Однак ідеальні точки не лежать в h-площині, тому немає можливості використовувати їх у будівництві.

У наступній конструкції ми припускаємо, що ви знаєте конструкцію компаса і лінійки перпендикулярної лінії; див. Вправа 5.22.

Теорема$\PageIndex{1}$ Bolyai's construction

1. Відкиньте перпендикуляр від$P$ до$\ell$; позначте його символом$m$. $Q$Дозволяти бути точкою стопи$P$ на$\ell$.
2. Звести перпендикуляр від$P$ до$m$; позначити його по$n$.
3. Позначте$R$ точкою на$\ell$ відмінному від$Q$.
4. Відкиньте перпендикуляр від$R$ до$n$; позначте його символом$k$.
5. Намалюйте коло$\Gamma$ з центром$P$ і радіусом$QR$. Відзначте$T$ точкою перетину$\Gamma$ с$k$.
6. Лінія$(PT)_h$ асимптотично паралельна$\ell$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Поясніть, що станеться, якщо виконати конструкцію Боляя в евклідовій площині.

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Щоб довести, що конструкція Боляя дає асимптотично паралельну пряму в h-площині, достатньо показати наступне:

Теорема$\PageIndex{1}$

Припустимо$P$$Q$,$R$,$S$,$T$ бути точки в h-площині такі, що

• $S\in (RT)_h$,
• $(PQ)_h\perp (QR)_h$,
• $(PS)_h\perp(PQ)_h$,
• $(RT)_h\perp (PS)_h$і
• $(PT)_h$і$(QR)_h$ асимптотично паралельні.

Потім$QR_h=PT_h$.

Доказ

Ми будемо використовувати проективну модель. Без втрати спільності можна вважати, що$P$ це центр абсолюту. Як було зазначено на сторінці, в даному випадку відповідні евклідові лінії також перпендикулярні; тобто$(PQ)\perp (QR)$,$(PS)\perp(PQ)$, і$(RT) \perp (PS)$.

$A$Дозволяти бути загальною ідеальною точкою$(QR)_h$ і$(PT)_h$. Нехай$B$ і$C$ позначимо залишилися ідеальні точки$(QR)_h$ і$(PT)_h$ відповідно.

Зверніть увагу, що евклідові лінії$(PQ)$$(TR)$, і$(CB)$ паралельні.

Тому

Зокрема,

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AT}{AR}=\dfrac{AP}{AQ}.$

Звідси випливає, що

Зокрема,$\dfrac{AT\cdot CP}{TC\cdot PA}=\dfrac{AR\cdot BQ}{RB\cdot QA}$. Застосовуючи формулу для h-відстані 17.2.1, отримаємо це$QR_h=PT_h$.