14.2: Конструкції

Розглянемо геометричні конструкції лінійкою і паралельним інструментом; останній дає можливість провести лінію через задану точку паралельно заданій лінії. За допомогою Тренажера 14.1.1 будь-яка конструкція з цими двома інструментами є інваріантною щодо афінних перетворень. Наприклад, для вирішення наступної вправи досить довести, що середина даного відрізка може бути побудована за допомогою лінійки і паралельного інструменту.

Вправа$\PageIndex{1}$

$M$Дозволяти середина відрізка$[AB]$ в евклідовій площині. Припустимо, що аффінне перетворення посилає точки$A$$B$, і$M$ до$A'$$B'$, і$M'$ відповідно. Покажіть, що$M'$ це середина$[A'B']$.

Наступна вправа буде використана в доказі Пропозиції 14.3.1.

Підказка

Згідно з зауваженням перед вправою, досить побудувати серединну точку за$[AB]$ допомогою лінійки і паралельного інструменту. Вгадайте конструкцію по схемі.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, що задані точки з координатами$(0,0)$$(1,0)$$(a,0)$,,$(b,0)$, і. Використовуючи лінійку і паралельний інструмент, побудуйте точки з координатами$(a\cdot b,0)$ і$(a+b,0)$.

Підказка

Нехай$O, E, A$, і$B$ позначають точки з координатами (0, 0), (1, 0), ($a$, 0), і ($b$, 0) відповідно.

Щоб побудувати точку$W$ з координатами$(0, a + b)$, спробуйте побудувати два паралелограма$OAPQ$ і$BWPQ$.

Для побудови$Z$ з координатами$(0, a \cdot b)$ вибираємо лінію$(OE') \ne (OE)$ і намагаємося побудувати точки$A' \in (OE')$ і$Z \in (OE)$ так, що$\triangle OEE' \sim \triangle OAA'$ і$\triangle OE'B \sim \triangle OA'Z$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте лінійку та паралельний інструмент, щоб побудувати центр заданого кола.

Підказка

Намалюйте дві паралельні акорди$[XX']$ і$[YY']$. Набір$Z = (XY) \cap (X'Y')$ і$Z' = (XY') \cap (X'Y)$. Зверніть увагу, що$(ZZ')$ проходить через центр.

Повторіть ту ж конструкцію для іншої пари паралельних хорд. Центр лежить в місці перетину отриманих ліній.

Зауважте, що карта зсуву (описана у Вправі 14.1.2 (a)) може змінювати кути між лініями майже довільно. Це спостереження може бути використано для доведення неможливості деяких конструкцій; ось один із прикладів:

Вправа$\PageIndex{4}$

Показати, що за допомогою лінійки та паралельного інструменту неможливо побудувати лінію, перпендикулярну заданій лінії.

Підказка

Припустимо, що конструкція створює дві перпендикулярні лінії. Застосуйте карту зсуву, яка змінює кут між лініями (див. Вправа 14.1.2 (a)).

Зверніть увагу, що він перетворює конструкцію на ту саму конструкцію для інших точок вільного вибору. Тому така конструкція не виробляє перпендикулярних ліній взагалі. (Це може призвести до перпендикулярної лінії лише за збігом обставин.)