14.1: Аффінні перетворення

Аффінна геометрія вивчає так звану структуру падінь евклідової площини. Структура випадковості бачить лише те, які точки лежать на яких лініях і нічого іншого; вона безпосередньо не бачить відстані, вимірювання кута та багато іншого.

Біекція від евклідової площини до себе називається аффінним перетворенням, якщо воно відображає лінії на лінії; тобто зображення будь-якої лінії є лінією. Таким чином, можна сказати, що аффінна геометрія вивчає властивості евклідової площини, збережених при аффінних перетвореннях.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що аффінне перетворення евклідової площини посилає будь-яку пару паралельних ліній до пари паралельних ліній.

Підказка

Припустімо, що дві різні лінії$\ell$ і$m$ відображаються на пересічних лініях$\ell'$ і$m'$. Припустимо, що$P'$ позначає їх точку перетину.

$P$Дозволяти бути зворотним зображенням$P'$. За визначенням аффінної карти, вона повинна лежати на обох$\ell$ і$m$; тобто$\ell$ і$m$ перетинаються. Звідси і результат.

Нижче наведено спостереження, оскільки лінії визначаються лише за допомогою метрики.

Спостереження$\PageIndex{1}$

Будь-який рух евклідової площини є афінним перетворенням.

Наступна вправа дає більш загальні приклади аффінних перетворень.

Вправа$\PageIndex{2}$

Наступні карти координатної площини до себе є афінними перетвореннями:

(a) Карта нахилу визначена$(x,y) \mapsto (x + k \cdot y, y)$ для константи$k$.

(b) Масштабування, визначене$(x, y) \mapsto (a \cdot x, a \cdot y)$ для константи$a \ne 0$.

(c)$x$ -масштабування та$y$ -масштабування, визначені відповідно

$(x, y) \mapsto (a \cdot x, y)$, і$(x, y) \mapsto (x, a \cdot y)$

для постійної$a \ne 0$.

(d) Трансформація, визначена

$(x, y) \mapsto (a \cdot x + b \cdot y + r, c \cdot x + d \cdot y + s)$

для$a, b, c, d, r, z$ таких констант, що матриця$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ є оборотною.

Підказка

У кожному випадку перевірте, чи карта є біекцією, і застосуйте Вправу 7.6.3

З фундаментальної теореми афінної геометрії (Теорема 14.3.1) випливає, що будь-яке аффінне перетворення можна записати у вигляді (d).

Нагадаємо, що точки є колінеарними, якщо лежать на одній лінії.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо,$P\mapsto P'$ це біекція евклідової площини, яка відображає колінеарні трійки точок на колінеарні трійки. Показати, що$P\mapsto P'$ відображає неколінеарні трійки на неколінеарні.

Зробіть висновок, що$P\mapsto P'$ є афінним перетворенням.

Підказка

Вибираємо рядок$(AB)$.

Припустимо, що$X' \in (A'B')$ для деяких$X \not\in (AB)$. Оскільки$P \mapsto P'$ карти коллайнера вказує на колінеарні$(AB), (AX)$, три лінії і$(BX)$ відображаються на$(A'B')$. Далі, будь-яка лінія, яка з'єднує пару точок на цих трьох лініях, також наноситься на карту$(A'B')$. Використовуйте його, щоб показати, що вся площина зіставлена на карту$(A'B')$. Останнє суперечить тому, що карта є біекцією.

За припущенням, якщо$X \in (AB)$, то$X' \in (A'B')$. Форма над зворотним тримається, а також. Використовуйте його, щоб довести друге твердження.