11.6: Кривизна

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 11.5: Як довести, що щось не можна довести
- 12: Гіперболічний провулок

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У листі від 1824 року Гаусс пише:

Припущення, що сума трьох кутів менше, ніж π, призводить до цікавої геометрії, зовсім відмінної від нашої, але повністю послідовної, яку я розробив для мого задоволення шин, так що я можу вирішити кожну проблему в ній, за винятком визначення константи, яка не може бути позначені апріорі. Чим більше приймає цю константу, тим ближче наближається до евклідової геометрії, а коли вона вибирається нескінченно велика, вони збігаються. Теореми цієї геометрії здаються парадоксальними і, для непосвячених, абсурдними; але спокійне, стійке відображення виявляє, що вони взагалі не містять нічого неможливого. Наприклад, три кути трикутника стають такими ж маленькими, як хочеться, якщо тільки сторони беруться великими enuf; але площа трикутника ніколи не може перевищувати певну межу, незалежно від того, наскільки великі сторони взяті, і насправді він ніколи не може досягти його.

У сучасній термінології константа, яку згадує Гаусс, може виражатися як $1/\sqrt{-k}$ $k \le 0$ , де, - це так звана кривизна нейтральної площини, яку ми збираємося ввести.

Ідентичність у вправі 11.4.1 передбачає, що дефект трикутника повинен бути пропорційний його площі. (Площа в нейтральній площині коротко обговорюється в кінці глави 20, але читач також може посилатися на інтуїтивне розуміння вимірювання площі.)

Насправді, для будь-якої нейтральної площини існує непозитивне дійсне число $k$ таке, що

$k \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0$

для будь-якого $\triangle ABC$ . Це число $k$ називається кривизною площини.

Наприклад, за теоремою 7.4.1 евклідова площина має нульову кривизну.

За теоремою 11.3.1 кривизна будь-якої нейтральної площини непозитивна.

Виявляється, аж до ізометрії нейтральна площина характеризується своєю кривизною; тобто дві нейтральні площини ізометричні тоді і тільки в тому випадку, якщо вони мають однакову кривизну.

У наступному розділі ми побудуємо гіперболічну площину; це приклад нейтральної площини з кривизною $k = -1$ .

Будь-які нейтральні площини, відмінні від евклідової, можна отримати шляхом масштабування метрики на гіперболічній площині. Дійсно, якщо ми масштабуємо метрику позитивним фактором $c$ , площа змінюється в рази $c^2$ , тоді як дефект залишається колишнім. Тому, взявши $c = \sqrt{-k}$ , ми можемо отримати нейтральну площину заданої кривизни $k < 0$ . Іншими словами, всі неевклідові нейтральні площини стають ідентичними, якщо використовувати $r = 1/\sqrt{-k}$ як одиницю довжини.

У главі 16 ми обговорюємо сферичну геометрію. Сфери Altho не є нейтральними площинами, сферична геометрія є близьким родичем евклідової і гіперболічної геометрії.

Невироджені сферичні трикутники мають негативні дефекти. Причому $R$ якщо радіус сфери, то

$\dfrac{1}{R^2} \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0$

для будь-якого сферичного трикутника $ABC$ . Іншими словами, сфера радіуса $R$ має кривизну $k = \dfrac{1}{R^2}$ .