11.6: Кривизна

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58978

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У листі від 1824 року Гаусс пише:

Припущення, що сума трьох кутів менше, ніж π, призводить до цікавої геометрії, зовсім відмінної від нашої, але повністю послідовної, яку я розробив для мого задоволення шин, так що я можу вирішити кожну проблему в ній, за винятком визначення константи, яка не може бути позначені апріорі. Чим більше приймає цю константу, тим ближче наближається до евклідової геометрії, а коли вона вибирається нескінченно велика, вони збігаються. Теореми цієї геометрії здаються парадоксальними і, для непосвячених, абсурдними; але спокійне, стійке відображення виявляє, що вони взагалі не містять нічого неможливого. Наприклад, три кути трикутника стають такими ж маленькими, як хочеться, якщо тільки сторони беруться великими enuf; але площа трикутника ніколи не може перевищувати певну межу, незалежно від того, наскільки великі сторони взяті, і насправді він ніколи не може досягти його.

У сучасній термінології константа, яку згадує Гаусс, може виражатися як\(1/\sqrt{-k}\)\(k \le 0\), де, - це так звана кривизна нейтральної площини, яку ми збираємося ввести.

Ідентичність у вправі 11.4.1 передбачає, що дефект трикутника повинен бути пропорційний його площі. (Площа в нейтральній площині коротко обговорюється в кінці глави 20, але читач також може посилатися на інтуїтивне розуміння вимірювання площі.)

Насправді, для будь-якої нейтральної площини існує непозитивне дійсне число\(k\) таке, що

\(k \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0\)

для будь-якого\(\triangle ABC\). Це число\(k\) називається кривизною площини.

Наприклад, за теоремою 7.4.1 евклідова площина має нульову кривизну.

За теоремою 11.3.1 кривизна будь-якої нейтральної площини непозитивна.

Виявляється, аж до ізометрії нейтральна площина характеризується своєю кривизною; тобто дві нейтральні площини ізометричні тоді і тільки в тому випадку, якщо вони мають однакову кривизну.

У наступному розділі ми побудуємо гіперболічну площину; це приклад нейтральної площини з кривизною\(k = -1\).

Будь-які нейтральні площини, відмінні від евклідової, можна отримати шляхом масштабування метрики на гіперболічній площині. Дійсно, якщо ми масштабуємо метрику позитивним фактором\(c\), площа змінюється в рази\(c^2\), тоді як дефект залишається колишнім. Тому, взявши\(c = \sqrt{-k}\), ми можемо отримати нейтральну площину заданої кривизни\(k < 0\). Іншими словами, всі неевклідові нейтральні площини стають ідентичними, якщо використовувати\(r = 1/\sqrt{-k}\) як одиницю довжини.

У главі 16 ми обговорюємо сферичну геометрію. Сфери Altho не є нейтральними площинами, сферична геометрія є близьким родичем евклідової і гіперболічної геометрії.

Невироджені сферичні трикутники мають негативні дефекти. Причому\(R\) якщо радіус сфери, то

\(\dfrac{1}{R^2} \cdot \text{area} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle ABC) = 0\)

для будь-якого сферичного трикутника\(ABC\). Іншими словами, сфера радіуса\(R\) має кривизну\(k = \dfrac{1}{R^2}\).