11.4: Дефект

Дефект трикутника$\triangle ABC$ визначається як

$\text{defect} (\triangle ABC) := \pi - |\measuredangle ABC| - |\measuredangle BCA| - |\measuredangle CAB|.$

Зауважте, що теорема 11.3.1 стверджує, що дефект будь-якого трикутника в нейтральній площині повинен бути невід'ємним. Згідно з теоремою 7.4.1 будь-який трикутник в евклідовій площині має нульовий дефект.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\triangle ABC$Дозволяти невироджений трикутник в нейтральній площині. Припустимо,$D$ лежить між$A$ і$B$. Покажіть, що

$\text{defect} (\triangle ABC) = \text{defect} (\triangle ADC) + \text{defect} (\triangle DBC).$

Підказка

Зверніть увагу, що$|\measuredangle ADC| + |\measuredangle CDB| = \pi$. Потім застосовують визначення дефекту.

Вправа$\PageIndex{2}$

$ABC$Дозволяти невироджений трикутник в нейтральній площині. Припустимо,$X$ це відображення$C$ через середину$M$$[AB]$. Покажіть, що

$\text{defect} (\triangle ABC) = \text{defect} (\triangle AXC).$

Підказка

Покажіть, що$\triangle AMX \cong \triangle BMC$. Застосовуйте вправу$\PageIndex{1}$ до$\triangle ABC$ і$\triangle AXC$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо, що$ABCD$ це прямокутник в нейтральній площині;$ABCD$ тобто чотирикутник з усіма прямими кутами. Покажіть, що$AB = CD$.

Підказка

Покажіть, що$B$ і$D$ ляжте на протилежні сторони$(AC)$. Зробіть висновок, що

$\text{defect} (\triangle ABC) + \text{defect} (\triangle CDA) = 0.$

Застосуйте теорему$\PageIndex{1}$, щоб показати, що

$\text{defect} (\triangle ABC) = \text{defect} (\triangle CDA = 0$

Використовуйте його, щоб показати, що$\meauredangle CAB = \measuredangle ACD$ і$\measuredangle ACB = \measuredangle CAD$. За АСА$\triangle ABC \cong \triangle CDA$, і, зокрема,$AB =CD$.

(Крім того, ви можете застосувати Вправу 11.3.1)

Розширені вправи$\PageIndex{4}$

Показати, що якщо нейтральна площина має прямокутник, то всі її трикутники мають нульовий дефект.