11.1: Нейтральна площина

Видалимо Axiom V з нашої аксіоматичної системи. Таким чином ми визначаємо новий об'єкт, який називається нейтральною площиною або абсолютною площиною. (У нейтральній площині аксіома V може триматися, а може і не триматися.)

Зрозуміло, що будь-яка теорема в нейтральній геометрії тримається в евклідовій геометрії. Іншими словами, евклідова площина є прикладом нейтральної площини. У наступному розділі ми побудуємо приклад нейтральної площини, яка не є евклідовою.

У цій книзі Аксіома V використовувалася починаючи з глави 6. Тому всі твердження перед цим тримаються в нейтральній геометрії.

Це робить всі обговорювані результати про півплощини, знаки кутів, умови конгруентності, перпендикулярні лінії та відображення вірними в нейтральній геометрії.

Наведемо приклад теореми в нейтральній геометрії, яка допускає більш простий доказ в евклідовій геометрії.

Теорема$\PageIndex{1}$ Hypotenuse-leg congruence condition

Припустимо, що трикутник$ABC$ і$A'B'C'$ мають прямі кути при$C$ і$C'$ відповідно,$AB = A'B'$ і$AC = A'C'$. Потім$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Доказ

Евклідове доказ. За теоремою Піфагора$BC = B'C'$. Тоді оператор випливає з умови конгруентності SSS.

У доведенні теореми Піфагора використані властивості подібних трикутників, які в свою чергу використовували Аксіома V. Тому даний доказ не працює в нейтральній площині.

Нейтральний доказ. Припустимо, що$D$ позначає відображення$A$ поперек$(BC)$ і$D'$ позначає відображення$A'$ поперек$(B'C')$. Зверніть увагу, що

$AD = 2 \cdot AC = 2 \cdot A'C' = A'D'$,$BD = BA = B'A' = B'D'.$

За умовою конгруентності ССС (теорема 4.4.1) ми отримуємо це$\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'$.

Заява випливає, оскільки$C$ є серединою$[AD]$ і$C'$ є середньою точкою$[A'D']$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Наведіть доказ вправи 8.7.1, що працює в нейтральній площині.

Підказка

Припустимо, що$D$ позначає середину$[BC]$. Припустимо,$(AD)$ це кут бісектриси в$A$.

$A' \in [AD)$Дозволяти точка відмінна від$A$ такого, що$AD = A'D$. Зауважте, що$\triangle CAD \cong \triangle BA'D$. Зокрема,$\measuredangle BAA' = \measuredangle AA'B$. Залишилося застосувати теорему 4.3.1 для$\triangle ABA'$.

Вправа$\PageIndex{2}$

$ABCD$Дозволяти вписаний чотирикутник в нейтральній площині. Покажіть, що

$\measuredangle ABC + \measuredangle CDA \equiv \measuredangle BCD + \measuredangle DAB.$

Підказка

Твердження видно$A, B, C$, якщо, і$D$ лежать на одному рядку. В іншому випадку припустимо, що$O$ позначає circumcenter. Застосовуємо теорему про рівнобедрений трикутник (теорема 4.3.1) до трикутників$AOB, BOC, COD, DOA$.

(Зауважте, що в евклідовій площині твердження випливає з Слідство 9.3.2 та Вправа 7.4.5, але не можна використовувати ці твердження в нейтральній площині.)

Зауважте, що не можна використовувати Слідство 9.3.2 для вирішення наведеної вище вправи, оскільки він використовує теорему 9.1.1 та теорему 9.2.1, яка, в свою чергу, використовує теорему 7.4.1.