6.2: Теорема Піфагора

Трикутник називається правим, якщо один з його кутів правильний. Сторона, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою. Сторони, прилеглі до прямого кута, називаються ніжками.

Теорема$\PageIndex{1}$

Припустимо,$\triangle ABC$ це прямокутний трикутник з прямим кутом на$C$. Тоді

$AC^2 + BC^2 = AB^2.$

Доказ

$D$Дозволяти бути точкою стопи$C$ на$(AB)$.

Згідно з Леммою 5.5.1,

$AD < AC < AB$

і

$BD < BC < AB.$

Тому$D$ лежить між$A$ і$B$; зокрема,

$$AD + BD = AB.$$

Зверніть увагу, що за умовою подібності AA ми маємо

$\triangle ADC \sim \triangle ACB \sim \triangle CDB.$

Зокрема,

$$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AC}{AB} \text{ and } \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{BC}{BA}.$$

Давайте перепишемо дві ідентичності в 6.2.2:

$AC^2 = AB \cdot AD$і$BC^2 = AB \cdot BD$.

Підсумовуючи ці дві ідентичності та застосувавши 6.2.1, ми отримуємо, що

$AC^2 + BC^2 = AB \cdot (AD + BD) = AB^2.$

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо$A, B, C$, і$D$ знаходяться як у доказі вище. Покажіть, що

$CD^2 = AD \cdot BD.$

Наступна вправа - зворотне до теореми Піфагора.

Підказка

Застосуйте це$\triangle ADC \sim \triangle CDB$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, що$ABC$ це трикутник такий, що

$AC^2 + BC^2 = AB^2.$

Доведіть, що кут під$C$ правильним.

Підказка

Застосувати теорему Піфагора$\PageIndex{1}$ та умову конгруентності ССС