6.1: Подібні трикутники
- Page ID
- 58995
Два трикутника\(A'B'C'\) і\(ABC\) називаються подібними (коротко\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\)), якщо (1) їх сторони пропорційні; тобто,
\[A'B' = k\cdot AB, B'C' = k \cdot BC \text{ and } C'A' = k \cdot CA\]
для деяких\(k > 0\) і (2) відповідні кути дорівнюють знаку:
\[\begin{array} {l} {\measuredangle A'B'C' = \pm \measuredangle ABC} \\ {\measuredangle B'C'A' = \pm \measuredangle BCA} \\ {\measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB} \end{array}\]
Зауваження
- Згідно з теоремою 3.3.1, у вищезазначених трьох рівнях ознаки можна вважати однаковими.
- Якщо\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\) з\(k = 1\) в 6.1.1, то\(\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC\).
-
Зауважте, що\(\sim\) "" - відношення еквівалентності. Тобто,
(i)\(\triangle ABC \sim \triangle ABC\) для будь-якого\(\triangle ABC\).
(ii) якщо\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\), то
\[\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\]
(iii) Якщо\(\triangle A''B''C'' \sim \triangle A'B'C'\) і\(\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC\), то
\[\triangle A''B''C'' \sim \triangle ABC\]
Використовуючи нові позначення "\(\sim\)«, ми можемо переформулювати Axiom V:
Якщо для двох трикутників\(\triangle ABC\)\(\triangle AB'C'\), і у\(k > 0\) нас є\(B' \in [AB)\)\(C' \in [AC)\),\(AB' = k \cdot AB\) і\(AC' = k \cdot AC\), то\(\triangle ABC \sim \triangle AB'C'\).
Іншими словами, аксіома V забезпечує умову, яка гарантує, що два трикутники схожі. Сформулюємо ще три таких умови подібності.
Два трикутника\(\triangle ABC\) і\(\triangle A'B'C'\) схожі, якщо виконується одна з наступних умов:
(SAS) Для деяких постійних\(k > 0\) ми маємо
\(AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C'\)
і\(\measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.\)
(AA)\(A'B'C'\) Трикутник не вироджений і
\(\measuredangle ABC = \pm \measuredangle A'B'C', \measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.\)
(SSS) Для деякої\(k > 0\) константи ми маємо
\(AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C', CB = k \cdot C'B'.\)
Кожна з цих умов доведена застосуванням аксіоми V з умовами конгруентності SAS, ASA та SSS відповідно (див. Аксіома IV та Теорема 4.2.1, Теорема 4.4. 1).
- Доказ
-
Набір\(k = \dfrac{AB}{A'B'}\). Вибирайте окуляри\(B'' \in [A'B')\) і\(C'' \in [A'C')\), щоб\(A'B'' = k \cdot A'B'\) і\(A'C'' = k \cdot A'C'\). За аксіомою V,\(\triangle A'B'C' \sim \triangle A'B''C''\).
Застосовуючи умову конгруентності SAS, ASA або SSS, залежно від випадку, ми отримуємо це\(\triangle A'B''C'' \cong \triangle ABC\). Звідси і результат.
Біекція\(X \leftrightarrow X'\) від площини до себе називається трансформацією, що зберігає кут, якщо
\(\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\)
для будь-якого трикутника\(ABC\) і його зображення\(\triangle A'B'C'\).
Показати, що будь-яке обертається кут перетворення площини множить всю відстань на фіксовану константу.
- Підказка
-
За умовою подібності АА перетворення множить сторони будь-якого невиродженого трикутника на деяке число, яке може залежати від трикутника.
Зауважте, що для будь-яких двох невироджених трикутників, які поділяють одну сторону, це число однакове. Застосування цього спостереження до ланцюжка трикутників призводить до вирішення.