6.1: Подібні трикутники

Два трикутника$A'B'C'$ і$ABC$ називаються подібними (коротко$\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$), якщо (1) їх сторони пропорційні; тобто,

$$A'B' = k\cdot AB, B'C' = k \cdot BC \text{ and } C'A' = k \cdot CA$$

для деяких$k > 0$ і (2) відповідні кути дорівнюють знаку:

$$\begin{array} {l} {\measuredangle A'B'C' = \pm \measuredangle ABC} \\ {\measuredangle B'C'A' = \pm \measuredangle BCA} \\ {\measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB} \end{array}$$

Зауваження

• Згідно з теоремою 3.3.1, у вищезазначених трьох рівнях ознаки можна вважати однаковими.
• Якщо$\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ з$k = 1$ в 6.1.1, то$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$.

• Зауважте, що$\sim$ "" - відношення еквівалентності. Тобто,
  (i)$\triangle ABC \sim \triangle ABC$ для будь-якого$\triangle ABC$.
  (ii) якщо$\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$, то
  $$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$
  (iii) Якщо$\triangle A''B''C'' \sim \triangle A'B'C'$ і$\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$, то
  $$\triangle A''B''C'' \sim \triangle ABC$$

Використовуючи нові позначення "$\sim$«, ми можемо переформулювати Axiom V:

Теорема$\PageIndex{1}$ Reformulation of Axiom V.

Якщо для двох трикутників$\triangle ABC$$\triangle AB'C'$, і у$k > 0$ нас є$B' \in [AB)$$C' \in [AC)$,$AB' = k \cdot AB$ і$AC' = k \cdot AC$, то$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$.

Іншими словами, аксіома V забезпечує умову, яка гарантує, що два трикутники схожі. Сформулюємо ще три таких умови подібності.

Теорема$\PageIndex{2}$ Similarity conditions

Два трикутника$\triangle ABC$ і$\triangle A'B'C'$ схожі, якщо виконується одна з наступних умов:

(SAS) Для деяких постійних$k > 0$ ми маємо

$AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C'$

і$\measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.$

(AA)$A'B'C'$ Трикутник не вироджений і

$\measuredangle ABC = \pm \measuredangle A'B'C', \measuredangle BAC = \pm \measuredangle B'A'C'.$

(SSS) Для деякої$k > 0$ константи ми маємо

$AB = k \cdot A'B', AC = k \cdot A'C', CB = k \cdot C'B'.$

Кожна з цих умов доведена застосуванням аксіоми V з умовами конгруентності SAS, ASA та SSS відповідно (див. Аксіома IV та Теорема 4.2.1, Теорема 4.4. 1).

Доказ

Набір$k = \dfrac{AB}{A'B'}$. Вибирайте окуляри$B'' \in [A'B')$ і$C'' \in [A'C')$, щоб$A'B'' = k \cdot A'B'$ і$A'C'' = k \cdot A'C'$. За аксіомою V,$\triangle A'B'C' \sim \triangle A'B''C''$.

Застосовуючи умову конгруентності SAS, ASA або SSS, залежно від випадку, ми отримуємо це$\triangle A'B''C'' \cong \triangle ABC$. Звідси і результат.

Біекція$X \leftrightarrow X'$ від площини до себе називається трансформацією, що зберігає кут, якщо

$\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'$

для будь-якого трикутника$ABC$ і його зображення$\triangle A'B'C'$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що будь-яке обертається кут перетворення площини множить всю відстань на фіксовану константу.

Підказка

За умовою подібності АА перетворення множить сторони будь-якого невиродженого трикутника на деяке число, яке може залежати від трикутника.

Зауважте, що для будь-яких двох невироджених трикутників, які поділяють одну сторону, це число однакове. Застосування цього спостереження до ланцюжка трикутників призводить до вирішення.