Передмова

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- Ліцензування
- 1: Складна алгебра та складна площина

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цей текст є адаптацією класу, який спочатку викладав Андре Нахбін, який заслуговує на більшу частину заслуги за дизайн курсу. Тематичні примітки були написані мною з багатьма виправленнями та вдосконаленнями, внесеними Йорном Данкелом. Звичайно, будь-яка відповідальність за помилки і помилки повністю лежить на мені.

Короткий опис курсу

Комплексний аналіз - красивий, щільно інтегрований предмет. Він обертається навколо складних аналітичних функцій. Це функції, які мають складну похідну. На відміну від числення з використанням реальних змінних, саме існування складної похідної має сильні наслідки для властивостей функції.

Комплексний аналіз є основним інструментом у багатьох математичних теоріях. Сам по собі і через деякі з цих теорій він також має безліч практичних застосувань.

Є невелика кількість далекосяжних теорем, які ми вивчимо в першій частині класу. По дорозі ми торкнемося деяких математичних та інженерних застосувань цих теорем. Остання третина заняття буде присвячена більш глибокому розгляду додатків.

Основними теоремами є теорема Коші, інтегральна формула Коші та існування ряду Тейлора та Лорана. Серед застосувань будуть гармонійні функції, двовимірний потік рідини, прості методи обчислення (здавалося б) твердих інтегралів, перетворення Лапласа та перетворення Фур'є з додатками до техніки та фізики.

Теми, необхідні з обов'язкових математичних занять

Ми розглянемо ці теми так, як вони нам потрібні:

Обмеження
Силова серія
Векторні поля
Лінійні інтеграли
Теорема Гріна

Рівень математичної строгості Ми зробимо ретельні аргументи, щоб обґрунтувати наші результати. Хоча, у багатьох місцях ми дозволимо собі пропустити деякі технічні деталі, якщо вони заважають розумінню основного пункту, але відзначимо те, що залишилося поза увагою.

Швидкість класу

Не обманюйте себе тим, що справи починаються повільно. Це такий курс, коли речі продовжують нарощувати безперервно, з новими речами з'являються досить часто. Нічого насправді не дуже важко, але загальна інтеграція може бути приголомшливою - і вона підкрасться до вас, якщо ви не будете дивитися її. Або, щоб висловити це в математично звучить жаргон, цей курс «локально легкий», але «глобально важко». Це означає, що якщо ви будете в курсі домашніх завдань і лекцій, а також регулярно читаєте замітки класу, у вас не повинно виникнути проблем.

- Джеремей Орлов