4.1: Основні визначення

Тепер ми розглянемо функції, домени та діапазони яких встановлюються в деяких фіксованих (але в іншому випадку довільних) метричних просторах$(S, \rho)$ і$\left(T, \rho^{\prime}\right),$ відповідно. пишемо

$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$

для функції$f$ з$D_{f}=A \subseteq(S, \rho)$ і$D_{f}^{\prime} \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right) . \quad S$ називається доменним простором,$T$ а простір діапазону,$f .$

І. З огляду на таку функцію, нам часто доводиться досліджувати її «локальну поведінку» поблизу якоїсь точки.$p \in S .$ Зокрема, якщо$p \in A=D_{f}(\text { so that } f(p) \text { is defined) we }$ може запитати: Чи можна зробити значення$f(x)$ функції такими близькими, як нам подобається ($" \varepsilon -$поблизу»), щоб,$f(p)$ тримаючись$x$ досить близько $\left(\text { "close }^{\prime \prime}\right)$$p,$тобто всередині деякого досить маленького глобуса$G_{p}(\delta) ?$ Якщо це так, ми говоримо, що$f$ є безперервним в$p .$ Точніше, ми формулюємо наступне визначення.

Визначення

$A \subseteq(S, \rho),$Функція$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),$ з, як кажуть, безперервна при$p$ iff$p \in A$ і, крім того, для кожного$\varepsilon>0$ (незалежно від того, наскільки маленьким) є$\delta>0$ така, що$\rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon$ для всіх символів$x \in A \cap G_{p}(\delta) .$ In,

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{p}(\delta)\right)\left\{\begin{array}{l}{\rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon, \text { or }} \\ {f(x) \in G_{f(p)}(\varepsilon)}\end{array}\right.$$

Якщо$(1)$ не вдається, ми говоримо, що$f$ є$p$ переривчастим в$p$ і називаємо точку розриву$f .$ Це також так, якщо$p \notin A$ ($f(p)$оскільки не визначено).

Якщо$(1)$ тримає для кожного р у множині$B \subseteq A,$ ми говоримо, що$f$ є безперервним на$B .$ Якщо це так для$B=A,$ ми просто говоримо, що$f$ є безперервним.

Іноді ми вважаємо за краще тримати$x$ поруч,$p$ але відрізняється від$p .$ Ми потім замінити$G_{p}(\delta)$$(1)$ на набір,$G_{p}(\delta)-\{p\},$ тобто глобус без його центру, позначається$G_{\neg p}(\delta)$ і називається віддалений$\delta$ -глобус про$p .$ Це навіть необхідно, якщо$p \notin D_{f}$. Заміна$f(p)$$(1)$ на деякі$q \in T,$ ми потім привели до наступного визначення.

Визначення

Враховуючи,$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho), p \in S,$ і$q \in T,$ ми говоримо, що,$f(x)$$q$ як$x$ правило, як правило,$p(f(x) \rightarrow q \text { as } x \rightarrow p)$ iff для кожного$\varepsilon>0$ є$\delta>0$ таке, що$\rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon$ для всіх символів$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta) .$ In,

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad\left\{\begin{array}{l}{\rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon, \text { i.e. }} \\ {f(x) \in G_{q}(\varepsilon)}\end{array}\right.$$

Це означає, що$f(x)$ є$\varepsilon$ -close to$q$$x$ when is$\delta$ -close to$p$ and$x \neq p$.

Якщо$(2)$ тримає для деяких$q,$ ми$q$ називаємо ліміт$f$ at$p .$ Такого не може бути$q$. Потім ми говоримо, що не$f$ має межі$p,$ або що ця межа не існує. Якщо є тільки один такий$q(\text { for a given } p),$ пишемо$q=\lim _{x \rightarrow p} f(x) .$

Примітка 1. Формула (2) тримає «вакуумно» (див. Розділ 1,8 §§1-3, кінцеве зауваження), якщо$A \cap G_{\neg p}(\delta)=\emptyset$ для деяких$\delta>0 .$ Тоді будь-який$q \in T$ є межею,$p,$ тому межа існує, але не є унікальною. (Відкидаємо випадок, коли$T$ є синглтон.)

Примітка 2. Однак унікальність забезпечується, якщо$A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset$ для всіх$\delta>0,$, як ми доведемо нижче.

Зауважте, що за наслідком 6 глави 3, §14, множинні$A$ кластери на$p$ iff

$$(\forall \delta>0) \quad A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset . \quad(\text { Explain! })$$

Таким чином, ми маємо наступний наслідок.

наслідком$\PageIndex{1}$

Якщо$A$ кластери$p$ в$(S, \rho),$ то функція$f : A \rightarrow\left(T, p^{\prime}\right)$ може мати максимум одну межу на$p ;$ тобто.

$$\lim _{x \rightarrow p} f(x) \text{ is unique (if it exists).}$$

Зокрема, це стосується якщо$A \supseteq(a, b) \subset E^{1}(a<b)$ і$p \in[a, b]$.

Доказ

Припустимо,$f$ має$t w o$ обмеження,$q$ і$r,$$p .$ у власності Hausdorff,

$$G_{q}(\varepsilon) \cap G_{r}(\varepsilon)=\emptyset \quad \text{ for some } \varepsilon>0.$$

Крім того,$(2),$ існують$\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}>0$ такі, що

$$\begin{array}{ll}{\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right)\right)} & {f(x) \in G_{q}(\varepsilon) \text { and }} \\ {\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right)} & {f(x) \in G_{r}(\varepsilon)}\end{array}$$

Нехай$\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right) .$ Тоді для$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta), f(x)$ є в обох$G_{q}(\varepsilon)$ і$G_{r}(\varepsilon)$, і таке$x$ існує з$A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset$ припущення.

Але це неможливо, так як$G_{q}(\varepsilon) \cap G_{r}(\varepsilon)=\emptyset$$(\text { a contradiction!). } \square$

Щодо інтервалів див. Розділ 3, §14, Приклад ($\mathrm{h} )$.

наслідком$\PageIndex{2}$

$f$є безперервним при$p\left(p \in D_{f}\right)$ iff$f(x) \rightarrow f(p)$ газу$x \rightarrow p$.

Доказ

Пряме доказ з визначень залишається читачеві.

Примітка 3. У формулі$(2),$ ми виключили випадок,$x=p$ припускаючи, що$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta) .$ Це робить поведінку$f$ при$p$ собі неактуальною. Таким чином, для існування межі$q$ на$p,$ ньому не має значення, чи$p \in D_{f}$ чи$f(p)=q .$ Але обидві умови потрібні для безперервності на$p$ (див. Наслідок 2 та Визначення 1$)$.

Примітка 4. Зауважте, що якщо$(1)$ або$(2)$ тримає для деяких,$\delta,$ це, безумовно, тримає для будь-якого$\delta^{\prime} \leq \delta .$ Таким чином, ми завжди можемо вибрати$\delta$ настільки малі, як нам подобається. Більше того, як$x$ це обмежено,$G_{p}(\delta),$ ми можемо ігнорувати або змінювати за бажанням значення функції$f(x)$ для$x \notin G_{p}(\delta)$ («локальний символ поняття межі»).

ІІ. Ліміти в Е*. Якщо$S$ або$T$ є$E^{*}\left(\text { or } E^{1}\right),$ ми можемо дозволити$x \rightarrow \pm \infty$ або$f(x) \rightarrow \pm \infty .$ Для точного визначення, ми переписуємо з$(2)$ точки зору$globes$$G_{p}$ і$G_{q} :$

$$\left(\forall G_{q}\right)\left(\exists G_{p}\right)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\right) \quad f(x) \in G_{q}.$$

Це має сенс також, якщо$p=\pm \infty$ або$q=\pm \infty .$ Нам потрібно використовувати лише наші конвенції щодо$G_{ \pm \infty},$ або$\rho^{\prime}$ метрики,$E^{*},$ як пояснено у розділі 3, §11.

Наприклад, розглянемо

$$^{\prime \prime}f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow+\infty^{\prime \prime}\left(A \subseteq S=E^{*}, p=+\infty, q \in\left(T, \rho^{\prime}\right)\right).$$

Тут$G_{p}$ має форму$(a,+\infty], a \in E^{1},$ і$G_{\neg p}=(a,+\infty),$ поки$G_{q}=G_{q}(\varepsilon)$, як зазвичай. Відзначивши$x \in G_{\neg p}$ це означає, що$x>a\left(x \in E^{1}\right),$ ми можемо переписати$\left(2^{\prime}\right)$ як

$$(\forall \varepsilon>0)\left(\exists a \in E^{1}\right)(\forall x \in A | x>a) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon), \text{ or } \rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon.$$

Це означає, що$f(x)$ стає довільно близьким до$q$ для великих$x(x>a)$.

Далі розглянемо$^{4} f(x) \rightarrow+\infty$ як$x \rightarrow-\infty$ "Тут$G_{\neg p}=(-\infty, a)$ і$G_{q}=(b,+\infty] .$ Таким чином формулу$\left(2^{\prime}\right)$ дає (з$S=T=E^{*},$ і$x$ варіюючи над$E^{\mathrm{i}} )$

$$\left(\forall b \in E^{1}\right)\left(\exists a \in E^{1}\right)(\forall x \in A | x<a) \quad f(x)>b;$$

аналогічно і в інших випадках, які ми залишаємо читачеві.

Примітка 5. У$(3),$ нас може взяти$A=N$ (натуральні). Потім$f : N \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$ послідовність у$T .$ письмовій формі$m$ для$x,$ набору$u_{m}=f(m)$ та$a=k \in N$ отримання

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad u_{m} \in G_{q}(\varepsilon) ; \text{ i.e., } \rho^{\prime}\left(u_{m}, q\right)<\varepsilon.$$

Це збігається з нашим визначенням межі$q$ послідовності$\left\{u_{m}\right\}$ (див. Розділ 3, §14). Таким чином, межі послідовностей є окремим випадком обмежень функцій. Теореми про послідовності можна отримати з тих на функціях$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$, просто взявши$A=N$ і$S=E^{*}$ як зазначено вище.

Примітка 6. Формули$(3)$ і мають$(4)$ сенс також, якщо$S=E^{1}$ (відповідно,$S=T=E^{1} )$ оскільки вони не передбачають жодної згадки про$\pm \infty .$ Ми будемо використовувати такі формули також для функцій$f : A \rightarrow T,$ з$A \subseteq S \subseteq E^{1}$ або$T \subseteq E^{1},$ в залежності від випадку.

ІІІ. Відносні межі та безперервність. Іноді бажаний результат$(1)$ або$(2)$ не тримається в повному обсязі, а тільки з$A$ заміною на менший набір$B \subseteq A$. Таким чином, ми можемо мати

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon).$$

У цьому випадку називаємо$q$ відносну$f$ межу at$p$ over$B$ і пишемо

$$"f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p \text{ over } B"$$

або

$$\lim _{x \rightarrow p, x \in B} f(x)=q \quad(\text { if } q \text { is unique });$$

$B$називається шлях, по якому$x$ має тенденцію до$p .$ Якщо, крім того,$p \in D_{f}$ і$q=f(p),$ ми говоримо, що$f$ відносно безперервний на$p$ більш$B ;$ потім$(1)$ тримає з$A$ замінені на$B$. Знову ж таки, якщо це тримає для кожного$p \in B,$ ми говоримо, що$f$ є відносно безперервним на$B .$ Ясно, якщо$B=A=D_{f},$ це дає звичайні (невідносні) межі та безперервність. При цьому відносні межі і безперервність є більш загальними.

Зауважте, що для обмежень над$B, x$ контуром вибирається$B-\{p\}$ лише$B$ або лише. Таким чином, поведінка$f$ зовні$B$ стає неактуальною, і тому ми можемо довільно перевизначити$f$ на$-B .$ Наприклад, якщо$p \notin B$ але$\lim _{x \rightarrow p, x \in B} f(x)=q$ існує, ми можемо визначити,$f(p)=q,$ таким чином, роблячи$f$ відносно безперервним в$p(\text { over } B) .$ Ми також можемо замінити$(S, \rho)$ на $(B, \rho)(\text { if } p \in B),$або$f$ обмежити,$B,$ тобто замінити$f$ функцією,$g : B \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$ визначеною$g(x)=f(x)$ for$x \in B$ (коротко,$g=f$ на$B )$.

Особливо важливим випадком є

$$A \subseteq S \subseteq E^{*}, \text{ e.g., } S=E^{1}.$$

Тоді нерівності визначаються$S,$ таким чином, ми можемо прийняти

$$B=\{x \in A | x<p\} \text{ (points in } A, \text{ preceding } p).$$

Потім, пишемо$G_{q}$ для$G_{q}(\varepsilon)$ і$a=p-\delta,$ отримуємо з формули$(2)$

$$\left(\forall G_{q}\right)(\exists a<p)(\forall x \in A | a<x<p) \quad f(x) \in G_{q}.$$

Якщо$(5)$ тримає, ми називаємо$q$ лівий ліміт$f$ at$p$ і пишемо

$$"f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p^{-}" \quad\left(" x \text { tends to } p \text{ from the left}^{\prime}\right).$$

Якщо, крім того,$q=f(p),$ ми говоримо, що$f$ залишається безперервним на$p .$ Аналогічно, приймаючи

$$B=\{x \in A | x>p\},$$

ми отримуємо правильні межі та безперервність. пишемо

$$f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p^{+}$$

iff$q$ - це права межа$f$ at$p,$ тобто, якщо$(5)$ утримується з усіма нерівностями, зворотними.

Якщо множина$B$ в питанні кластерів$p,$ на відносній межі (якщо така є) є унікальною. Потім позначаємо ліву і праву межу, відповідно, по$f\left(p^{-}\right)$ і$f\left(p^{+}\right),$ і пишемо

$$\lim _{x \rightarrow p^{-}} f(x)=f\left(p^{-}\right) \text{ and } \lim _{x \rightarrow p^{+}} f(x)=f\left(p^{+}\right).$$

наслідком$\PageIndex{3}$

З попереднім позначенням, якщо$f(x) \rightarrow q$ як$x \rightarrow p$ над контуром,$B,$$D,$ а також над тим$f(x) \rightarrow q$, як$x \rightarrow p$ закінчено$B \cup D$.

Отже, якщо$D_{f} \subseteq E^{*}$ і у$p \in E^{*},$ нас є

$$q=\lim _{x \rightarrow p} f(x) \text{ iff } q=f\left(p^{-}\right)=f\left(p^{+}\right) . \quad(\text { Exercise! })$$

Тепер ми проілюструємо наші визначення діаграмою в$E^{2}$ представленні функції$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$ за її графіком, тобто вказує$(x, y)$ такі, що$y=f(x)$.

Тут

$$G_{q}(\varepsilon)=(q-\varepsilon, q+\varepsilon)$$

інтервал на$y$ -осі. Пунктирні лінії показують, як побудувати інтервал

$$(p-\delta, p+\delta)=G_{p}$$

на$x$ -осі, задовольняючи формулу$(1)$ в$13,$ формулах малюнка$(5)$ та$(6)$ на малюнку$14,$ або$(2)$ формулі$15 .$ на$Q$ малюнку Точка на кожній діаграмі належить до графіка; тобто,$Q=(p, f(p)) .$ На малюнку$13, f$ є безперервним при$p(\text { and also at }$ $p_{1}$). Однак він є лише лівим безперервним на$p$ малюнку,$14,$ і це переривчастий на$p$ малюнку,$15,$ хоча$f\left(p^{-}\right)$ і$f\left(p^{+}\right)$ існує. (Чому?)

Приклад$\PageIndex{1}$

(а)$f : A \rightarrow T$ Дозволяти бути постійною на$B \subseteq A ;$ тобто

$$f(x)=q \text{ for a fixed } q \in T \text{ and all } x \in B.$$

Потім$f$ є відносно безперервним на$B,$ і$f(x) \rightarrow q$ як$x \rightarrow p$$B,$ на кожному$p .$ (дано$\varepsilon>0,$ взяти довільний$\delta>0$. Тоді

$$\left(\forall x \in B \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)=q \in G_{q}(\varepsilon),$$

як потрібно; аналогічно для безперервності.)

(b) Нехай$f$ буде карта$i$ ідентичності на$A \subset(S, \rho) ;$ тобто,

$$(\forall x \in A) \quad f(x)=x.$$

Потім, дано$\varepsilon>0,$ взяти,$\delta=\varepsilon$ щоб отримати, для$p \in A$,

$$\left(\forall x \in A \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho(f(x), f(p))=\rho(x, p)<\delta=\varepsilon.$$

Таким чином, шляхом$(1), f$ є безперервним при будь-якому$p \in A,$ звідси на$A$.

(c)$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$ Визначити

$$f(x)=1 \text{ if } x \text{ is rational, and } f(x)=0 \text{ otherwise.}$$

(Це функція Діріхле, названа так на честь Йоганна Петра Густава Лежена Діріхле.)

Яким би маленьким не$\delta$ був, земна куля

$$G_{p}(\delta)=(p-\delta, p+\delta)$$

(навіть віддалений глобус) містить як раціональні, так і ірраціональні. Таким чином, як$x$ змінюється протягом$G_{\neg p}(\delta), f(x)$ бере на себе обидва значення, 0 і$1,$ багато разів і так виходить з будь-якого$G_{q}(\varepsilon),$ з$q \in E^{1}, \varepsilon<\frac{1}{2}$.

Отже, для будь-якої$q, p \in E^{1},$ формули$(2)$ не вдається, якщо ми$\varepsilon=\frac{1}{4},$ беремо сказати. Таким чином, не$f$ має обмежень ні в якому$p \in E^{1}$ і, отже, є переривчастим скрізь! Однак$f$ є відносно безперервним на$R$ множині всіх раціональних прикладу$(\mathrm{a})$.

(d) Визначити$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$ за

$$f(x)=[x](=\text { the integral part of } x ; \text { see Chapter } 2, §10).$$

Таким чином,$f(x)=0$$x \in[0,1), f(x)=1$ для$x \in[1,2),$ і т.д. потім$f$ переривчастий при$p$ якщо$p$ є цілим числом (чому?) але безперервно при будь-якому іншому$p\left(\text { restrict } f \text { to a small } G_{p}(\delta) \text { so as to make it constant) }\right.$

Однак ліві та праві межі існують у кожного,$p \in E^{1},$ навіть якщо$p=$$n(\text { an integer }) .$ насправді,

$$f(x)=n, x \in(n, n+1)$$

і

$$f(x)=n-1, x \in(n-1, n),$$

отже,$f\left(n^{+}\right)=n$ і$f\left(n^{-}\right)=$$n-1 ; f$ є правильним безперервним на$E^{1} .$ Див. Рисунок$16 .$

(е) Визначити$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$ за

$$f(x)=\frac{x}{|x|} \text{ if } x \neq 0, \text{ and } f(0)=0.$$

(Це так звана сигнум-функція, часто позначається sgn.)

Потім (рис. 17)$)$

$$f(x)=-1 \text{ if } x<0$$

і

$$f(x)=1 \text{ if } x>0.$$

Таким чином, як і в (d), ми робимо висновок, що$f$ є переривчастим в,$0,$ але безперервно на кожному$p \neq 0 .$ Також,$f\left(0^{+}\right)=1$ і$f\left(0^{-}\right)=-1 .$ Перевизначення$f(0)=1$ або$f(0)=-1,$ ми можемо зробити$f$ право (відповідно, ліворуч) безперервним в$0,$ але не обидва.

(f) Визначити$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$ за (див. Рис.$)$

$$f(x)=\sin \frac{1}{x} \text{ if } x \neq 0, \text{ and } f(0)=0.$$

Будь-який глобус$G_{0}(\delta)$ близько 0 містить точки, в яких, а$f(x)=1,$ також ті, в яких$f(x)=-1$ або$f(x)=0$ (взяти$x=2 /(n \pi)$ для великих цілих чисел$n )$; насправді, графік «коливається» нескінченно багато разів між$-1$ і$1 .$ Таким чином, тим самим аргументом, що і в не$(\mathrm{c}), f$ має межа в 0 (навіть не лівий або правий межа) і, отже, переривається при$0 .$ Жодна спроба перевизначення$f$ при 0 не може відновити навіть ліву або праву безперервність, не кажучи вже про звичайну безперервність, при$0 .$

(g) Визначити$f : E^{2} \rightarrow E^{1} \mathrm{by}$

$$f(\overline{0})=0 \text{ and } f(\overline{x})=\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \text{ if } \overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq \overline{0}.$$

$B$Дозволяти будь-який рядок$E^{2}$ через$\overline{0},$ заданий параметрично

$$\overline{x}=t \vec{u}, \quad t \in E^{1}, \vec{u} \text{ fixed (see Chapter 3, §§4-6 ),}$$

так$x_{1}=t u_{1}$ і$x_{2}=t u_{2} .$ як легко видно, для$\overline{x} \in B, f(\overline{x})=f(\overline{u})$ (постійний) якщо$\overline{x} \neq \overline{0} .$ Звідси

$$\left(\forall \overline{x} \in B \cap G_{\neg \overline{0}}(\delta)\right) \quad f(\overline{x})=f(\overline{u}),$$

тобто,$\rho(f(\overline{x}), f(\overline{u}))=0<\varepsilon,$ для будь-якого$\varepsilon>0$ видаленого глобуса о$\overline{0}$.

До того$\left(2^{\prime}\right),$ часу,$f(\overline{x}) \rightarrow f(\overline{u})$ як і$\overline{x} \rightarrow \overline{0}$ над шляхом$B .$ Таким чином,$f$ має відносну$f(\overline{u})$ межу$\overline{0},$ над будь-якою лінією,$\overline{x}=t \overline{u},$ але ця межа відрізняється для різних варіантів,$\overline{u},$ тобто для різних рядків через$\overline{0} .$ Немає звичайної межі на$\overline{0}$ існує (чому?) ; навіть не$f$ є відносно безперервним$\overline{0}$ над лінією,$\overline{x}=t \vec{u}$ якщо тільки$f(\overline{u})=0$ (що відбувається лише в тому випадку, якщо лінія є однією з координатних осей (чому?)).