1.4: Реальні числа
- Page ID
- 62443
\(C\)Дозволяти множина всіх послідовностей Коші раціональних чисел. Ми визначаємо відношення\(C\) наступним чином: Якщо\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) і\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) є послідовності Коші в\(\mathbb{Q}\), то\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I} \sim\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) які ми будемо писати простіше, як\(a_{i} \sim b_{i},\) ніби для кожного раціонального числа\(\epsilon>0,\) існує ціле число\(N\) таке, що
\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon\]
всякий раз, коли\(i>N .\) це відношення є чітко рефлексивним і симетричним. Щоб показати, що це також перехідний, а отже, відношення еквівалентності, припустимо,\(a_{i} \sim b_{i}\) і\(b_{i} \sim c_{i} .\) дано\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) вибрати\(N\) так, щоб
\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i>N\) і\(M\) так, щоб
\[\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i>M .\) Нехай\(L\) буде більше\(N\) і\(M .\) Тоді, для всіх\(i>L\),
\[\left|a_{i}-c_{i}\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]
Звідси\(a_{i} \sim c_{i}\).
Використовуючи щойно визначене відношення еквівалентності, ми називаємо множину класів еквівалентності дійсних\(C\) чисел, що позначаються\(\mathbb{R}\).
Зверніть увагу, що якщо\(a \in \mathbb{Q},\) ми можемо ідентифікувати\(a\) з класом еквівалентності послідовності,\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) де\(b_{i}=a, i=1,2,3, \ldots,\) і, таким чином, вважати\(\mathbb{Q}\) підмножиною\(\mathbb{R} .\)
Припустимо\(\left\{b_{i}\right\}_{i \in J}\),\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) і є послідовності в\(\mathbb{Q}\) с
\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.\]
Покажіть, що\(a_{i} \sim b_{i}\).
1.4.1 Властивості поля
Припустимо\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\),\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) і є обидві послідовності Коші раціональних чисел. Дозвольте\(K=I \cap J\) і визначити нову послідовність\(\left\{s_{k}\right\}_{k \in K}\), встановивши\(s_{k}=a_{k}+b_{k}\). Задано будь-який раціональний\(\epsilon>0,\) вибір цілих чисел\(N\) і\(M\) таких, що
\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i, j>N\) і
\[\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i, j>M .\) Якщо\(L\) більше,\(N\) а\(M,\) потім, для всіх\(i, j>L\),
\[\left|s_{i}-s_{j}\right|=\left|\left(a_{i}-a_{j}\right)+\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \leq\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon,\]
показуючи, що\(\left\{s_{i}\right\}_{k \in K}\) це також послідовність Коші. Більш того, припустимо\(a_{i} \sim c_{i}\) і\(b_{i} \sim d_{i} .\) дано\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) вибрати\(N\) так, щоб
\[\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i>N\) і вибирайте\(M\) так, щоб
\[\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]
для всіх\(i>M .\) Якщо\(L\) більше,\(N\) а\(M,\) потім, для всіх\(i>L\),
\[\left|\left(a_{i}+b_{i}\right)-\left(c_{i}+d_{i}\right)\right| \leq\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]
\(a_{i}+b_{i} \sim c_{i}+d_{i} .\)Отже, якщо\(u, v \in \mathbb{R},\) з\(u\) класом еквівалентності\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) та\(v\) класом еквівалентності,\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) то ми можемо однозначно визначити,\(u+v\) щоб бути класом еквівалентності\(\left\{a_{i}+b_{i}\right\}_{i \in K},\) де\(K=I \cap J\).
Припустимо\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\),\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) і є обидві послідовності Коші раціональних чисел.
Дозвольте\(K=I \cap J\) і визначити нову послідовність,\(\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}\) встановивши\(p_{k}=a_{k} b_{k} .\)\(B>0\) Дозволяти бути верхньою межею для\(\left\{\left|a_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} .\) множини задано\(\epsilon>0\) вибрати цілі числа\(N\) і\(M\) такі, що
\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]
для всіх\(i, j>N\) і
\[\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]
для всіх\(i, j>M .\) Якщо\(L\) більше,\(N\) а\(M,\) потім, для всіх\(i, j>L\),
\[\begin{aligned}\left|p_{i}-p_{j}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{i}+a_{j} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)+a_{j}\left(b_{i}-b_{j} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|+\left|a_{j}\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|a_{j}\right|\left|b_{i}-b_{j}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon \end{aligned}\]
\(\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}\)Звідси і послідовність Коші.
Тепер припустимо\(\left\{d_{i}\right\}_{i \in G}\),\(\left\{c_{i}\right\}_{i \in H}\) і є послідовності Коші з\(a_{i} \sim c_{i}\) і\(b_{i} \sim d_{i} .\)\(B>0\) Дозволяти бути верхньою меж для набору\(\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} \cup\left\{\left|c_{i}\right|: i \in H\right\}\). Задано\(\epsilon>0,\) вибрати цілі числа\(N\) і\(M\) такі, що
\[\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]
для всіх\(i>N\) і
\[\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]
для всіх\(i>M .\) Якщо\(L\) більше,\(N\) а\(M,\) потім, для всіх\(i>L\),
\[\begin{aligned}\left|a_{i} b_{i}-c_{i} d_{i}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-b_{i} c_{i}+b_{i} c_{i}-c_{i} d_{i}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)+c_{i}\left(b_{i}-d_{i} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)\right|+\left|c_{i}\left(b_{i}-d_{i}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|c_{i}\right|\left|b_{i}-d_{i}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon. \end{aligned}\]
\(a_{i} b_{i} \sim c_{i} d_{i} .\)Отже, якщо\(u, v \in \mathbb{R},\) з\(u\) класом еквівалентності\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) та\(v\) класом еквівалентності,\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) то ми можемо однозначно визначити,\(u v\) щоб бути класом еквівалентності\(\left\{a_{i} b_{i}\right\}_{i \in K},\) де.\(K=I \cap J .\)
Якщо визначити\(u \in \mathbb{R},\)\(-u=(-1) u .\) Зауважте, що якщо\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) є послідовністю Коші раціональних чисел у класі еквівалентності,\(u,\) то\(\left\{-a_{i}\right\}_{i \in I}\) є послідовністю Коші в класі еквівалентності\(-u .\)
Ми скажемо, що послідовність\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) обмежена від 0, якщо існує раціональне число\(\delta>0\) і ціле число\(N\) таке, що\(\left|a_{i}\right|>\delta\) для всіх\(i>N .\) повинно бути зрозуміло, що будь-яка послідовність, яка сходиться до 0, не обмежується від\(0 .\) Крім того, як наслідок наступної вправа, будь-яка послідовність Коші, яка не сходиться до 0, повинна бути обмежена\(0 .\)
Припустимо,\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) це послідовність Коші, яка не обмежена від 0. Показати, що послідовність сходиться і\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=0\).
Припустимо,\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) це послідовність Коші, яка обмежена від 0 і\(a_{i} \sim b_{i} .\) Show,\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) яка також обмежена від\(0 .\)
Тепер припустимо,\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) це послідовність Коші, яка обмежена від 0 і вибрати\(\delta>0\) і\(N\) так, щоб\(\left|a_{i}\right|>\delta\) для всіх\(i>N .\) Визначити нову послідовність,\(\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}+1\) встановивши
\[c_{i}=\frac{1}{a_{i}}, i=N+1, N+2, \ldots\]
З огляду\(\epsilon>0,\) вибираємо\(M\) так, щоб
\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon \delta^{2}\]
для всіх\(i, j>M .\) Нехай\(L\) буде більше,\(N\) а\(M .\) потім, для всіх, що\(i, j>L,\) ми маємо
\[\begin{aligned}\left|c_{i}-c_{j}\right| &=\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{j}}\right| \\ &=\left|\frac{a_{j}-a_{i}}{a_{i} a_{j}}\right| \\ &=\frac{\left|a_{j}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} a_{j}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta^{2}}{\delta^{2}} \\ &=\epsilon. \end{aligned}\]
\(\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}\)Звідси і послідовність Коші.
Тепер припустимо,\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) що послідовність Коші з\(a_{i} \sim b_{i} .\) Вправа 1.4.3 ми знаємо, що\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) також обмежена від\(0,\) так вибрати\(\gamma>0\) і\(K\) такий, що\(\left|b_{j}\right|>\gamma\) для всіх\(j>K .\) задано\(\epsilon>0,\) вибрати\(P\) так, щоб
\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon \delta \gamma .\]
для всіх\(i>P .\) Нехай\(S\) буде більше,\(N, K,\) а\(P .\) потім, для всіх, що\(i, j>S,\) ми маємо
\[\begin{aligned}\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{b_{i}}\right| &=\left|\frac{b_{i}-a_{i}}{a_{i} b_{i}}\right| \\ &=\frac{\left|b_{i}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} b_{i}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta \gamma}{\delta \gamma} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]
\(\frac{1}{a_{i}} \sim \frac{1}{b_{i}} .\)Отже, якщо\(u \neq 0\) є дійсним числом, яке є класом еквівалентності,\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}(\text { necessarily bounded away from } 0),\) то ми можемо визначити.
\[a^{-1}=\frac{1}{a}\]
бути класом еквівалентності
\[\left\{\frac{1}{a_{i}}\right\}_{i=N+1}^{\infty},\]
де\(N\) був обраний так, що\(\left|a_{i}\right|>\delta\) для всіх\(i>N\) і деяких\(\delta>0 .\)
Відразу з цих визначень випливає, що\(\mathbb{R}\) є полем. Тобто:
1. \(a+b=b+a\)для всіх\(a, b \in \mathbb{R}\);
2. \((a+b)+c=a+(b+c)\)для всіх\(a, b, c \in \mathbb{R}\);
3. \(a b=b a\)для всіх\(a, b \in \mathbb{R}\);
4. \((a b) c=a(b c)\)для всіх\(a, b, c \in \mathbb{R}\);
5. \(a(b+c)=a b+a c\)для всіх\(a, b, c \in \mathbb{R}\);
6. \(a+0=a\)для всіх\(a \in \mathbb{R}\);
7. \(a+(-a)=0\)для всіх\(a \in \mathbb{R}\);
8. \(1 a=a\)для всіх\(a \in \mathbb{R}\);
9. якщо\(a \in \mathbb{R}, a \neq 0,\) тоді\(a a^{-1}=1\).
1.4.2 Порядок і метричні властивості
З огляду на, що\(u \in \mathbb{R},\)\(u\) ми говоримо, що\(u\) є додатним, записано\(u>0,\) if клас еквівалентності послідовності Коші,\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) для якої існує раціональне число\(\epsilon>0\) і ціле число\(N\) таке, що\(a_{i}>\epsilon\) для кожного\(i>N .\) A\(u \in \mathbb{R}\) дійсне число вважається негативний, якщо\(-u>0 .\) ми дозволимо\(\mathbb{R}^{+}\) позначити множину всіх позитивних дійсних чисел.
Показати, що якщо\(u \in \mathbb{R},\) тоді одне і лише одне з наведених нижче дій є істинним:\((\mathrm{a}) u>0,(\mathrm{b}) u<0,\) або\((\mathrm{c}) u=0\).
Покажіть, що якщо\(a, b \in \mathbb{R}^{+},\) тоді\(a+b \in \mathbb{R}^{+}\).
Задано дійсні числа\(u\) і\(v,\) ми говоримо\(u\) більше\(v\), ніж, написано\(u>v,\) або,\(v\) еквівалентно, менше, ніж\(u,\) написано,\(v<u,\) якщо\(u-v>0 .\) Ми пишемо\(u \geq v,\) або, еквівалентно,\(v \leq u,\) вказати, що\(u\) або більше або дорівнює\(v .\) Ми говоримо, що\(u\) це невід'ємний якщо\(u \geq 0\).
Показати, що\(\mathbb{R}\) є упорядкованим полем, тобто перевірте наступне:
а. для будь-якого\(a, b \in \mathbb{R},\) і тільки одного з наступних слід провести:\((i) a<b,\) (ii)\(a=b,(\text { iii) } a>b\).
б. якщо\(a, b, c \in \mathbb{R}\) з\(a<b\) і\(b<c,\) потім\(a<c\).
c Якщо\(a, b, c \in \mathbb{R}\) з\(a<b,\) потім\(a+c<b+c\).
d Якщо\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a>0\) і\(b>0,\) потім\(a b>0\).
Покажіть, що якщо\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a>0\) і\(b<0,\) тоді\(a b<0\).
Показати, що якщо\(a, b, c \in \mathbb{R}\) з\(a<b,\) то\(a c<b c\) якщо\(c>0\) і\(a c>b c\) якщо\(c<0\).
Показати, що якщо\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a<b,\) то для будь-якого реального числа\(\lambda\) с\(0<\lambda<1, a<\lambda a+(1-\lambda) b<b\).
Для будь-якого\(a \in \mathbb{R},\) ми телефонуємо
\[|a|=\left\{\begin{array}{cc}{a,} & {\text { if } a \geq 0,} \\ {-a,} & {\text { if } a<0,}\end{array}\right.\]
абсолютне значення\(a\).
Покажіть, що для будь-якого\(a \in \mathbb{R},-|a| \leq a \leq|a|\).
Для будь-якого\(a, b \in \mathbb{R},|a+b| \leq|a|+|b|\).
- Доказ
-
Якщо\(a+b \geq 0,\) тоді
\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).\]
Обидва терміни праворуч є невід'ємними за допомогою вправи\(1.4 .10 .\) Отже сума невід'ємна, і випливає пропозиція. Якщо\(a+b<0,\) тоді
\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).\]
Знову ж таки, обидва терміни праворуч є невід'ємними вправами\(1.4 .10 .\) Отже, сума невід'ємна, і випливає пропозиція. \(\quad Q.E.D.\)
Тепер легко показати, що функція абсолютного значення задовольняє
1. \(|a-b| \geq 0\)для всіх\(a, b \in \mathbb{R},\) з\(|a-b|=0\) якщо і тільки якщо\(a=b,\)
2. \(|a-b|=|b-a|\)для всіх\(a, b \in \mathbb{R}\),
3. \(|a-b| \leq|a-c|+|c-b|\)для всіх\(a, b, c \in \mathbb{R} .\)
Ці властивості показують, що функція
\[d(a, b)=|a-b|\]
є метрикою, і ми будемо\(|a-b|\) називати відстань від\(a\) до\(b\).
Враховуючи, що\(a \in \mathbb{R}^{+},\) існують\(r, s \in \mathbb{Q}\) такі, що\(0<r<a<s\).
- Доказ
-
\(\{u\}_{i \in I}\)Дозволяти послідовність Коші в класі еквівалентності\(a .\) з Оскільки\(a>0,\) існує раціональне\(\epsilon>0\) і ціле число\(N\) таке, що\(u_{i}>\epsilon\) для всіх\(i>N .\) Нехай\(r=\frac{\epsilon}{2} .\) то\(u_{i}-r>\frac{\epsilon}{2}\) для кожного\(i>N,\) так,\(a-r>0,\) що є,\(0<r<a .\)
Тепер вибираємо ціле число\(M\) так, щоб\(\left|u_{i}-u_{j}\right|<1\) для всіх\(i, j>M .\) нехай\(s=u_{M+1}+2 .\) тоді
\[s-u_{i}=u_{M+1}+2-u_{i}>1\]
для всіх\(i>M .\) Звідси\(s>a\). \(\quad\)Q.E.D.
\(\mathbb{R}\)є архімедовим впорядкованим полем.
- Доказ
-
Задані дійсні числа\(a\) і\(b\) з\(0<a<b,\) нехай\(r\) і\(s\) бути раціональними числами, для яких\(0<r<a<b<s .\) оскільки\(\mathbb{Q}\) є архімедовим полем, існує ціле число\(n\) таке, що\(n r>s .\) Звідси
\[n a>n r>s>b.\]
Q.E.D.
Дано\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a<b,\) там існує\(r \in \mathbb{Q}\) таке, що\(a<r<b\).
- Доказ
-
\(\{u\}_{i \in I}\)Дозволяти бути послідовність Коші в класі еквівалентності\(a\) і нехай\(\{v\}_{j \in J}\) бути в класі еквівалентності\(b .\) з Так як\(b-a>0,\) існує раціональне\(\epsilon>0\) і ціле число\(N\) таке, що\(v_{i}-u_{i}>\epsilon\) для всіх\(i>N .\) Тепер вибрати ціле\(M\) так, щоб \(\left|u_{i}-u_{j}\right|<\frac{e}{4}\)для всіх\(i, j>M .\) Нехай\(r=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2} .\) тоді
\[\begin{aligned} r-u_{i} &=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2}-u_{i} \\ &=\frac{\epsilon}{2}-\left(u_{i}-u_{M+1}\right) \\ &>\frac{\epsilon}{2}-\frac{\epsilon}{4} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}\]
для всіх\(i>M\) і
\[\begin{aligned} v_{i}-r &=v_{i}-u_{M+1}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\left(v_{i}-u_{i}\right)-\left(u_{M+1}-u_{i}\right)-\frac{\epsilon}{2} \\ &>\epsilon-\frac{\epsilon}{4}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}\]
для всіх\(i\) більше, ніж більший з\(N\) і,\(M .\) отже,\(a<r<b . \quad\) Q.E.D.
1.4.3 Верхня та нижня межі
Нехай\(A \subset \mathbb{R}\). Якщо\(s \in \mathbb{R}\) такий, що\(s \geq a\) для кожного\(a \in A,\) тоді ми називаємо\(s\) верхню межу для\(A\). Якщо\(s\) це верхня межа для\(A\) з властивістю, що\(s \leq t\) всякий раз, коли\(t\) є верхньою меж для\(A,\) то ми\(s\) називаємо supremum, або найменш верхня межа,\(A,\) позначається\(s=\sup A\). Аналогічно, якщо\(r \in \mathbb{R}\) такий, що\(r \leq a\) для кожного\(a \in A,\) тоді ми називаємо\(r\) нижню межу для\(A .\) Якщо\(r\) нижня межа для\(A\) з властивістю, що\(r \geq t\) всякий раз, коли\(t\) нижня\(A,\) межа для то ми\(r\) називаємо infimum, або найбільша нижня межа, або\(A,\) позначається\(r=\inf A .\)
Припустимо,\(A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,\) має верхню межу. Тоді sup\(A\) існує.
- Доказ
-
Дозволяти\(a \in A\) і\(b\) нехай верхня межа для\(A .\) Визначити послідовності\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) і\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) наступним чином: Дозволяти\(a_{1}=a\) і\(b_{1}=b .\) Для\(i>1,\) нехай
\[c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.\]
Якщо\(c\) це верхня межа для\(A,\) нехай\(a_{i}=a_{i-1}\) і нехай\(b_{i}=c_{i}\) інакше, нехай\(a_{i}=c\) і\(b_{i}=b_{i-1} .\) Тоді
\[\left|b_{i}-a_{i}\right|=\frac{|b-a|}{2^{i-1}}\]
бо\(i=1,2,3, \ldots\) тепер, бо\(i=1,2,3, \ldots,\) нехай\(r_{i}\) буде раціональне число таке, що\(a_{i}<r_{i}<b_{i} .\) Враховуючи будь-який,\(\epsilon>0,\) ми можемо вибрати\(N\) так, щоб
\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\epsilon}.\]
Тоді, коли\(i>N\) і\(j>N\),
\[\left|r_{i}-r_{j}\right|<\left|b_{N+1}-a_{N+1}\right|=\frac{|b-a|}{2^{N}}<\epsilon.\]
\(\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\)Звідси і послідовність Коші. \(s \in \mathbb{R}\)Дозволяти клас еквівалентності\(\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .\) Примітка, що, для\(i=1,2,3, \ldots, a_{i} \leq s \leq b_{i}\).
Тепер\(s\), якщо не верхня\(A,\) межа для то існує\(a \in A\) з\(a>s .\) Нехай\(\delta=a-s\) і вибрати ціле число\(N\) таке, що
\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.\]
Тоді
\[b_{N+1} \leq s+\frac{|b-a|}{2^{N}}<s+\delta=a.\]
Але, за конструкцією,\(b_{N+1}\) це верхня межа для\(A .\) Таким чином s повинна бути верхньою межею для\(A .\)
Тепер припустимо\(t\), це ще одна верхня\(A\) межа для і\(t<s .\) нехай\(\delta=s-t\) і вибрати ціле число\(N\) таке, що
\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.\]
Тоді
\[a_{N+1} \geq s-\frac{|b-a|}{2^{N}}>s-\delta=t,\]
що означає, що\(a_{N+1}\) це верхня\(A .\) межа для Але, за конструкцією, не\(a_{N+1}\) є верхньою межею для\(A\). Отже,\(s\) повинна бути найменша верхня\(A\) межа для, тобто\(s=\sup A .\)\(\quad\) Q.E.D.
Показати, що якщо\(A \subset \mathbb{R}\) непорожній і має нижню межу, то inf\(A\) існує. (Підказка: Ви можете спочатку показати, що INF\(A=-\sup (-A),\) де\(-A=\{x:-x \in A\}) .\)