1.4: Реальні числа

$C$Дозволяти множина всіх послідовностей Коші раціональних чисел. Ми визначаємо відношення$C$ наступним чином: Якщо$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ є послідовності Коші в$\mathbb{Q}$, то$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I} \sim\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ які ми будемо писати простіше, як$a_{i} \sim b_{i},$ ніби для кожного раціонального числа$\epsilon>0,$ існує ціле число$N$ таке, що

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon$$

всякий раз, коли$i>N .$ це відношення є чітко рефлексивним і симетричним. Щоб показати, що це також перехідний, а отже, відношення еквівалентності, припустимо,$a_{i} \sim b_{i}$ і$b_{i} \sim c_{i} .$ дано$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ вибрати$N$ так, щоб

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i>N$ і$M$ так, щоб

$$\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i>M .$ Нехай$L$ буде більше$N$ і$M .$ Тоді, для всіх$i>L$,

$$\left|a_{i}-c_{i}\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$

Звідси$a_{i} \sim c_{i}$.

Визначення: множина класів еквівалентності

Використовуючи щойно визначене відношення еквівалентності, ми називаємо множину класів еквівалентності дійсних$C$ чисел, що позначаються$\mathbb{R}$.

Зверніть увагу, що якщо$a \in \mathbb{Q},$ ми можемо ідентифікувати$a$ з класом еквівалентності послідовності,$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ де$b_{i}=a, i=1,2,3, \ldots,$ і, таким чином, вважати$\mathbb{Q}$ підмножиною$\mathbb{R} .$

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо$\left\{b_{i}\right\}_{i \in J}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і є послідовності в$\mathbb{Q}$ с

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.$$

Покажіть, що$a_{i} \sim b_{i}$.

1.4.1 Властивості поля

Припустимо$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і є обидві послідовності Коші раціональних чисел. Дозвольте$K=I \cap J$ і визначити нову послідовність$\left\{s_{k}\right\}_{k \in K}$, встановивши$s_{k}=a_{k}+b_{k}$. Задано будь-який раціональний$\epsilon>0,$ вибір цілих чисел$N$ і$M$ таких, що

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i, j>N$ і

$$\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i, j>M .$ Якщо$L$ більше,$N$ а$M,$ потім, для всіх$i, j>L$,

$$\left|s_{i}-s_{j}\right|=\left|\left(a_{i}-a_{j}\right)+\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \leq\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon,$$

показуючи, що$\left\{s_{i}\right\}_{k \in K}$ це також послідовність Коші. Більш того, припустимо$a_{i} \sim c_{i}$ і$b_{i} \sim d_{i} .$ дано$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ вибрати$N$ так, щоб

$$\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i>N$ і вибирайте$M$ так, щоб

$$\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

для всіх$i>M .$ Якщо$L$ більше,$N$ а$M,$ потім, для всіх$i>L$,

$$\left|\left(a_{i}+b_{i}\right)-\left(c_{i}+d_{i}\right)\right| \leq\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$

$a_{i}+b_{i} \sim c_{i}+d_{i} .$Отже, якщо$u, v \in \mathbb{R},$ з$u$ класом еквівалентності$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ та$v$ класом еквівалентності,$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ то ми можемо однозначно визначити,$u+v$ щоб бути класом еквівалентності$\left\{a_{i}+b_{i}\right\}_{i \in K},$ де$K=I \cap J$.

Припустимо$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і є обидві послідовності Коші раціональних чисел.

Дозвольте$K=I \cap J$ і визначити нову послідовність,$\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}$ встановивши$p_{k}=a_{k} b_{k} .$$B>0$ Дозволяти бути верхньою межею для$\left\{\left|a_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} .$ множини задано$\epsilon>0$ вибрати цілі числа$N$ і$M$ такі, що

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

для всіх$i, j>N$ і

$$\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

для всіх$i, j>M .$ Якщо$L$ більше,$N$ а$M,$ потім, для всіх$i, j>L$,

$$\begin{aligned}\left|p_{i}-p_{j}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{i}+a_{j} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)+a_{j}\left(b_{i}-b_{j} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|+\left|a_{j}\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|a_{j}\right|\left|b_{i}-b_{j}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon \end{aligned}$$

$\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}$Звідси і послідовність Коші.

Тепер припустимо$\left\{d_{i}\right\}_{i \in G}$,$\left\{c_{i}\right\}_{i \in H}$ і є послідовності Коші з$a_{i} \sim c_{i}$ і$b_{i} \sim d_{i} .$$B>0$ Дозволяти бути верхньою меж для набору$\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} \cup\left\{\left|c_{i}\right|: i \in H\right\}$. Задано$\epsilon>0,$ вибрати цілі числа$N$ і$M$ такі, що

$$\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

для всіх$i>N$ і

$$\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

для всіх$i>M .$ Якщо$L$ більше,$N$ а$M,$ потім, для всіх$i>L$,

$$\begin{aligned}\left|a_{i} b_{i}-c_{i} d_{i}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-b_{i} c_{i}+b_{i} c_{i}-c_{i} d_{i}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)+c_{i}\left(b_{i}-d_{i} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)\right|+\left|c_{i}\left(b_{i}-d_{i}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|c_{i}\right|\left|b_{i}-d_{i}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon. \end{aligned}$$

$a_{i} b_{i} \sim c_{i} d_{i} .$Отже, якщо$u, v \in \mathbb{R},$ з$u$ класом еквівалентності$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ та$v$ класом еквівалентності,$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ то ми можемо однозначно визначити,$u v$ щоб бути класом еквівалентності$\left\{a_{i} b_{i}\right\}_{i \in K},$ де.$K=I \cap J .$

Якщо визначити$u \in \mathbb{R},$$-u=(-1) u .$ Зауважте, що якщо$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ є послідовністю Коші раціональних чисел у класі еквівалентності,$u,$ то$\left\{-a_{i}\right\}_{i \in I}$ є послідовністю Коші в класі еквівалентності$-u .$

Ми скажемо, що послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ обмежена від 0, якщо існує раціональне число$\delta>0$ і ціле число$N$ таке, що$\left|a_{i}\right|>\delta$ для всіх$i>N .$ повинно бути зрозуміло, що будь-яка послідовність, яка сходиться до 0, не обмежується від$0 .$ Крім того, як наслідок наступної вправа, будь-яка послідовність Коші, яка не сходиться до 0, повинна бути обмежена$0 .$

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність Коші, яка не обмежена від 0. Показати, що послідовність сходиться і$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=0$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність Коші, яка обмежена від 0 і$a_{i} \sim b_{i} .$ Show,$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ яка також обмежена від$0 .$

Тепер припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність Коші, яка обмежена від 0 і вибрати$\delta>0$ і$N$ так, щоб$\left|a_{i}\right|>\delta$ для всіх$i>N .$ Визначити нову послідовність,$\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}+1$ встановивши

$$c_{i}=\frac{1}{a_{i}}, i=N+1, N+2, \ldots$$

З огляду$\epsilon>0,$ вибираємо$M$ так, щоб

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon \delta^{2}$$

для всіх$i, j>M .$ Нехай$L$ буде більше,$N$ а$M .$ потім, для всіх, що$i, j>L,$ ми маємо

$$\begin{aligned}\left|c_{i}-c_{j}\right| &=\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{j}}\right| \\ &=\left|\frac{a_{j}-a_{i}}{a_{i} a_{j}}\right| \\ &=\frac{\left|a_{j}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} a_{j}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta^{2}}{\delta^{2}} \\ &=\epsilon. \end{aligned}$$

$\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}$Звідси і послідовність Коші.

Тепер припустимо,$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ що послідовність Коші з$a_{i} \sim b_{i} .$ Вправа 1.4.3 ми знаємо, що$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ також обмежена від$0,$ так вибрати$\gamma>0$ і$K$ такий, що$\left|b_{j}\right|>\gamma$ для всіх$j>K .$ задано$\epsilon>0,$ вибрати$P$ так, щоб

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon \delta \gamma .$$

для всіх$i>P .$ Нехай$S$ буде більше,$N, K,$ а$P .$ потім, для всіх, що$i, j>S,$ ми маємо

$$\begin{aligned}\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{b_{i}}\right| &=\left|\frac{b_{i}-a_{i}}{a_{i} b_{i}}\right| \\ &=\frac{\left|b_{i}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} b_{i}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta \gamma}{\delta \gamma} \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

$\frac{1}{a_{i}} \sim \frac{1}{b_{i}} .$Отже, якщо$u \neq 0$ є дійсним числом, яке є класом еквівалентності,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}(\text { necessarily bounded away from } 0),$ то ми можемо визначити.

$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$

бути класом еквівалентності

$$\left\{\frac{1}{a_{i}}\right\}_{i=N+1}^{\infty},$$

де$N$ був обраний так, що$\left|a_{i}\right|>\delta$ для всіх$i>N$ і деяких$\delta>0 .$

Відразу з цих визначень випливає, що$\mathbb{R}$ є полем. Тобто:

1. $a+b=b+a$для всіх$a, b \in \mathbb{R}$;

2. $(a+b)+c=a+(b+c)$для всіх$a, b, c \in \mathbb{R}$;

3. $a b=b a$для всіх$a, b \in \mathbb{R}$;

4. $(a b) c=a(b c)$для всіх$a, b, c \in \mathbb{R}$;

5. $a(b+c)=a b+a c$для всіх$a, b, c \in \mathbb{R}$;

6. $a+0=a$для всіх$a \in \mathbb{R}$;

7. $a+(-a)=0$для всіх$a \in \mathbb{R}$;

8. $1 a=a$для всіх$a \in \mathbb{R}$;

9. якщо$a \in \mathbb{R}, a \neq 0,$ тоді$a a^{-1}=1$.

1.4.2 Порядок і метричні властивості

Визначення

З огляду на, що$u \in \mathbb{R},$$u$ ми говоримо, що$u$ є додатним, записано$u>0,$ if клас еквівалентності послідовності Коші,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ для якої існує раціональне число$\epsilon>0$ і ціле число$N$ таке, що$a_{i}>\epsilon$ для кожного$i>N .$ A$u \in \mathbb{R}$ дійсне число вважається негативний, якщо$-u>0 .$ ми дозволимо$\mathbb{R}^{+}$ позначити множину всіх позитивних дійсних чисел.

Вправа$\PageIndex{4}$

Показати, що якщо$u \in \mathbb{R},$ тоді одне і лише одне з наведених нижче дій є істинним:$(\mathrm{a}) u>0,(\mathrm{b}) u<0,$ або$(\mathrm{c}) u=0$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Покажіть, що якщо$a, b \in \mathbb{R}^{+},$ тоді$a+b \in \mathbb{R}^{+}$.

Визначення

Задано дійсні числа$u$ і$v,$ ми говоримо$u$ більше$v$, ніж, написано$u>v,$ або,$v$ еквівалентно, менше, ніж$u,$ написано,$v<u,$ якщо$u-v>0 .$ Ми пишемо$u \geq v,$ або, еквівалентно,$v \leq u,$ вказати, що$u$ або більше або дорівнює$v .$ Ми говоримо, що$u$ це невід'ємний якщо$u \geq 0$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Показати, що$\mathbb{R}$ є упорядкованим полем, тобто перевірте наступне:

а. для будь-якого$a, b \in \mathbb{R},$ і тільки одного з наступних слід провести:$(i) a<b,$ (ii)$a=b,(\text { iii) } a>b$.

б. якщо$a, b, c \in \mathbb{R}$ з$a<b$ і$b<c,$ потім$a<c$.

c Якщо$a, b, c \in \mathbb{R}$ з$a<b,$ потім$a+c<b+c$.

d Якщо$a, b \in \mathbb{R}$ з$a>0$ і$b>0,$ потім$a b>0$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Покажіть, що якщо$a, b \in \mathbb{R}$ з$a>0$ і$b<0,$ тоді$a b<0$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Показати, що якщо$a, b, c \in \mathbb{R}$ з$a<b,$ то$a c<b c$ якщо$c>0$ і$a c>b c$ якщо$c<0$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Показати, що якщо$a, b \in \mathbb{R}$ з$a<b,$ то для будь-якого реального числа$\lambda$ с$0<\lambda<1, a<\lambda a+(1-\lambda) b<b$.

Визначення

Для будь-якого$a \in \mathbb{R},$ ми телефонуємо

$$|a|=\left\{\begin{array}{cc}{a,} & {\text { if } a \geq 0,} \\ {-a,} & {\text { if } a<0,}\end{array}\right.$$

абсолютне значення$a$.

Вправа$\PageIndex{10}$

Покажіть, що для будь-якого$a \in \mathbb{R},-|a| \leq a \leq|a|$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Для будь-якого$a, b \in \mathbb{R},|a+b| \leq|a|+|b|$.

Доказ

Якщо$a+b \geq 0,$ тоді

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).$$

Обидва терміни праворуч є невід'ємними за допомогою вправи$1.4 .10 .$ Отже сума невід'ємна, і випливає пропозиція. Якщо$a+b<0,$ тоді

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).$$

Знову ж таки, обидва терміни праворуч є невід'ємними вправами$1.4 .10 .$ Отже, сума невід'ємна, і випливає пропозиція. $\quad Q.E.D.$

Тепер легко показати, що функція абсолютного значення задовольняє

1. $|a-b| \geq 0$для всіх$a, b \in \mathbb{R},$ з$|a-b|=0$ якщо і тільки якщо$a=b,$

2. $|a-b|=|b-a|$для всіх$a, b \in \mathbb{R}$,

3. $|a-b| \leq|a-c|+|c-b|$для всіх$a, b, c \in \mathbb{R} .$

Ці властивості показують, що функція

$$d(a, b)=|a-b|$$

є метрикою, і ми будемо$|a-b|$ називати відстань від$a$ до$b$.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Враховуючи, що$a \in \mathbb{R}^{+},$ існують$r, s \in \mathbb{Q}$ такі, що$0<r<a<s$.

Доказ

$\{u\}_{i \in I}$Дозволяти послідовність Коші в класі еквівалентності$a .$ з Оскільки$a>0,$ існує раціональне$\epsilon>0$ і ціле число$N$ таке, що$u_{i}>\epsilon$ для всіх$i>N .$ Нехай$r=\frac{\epsilon}{2} .$ то$u_{i}-r>\frac{\epsilon}{2}$ для кожного$i>N,$ так,$a-r>0,$ що є,$0<r<a .$

Тепер вибираємо ціле число$M$ так, щоб$\left|u_{i}-u_{j}\right|<1$ для всіх$i, j>M .$ нехай$s=u_{M+1}+2 .$ тоді

$$s-u_{i}=u_{M+1}+2-u_{i}>1$$

для всіх$i>M .$ Звідси$s>a$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

$\mathbb{R}$є архімедовим впорядкованим полем.

Доказ

Задані дійсні числа$a$ і$b$ з$0<a<b,$ нехай$r$ і$s$ бути раціональними числами, для яких$0<r<a<b<s .$ оскільки$\mathbb{Q}$ є архімедовим полем, існує ціле число$n$ таке, що$n r>s .$ Звідси

$$n a>n r>s>b.$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Дано$a, b \in \mathbb{R}$ з$a<b,$ там існує$r \in \mathbb{Q}$ таке, що$a<r<b$.

Доказ

$\{u\}_{i \in I}$Дозволяти бути послідовність Коші в класі еквівалентності$a$ і нехай$\{v\}_{j \in J}$ бути в класі еквівалентності$b .$ з Так як$b-a>0,$ існує раціональне$\epsilon>0$ і ціле число$N$ таке, що$v_{i}-u_{i}>\epsilon$ для всіх$i>N .$ Тепер вибрати ціле$M$ так, щоб $\left|u_{i}-u_{j}\right|<\frac{e}{4}$для всіх$i, j>M .$ Нехай$r=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2} .$ тоді

$$\begin{aligned} r-u_{i} &=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2}-u_{i} \\ &=\frac{\epsilon}{2}-\left(u_{i}-u_{M+1}\right) \\ &>\frac{\epsilon}{2}-\frac{\epsilon}{4} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}$$

для всіх$i>M$ і

$$\begin{aligned} v_{i}-r &=v_{i}-u_{M+1}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\left(v_{i}-u_{i}\right)-\left(u_{M+1}-u_{i}\right)-\frac{\epsilon}{2} \\ &>\epsilon-\frac{\epsilon}{4}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}$$

для всіх$i$ більше, ніж більший з$N$ і,$M .$ отже,$a<r<b . \quad$ Q.E.D.

1.4.3 Верхня та нижня межі

Визначення

Нехай$A \subset \mathbb{R}$. Якщо$s \in \mathbb{R}$ такий, що$s \geq a$ для кожного$a \in A,$ тоді ми називаємо$s$ верхню межу для$A$. Якщо$s$ це верхня межа для$A$ з властивістю, що$s \leq t$ всякий раз, коли$t$ є верхньою меж для$A,$ то ми$s$ називаємо supremum, або найменш верхня межа,$A,$ позначається$s=\sup A$. Аналогічно, якщо$r \in \mathbb{R}$ такий, що$r \leq a$ для кожного$a \in A,$ тоді ми називаємо$r$ нижню межу для$A .$ Якщо$r$ нижня межа для$A$ з властивістю, що$r \geq t$ всякий раз, коли$t$ нижня$A,$ межа для то ми$r$ називаємо infimum, або найбільша нижня межа, або$A,$ позначається$r=\inf A .$

Теорема$\PageIndex{5}$

Припустимо,$A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,$ має верхню межу. Тоді sup$A$ існує.

Доказ

Дозволяти$a \in A$ і$b$ нехай верхня межа для$A .$ Визначити послідовності$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ і$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ наступним чином: Дозволяти$a_{1}=a$ і$b_{1}=b .$ Для$i>1,$ нехай

$$c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.$$

Якщо$c$ це верхня межа для$A,$ нехай$a_{i}=a_{i-1}$ і нехай$b_{i}=c_{i}$ інакше, нехай$a_{i}=c$ і$b_{i}=b_{i-1} .$ Тоді

$$\left|b_{i}-a_{i}\right|=\frac{|b-a|}{2^{i-1}}$$

бо$i=1,2,3, \ldots$ тепер, бо$i=1,2,3, \ldots,$ нехай$r_{i}$ буде раціональне число таке, що$a_{i}<r_{i}<b_{i} .$ Враховуючи будь-який,$\epsilon>0,$ ми можемо вибрати$N$ так, щоб

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\epsilon}.$$

Тоді, коли$i>N$ і$j>N$,

$$\left|r_{i}-r_{j}\right|<\left|b_{N+1}-a_{N+1}\right|=\frac{|b-a|}{2^{N}}<\epsilon.$$

$\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$Звідси і послідовність Коші. $s \in \mathbb{R}$Дозволяти клас еквівалентності$\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .$ Примітка, що, для$i=1,2,3, \ldots, a_{i} \leq s \leq b_{i}$.

Тепер$s$, якщо не верхня$A,$ межа для то існує$a \in A$ з$a>s .$ Нехай$\delta=a-s$ і вибрати ціле число$N$ таке, що

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.$$

Тоді

$$b_{N+1} \leq s+\frac{|b-a|}{2^{N}}<s+\delta=a.$$

Але, за конструкцією,$b_{N+1}$ це верхня межа для$A .$ Таким чином s повинна бути верхньою межею для$A .$

Тепер припустимо$t$, це ще одна верхня$A$ межа для і$t<s .$ нехай$\delta=s-t$ і вибрати ціле число$N$ таке, що

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.$$

Тоді

$$a_{N+1} \geq s-\frac{|b-a|}{2^{N}}>s-\delta=t,$$

що означає, що$a_{N+1}$ це верхня$A .$ межа для Але, за конструкцією, не$a_{N+1}$ є верхньою межею для$A$. Отже,$s$ повинна бути найменша верхня$A$ межа для, тобто$s=\sup A .$$\quad$ Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{11}$

Показати, що якщо$A \subset \mathbb{R}$ непорожній і має нижню межу, то inf$A$ існує. (Підказка: Ви можете спочатку показати, що INF$A=-\sup (-A),$ де$-A=\{x:-x \in A\}) .$