1.2: Функції

Якщо$A$ і$B$ множини, ми називаємо відношення функція$R \subset A \times B$ з доменом,$A$ якщо для кожного$a \in A$ існує один, і тільки один,$b \in B$ такий, що$(a, b) \in R .$ Ми зазвичай вказуємо таке відношення з позначенням$f: A \rightarrow B,$ і писати,$f(a)=b$ щоб вказати, що $(a, b) \in R .$Ми називаємо множиною всіх$b \in B$ таких, що$f(a)=b$ для деяких$a \in A$ діапазон$f .$ З цим позначенням, ми часто$R$ називаємо графіком$f$.

Ми говоримо,$f: A \rightarrow B$ що один до одного, якщо для кожного$b$ в діапазоні$f$ існує унікальний$a \in A$ такий, що$f(a)=b .$ Ми говоримо$f$ є на якщо для кожного$b \in B$ існує принаймні один$a \in A$ такий, що$f(a)=b .$ Наприклад, функція$f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ визначена $f(z)=z^{2}$один до одного, але не на, тоді як функція,$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ визначена як$f(z)=z+1$ один до одного, так і на.

Дано дві функції,$g: A \rightarrow B$ і$f: B \rightarrow C,$ ми визначаємо композицію,$f \circ g: A \rightarrow C,$ позначену як функція, визначена$f \circ g(a)=f(g(a))$.

Якщо$f: A \rightarrow B$ є як один до одного, так і на, то ми можемо визначити функцію,$f^{-1}: B \rightarrow A$ вимагаючи$f^{-1}(b)=a$ якщо і тільки якщо$f(a)=b$. Зверніть увагу, що це означає, що$f \circ f^{-1}(b)=b$$f^{-1} \circ f(a)=a$ для всіх$b \in B$ і для всіх$a \in A .$ Ми$f^{-1}$ називаємо зворотним$f$.

З огляду на будь-яку колекцію непорожніх множин,$\left\{A_{\alpha}\right\}, \alpha \in I,$ ми припускаємо існування функції$\phi: I \rightarrow B=\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha},$ з властивістю, яку$\phi(\alpha) \in A_{\alpha} .$ Ми називаємо таку функцію функцією вибору. Припущення про те, що функції вибору завжди існують, відоме як аксіома вибору.