1.2: Функції

Якщо\(A\) і\(B\) множини, ми називаємо відношення функція\(R \subset A \times B\) з доменом,\(A\) якщо для кожного\(a \in A\) існує один, і тільки один,\(b \in B\) такий, що\((a, b) \in R .\) Ми зазвичай вказуємо таке відношення з позначенням\(f: A \rightarrow B,\) і писати,\(f(a)=b\) щоб вказати, що \((a, b) \in R .\)Ми називаємо множиною всіх\(b \in B\) таких, що\(f(a)=b\) для деяких\(a \in A\) діапазон\(f .\) З цим позначенням, ми часто\(R\) називаємо графіком\(f\).

Ми говоримо,\(f: A \rightarrow B\) що один до одного, якщо для кожного\(b\) в діапазоні\(f\) існує унікальний\(a \in A\) такий, що\(f(a)=b .\) Ми говоримо\(f\) є на якщо для кожного\(b \in B\) існує принаймні один\(a \in A\) такий, що\(f(a)=b .\) Наприклад, функція\(f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\) визначена \(f(z)=z^{2}\)один до одного, але не на, тоді як функція,\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) визначена як\(f(z)=z+1\) один до одного, так і на.

Дано дві функції,\(g: A \rightarrow B\) і\(f: B \rightarrow C,\) ми визначаємо композицію,\(f \circ g: A \rightarrow C,\) позначену як функція, визначена\(f \circ g(a)=f(g(a))\).

Якщо\(f: A \rightarrow B\) є як один до одного, так і на, то ми можемо визначити функцію,\(f^{-1}: B \rightarrow A\) вимагаючи\(f^{-1}(b)=a\) якщо і тільки якщо\(f(a)=b\). Зверніть увагу, що це означає, що\(f \circ f^{-1}(b)=b\)\(f^{-1} \circ f(a)=a\) для всіх\(b \in B\) і для всіх\(a \in A .\) Ми\(f^{-1}\) називаємо зворотним\(f\).

З огляду на будь-яку колекцію непорожніх множин,\(\left\{A_{\alpha}\right\}, \alpha \in I,\) ми припускаємо існування функції\(\phi: I \rightarrow B=\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha},\) з властивістю, яку\(\phi(\alpha) \in A_{\alpha} .\) Ми називаємо таку функцію функцією вибору. Припущення про те, що функції вибору завжди існують, відоме як аксіома вибору.