11.2: Формули та кола відстані та середини

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте формулу відстані
• Використовуйте формулу середньої точки
• Запишіть рівняння кола в стандартному вигляді
• Графік кола

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Знайти довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, катети якого$12$ і$16$ дюйми.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.34.
2. Фактор:$x^{2}-18 x+81$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.24.
3. Вирішіть, заповнивши квадрат:$x^{2}-12 x-12=0$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.22.

У цьому розділі ми розглянемо конічні перерізи, які зазвичай називають конічними, та їх властивості. Коніки - це криві, які виходять з площини, що перетинає подвійний конус - два конуси, розміщені точка-точка. Кожну половинку подвійного конуса називають ворсом.

Малюнок 11.1.1

Є чотири конуси: коло, парабола, еліпс і гіпербола. На наступному малюнку показано, як площина, що перетинає подвійний конус, призводить до кожної кривої.

Малюнок 11.1.2

Кожна з кривих має безліч додатків, які впливають на ваше повсякденне життя, від мобільного телефону до акустики та навігаційних систем. У цьому розділі ми розглянемо властивості кола.

Використовуйте формулу відстані

Ми використовували теорему Піфагора, щоб знайти довжини сторін прямокутного трикутника. Тут ми знову будемо використовувати цю теорему, щоб знайти відстані на прямокутній системі координат. Знайшовши відстань на прямокутній системі координат, ми можемо встановити зв'язок між геометрією конічного конуса та алгеброю, що відкриває світ можливостей для застосування.

Нашим першим кроком є розробка формули для пошуку відстаней між точками прямокутної системи координат. Ми побудуємо точки і створимо прямокутний трикутник так само, як ми робили, коли ми знайшли нахил у графіках і функціях. Потім ми зробимо це на крок далі і використовуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи трикутника - це відстань між точками.

Приклад$\PageIndex{1}$

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками$(6,4)$ і$(2,1)$.

Рішення

Таблиця 11.1.1

Помітьте дві точки. З'єднайте дві точки лінією. Намалюйте прямокутний трикутник так, ніби ви збираєтеся знайти нахил.	Малюнок 11.1.3
Знайдіть довжину кожної ноги.	Малюнок 11.1.4
Використовуйте теорему Піфагора$d$, щоб знайти відстань між двома точками.	$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Підставляємо в значеннях.	$3^{2}+4^{2}=d^{2}$
Спростити.	$9+16=d^{2}$
	$25=d^{2}$
Використовуйте властивість «Квадратний корінь».	$d=5\quad\cancel{d=-5}$
Оскільки відстань,$d$ є позитивною, ми можемо усунути$d=-5$.	Відстань між точками$(6,4)$ і$(2,1)$ є$5$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками$(6,1)$ і$(2,-2)$.

Відповідь

$d=5$

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками$(5,3)$ і$(-3,-3)$.

Відповідь

$d=10$

Малюнок 11.1.5

Метод, який ми використовували в останньому прикладі, призводить нас до формули, щоб знайти відстань між двома точками$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$.

Коли ми знайшли довжину горизонтальної ноги, ми віднімаємо$6−2$ яка є$x_{2}-x_{1}$.

Коли ми знайшли довжину вертикальної ноги, ми віднімаємо$4−1$ яка є$y_{2}-y_{1}$.

Якщо трикутник був у іншому положенні, ми, можливо, віднімали$x_{1}-x_{2}$ або$y_{1}-y_{2}$. Вирази$x_{2}-x_{1}$ і$x_{1}-x_{2}$ варіюються тільки в знак отриманого числа. Щоб отримати позитивне значення - оскільки відстань позитивна - ми можемо використовувати абсолютне значення. Так що узагальнити скажемо$\left|x_{2}-x_{1}\right|$ і$\left|y_{2}-y_{1}\right|$.

У теоремі Піфагора підставляємо загальні вирази,$\left|x_{2}-x_{1}\right|$$\left|y_{2}-y_{1}\right|$ а не числа.

$\begin{array}{l c}{} & {a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {\text {Substitute in the values. }}&{(|x_{2}-x_{1}|)^{2}+(|y_{2}-y_{1}|)^{2}=d^{2}} \\ {\text{Squaring the expressions makes}}&{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}} \\ \text{them positive, so we eliminate} \\\text{the absolute value bars.}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{d=\pm\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\ {\text{Distance is positive, so eliminate}}&{d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\\text{the negative value.}\end{array}$

Це формула відстані, яку ми використовуємо, щоб знайти відстань$d$ між двома точками$(x_{1},y_{1})$ і$(x_{2}, y_{2})$.

Визначення$\PageIndex{1}$

Формула відстані

Відстань$d$ між двома точками$(x_{1},y_{1})$ і$(x_{2}, y_{2})$

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(-5,-3)$ і$(7,2)$.

Рішення:

Напишіть формулу відстані.

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Позначте точки$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-3}\end{array}\right)$,$\left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)$ і підставляйте.

$d=\sqrt{(7-(-5))^{2}+(2-(-3))^{2}}$

Спростити.

$d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$
$d=\sqrt{144+25}$
$d=\sqrt{169}$
$d=13$

Відповідь:

$d=13$

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(-4,-5)$ і$(5,7)$.

Відповідь

$d=15$

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(-2,-5)$ і$(-14,-10)$.

Відповідь

$d=13$

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(10,−4)$ і$(−1,5)$. Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Рішення:

Напишіть формулу відстані.

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Позначте точки$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {10,-4}\end{array}\right)$,$\left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-1,5}\end{array}\right)$ і підставляйте.

$d=\sqrt{(-1-10)^{2}+(5-(-4))^{2}}$

Спростити.

$d=\sqrt{(-11)^{2}+9^{2}}$
$d=\sqrt{121+81}$
$d=\sqrt{202}$

Оскільки$202$ це не ідеальний квадрат, ми можемо залишити відповідь у точному вигляді або знайти десяткове наближення.

$d=\sqrt{202}$
або
$d \approx 14.2$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(−4,−5)$ і$(3,4)$. Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Відповідь

$d=\sqrt{130}, d \approx 11.4$

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками$(−2,−5)$ і$(−3,−4)$. Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Відповідь

$d=\sqrt{2}, d \approx 1.4$

Використовуйте формулу середньої точки

Часто корисно мати можливість знайти середню точку сегмента. Наприклад, якщо у вас є кінцеві точки діаметра кола, ви можете знайти центр кола, який є середньою точкою діаметра. Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення$x$ -координат та середнє значення$y$ -координат кінцевих точок.

Визначення$\PageIndex{2}$

Формула середньої точки

Середина відрізка лінії, кінцевими точками якого є дві точки$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$

$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення$x$ -координат та середнє значення$y$ -координат кінцевих точок.

Приклад$\PageIndex{4}$

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є$(−5,−4)$ і$(7,2)$. Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Рішення:

Таблиця 11.1.2

Напишіть формулу середньої точки.	$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$
Позначте точки,$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)$ і підставляйте.	$\left(\frac{-5+7}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)$
Спростити.	$\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)$
	$(1,-1)$ Середина відрізка - це точка $(1,-1)$.
Побудуйте кінцеві та середні точки.	Малюнок 11.1.6

Вправа$\PageIndex{7}$

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є$(−3,−5)$ і$(5,7)$. Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Відповідь

Малюнок 11.1.7

Вправа$\PageIndex{8}$

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є$(−2,−5)$ і$(6,−1)$. Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Відповідь

Малюнок 11.1.8

Як формула відстані, так і формула середньої точки залежать від двох точок,$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$. Легко переплутати, яка формула вимагає додавання, а яка віднімання координат. Якщо ми пам'ятаємо, звідки беруться формули, може бути простіше запам'ятати формули.

Малюнок 11.1.9

Запишіть рівняння кола в стандартній формі

Як ми вже згадували, наша мета полягає в тому, щоб з'єднати геометрію конічного конуса з алгеброю. Використовуючи координатну площину, ми можемо зробити це легко.

Малюнок 11.1.10

Ми визначаємо коло як усі точки на площині, які є фіксованою відстанню від заданої точки в площині. Задана точка називається центром$(h,k)$, а фіксована відстань називається $r$радіусом кола.

Визначення$\PageIndex{3}$

Коло - це всі точки на площині, які є фіксованою відстанню від заданої точки в площині. Задана точка називається центром$(h,k)$, а фіксована відстань називається $r$радіусом кола.

Таблиця 11.1.3

Дивимося на коло в прямокутній системі координат. Радіус - це відстань від центру$(h,k)$,, до точки на колі,$(x,y)$.	Малюнок 11.1.11
Щоб вивести рівняння кола, ми можемо використовувати формулу відстані з точками$(h,k)$,$(x,y)$ і відстань,$r$.	$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
Підставляємо значення.	$r=\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}$
Квадрат з обох сторін.	$r^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}$

Це стандартна форма рівняння кола з центром$(h,k)$, і радіусом,$r$.

Визначення$\PageIndex{4}$

Стандартна форма рівняння кола з центром$(h,k)$, і радіусом$r$,

Малюнок 11.1.12

Приклад$\PageIndex{5}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$3$ і центром$(0,0)$.

Рішення:

Таблиця 11.1.4

Використовуйте стандартну форму рівняння кола	$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
Підставляємо в значення$r=3, h=0$, і$k=0$.	$(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3^{2}$
Спростити.	$x^{2}+y^{2}=9$

Вправа$\PageIndex{9}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$6$ і центром$(0,0)$.

Відповідь

$x^{2}+y^{2}=36$

Вправа$\PageIndex{10}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$8$ і центром$(0,0)$.

Відповідь

$x^{2}+y^{2}=64$

В останньому прикладі центр був$(0,0)$. Зверніть увагу, що сталося з рівнянням. Всякий раз$(0,0)$, коли центр є, стандартна форма стає$x^{2}+y^{2}=r^{2}$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$2$ і центром$(−1,3)$.

Рішення:

Таблиця 11.1.5

Використовуйте стандартну форму рівняння кола.	$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
Підставляємо в значеннях.	$(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$
Спростити.	$(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4$

Вправа$\PageIndex{11}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$7$ і центром$(2,−4)$.

Відповідь

$(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=49$

Вправа$\PageIndex{12}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом$9$ і центром$(−3,−5)$.

Відповідь

$(x+3)^{2}+(y+5)^{2}=81$

У наступному прикладі радіус не задано. Для обчислення радіуса використовуємо формулу відстані з двома заданими точками.

Приклад$\PageIndex{7}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром$(2,4)$, який також містить точку$(−2,1)$.

Малюнок 11.1.15

Рішення:

Радіус - це відстань від центру до будь-якої точки на колі, тому ми можемо використовувати формулу відстані для її обчислення. Ми будемо використовувати центр$(2,4)$ і точку$(−2,1)$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти радіус.

$r=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Підставляємо значення. $\left( \begin{array}{l}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-2,1}\end{array}\right)$

$r=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1-4)^{2}}$

Спростити.

$r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}$
$r=\sqrt{16+9}$
$r=\sqrt{25}$
$r=5$

Тепер, коли ми знаємо радіус і центр$(2,4)$, ми можемо використовувати стандартну форму рівняння кола, щоб знайти рівняння.$r=5$

Використовуйте стандартну форму рівняння кола.

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Підставляємо в значеннях.

$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5^{2}$

Спростити.

$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25$

Вправа$\PageIndex{13}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром$(2,1)$, який також містить точку$(−2,−2)$.

Відповідь

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$

Вправа$\PageIndex{14}$

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром$(7,1)$, який також містить точку$(−1,−5)$.

Відповідь

$(x-7)^{2}+(y-1)^{2}=100$

Графік кола

Будь-яке рівняння виду$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ є стандартною формою рівняння кола з центром$(h,k)$, і радіусом,$r$. Потім ми можемо намалювати коло на прямокутній системі координат.

Зверніть увагу, що стандартна форма вимагає віднімання з$x$ і$y$. У наступному прикладі рівняння має$x+2$, тому нам потрібно переписати додавання як віднімання негативу.

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть центр і радіус, потім намалюйте графік кола:$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$.

Рішення:

Таблиця 11.1.6

Використовуйте стандартну форму рівняння кола. Визначте центр,$(h,k)$ і радіус,$r$.
	Центр:$(-2,1)$ радіус:$3$
Графік кола.

Вправа$\PageIndex{15}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4$.

Відповідь

1. Коло по центру$(3,-4)$ з радіусом$2$.

Малюнок 11.1.19

Вправа$\PageIndex{16}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16$.

Відповідь

1. Коло по центру$(3,1)$ з радіусом$4$.

Малюнок 11.1.20

Щоб знайти центр і радіус, ми повинні написати рівняння в стандартному вигляді. У наступному прикладі ми повинні спочатку отримати коефіцієнт$x^{2}, y^{2}$ бути одиницею.

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайдіть центр і радіус, а потім графік кола,$4 x^{2}+4 y^{2}=64$.

Рішення:

Таблиця 11.1.7

Розділіть кожну сторону на$4$.
Використовуйте стандартну форму рівняння кола. Визначте центр,$(h,k)$ і радіус,$r$.
	Центр:$(0,0)$ радіус:$4$
Графік кола.

Вправа$\PageIndex{17}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$3 x^{2}+3 y^{2}=27$

Відповідь

1. Коло по центру$(0,0)$ з радіусом$3$.

Малюнок 11.1.25

Вправа$\PageIndex{18}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$5 x^{2}+5 y^{2}=125$

Відповідь

1. Коло по центру$(0,0)$ з радіусом$5$.

Малюнок 11.1.26

Якщо розгорнути рівняння з прикладу 11.1.8$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$, рівняння кола виглядає зовсім інакше.

$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$

Квадратні двочлени.

$x^{2}+4 x+4+y^{2}-2 y+1=9$

Впорядкуйте терміни в порядку зменшення ступеня, і отримайте нуль праворуч

$x^{2}+y^{2}+4 x-2 y-4=0$

Така форма рівняння називається загальною формою рівняння кола.

Визначення$\PageIndex{5}$

Загальна форма рівняння кола дорівнює

$x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0$

Якщо нам дано рівняння в загальному вигляді, ми можемо змінити його на стандартну форму, заповнивши квадрати в обох$x$ і$y$. Тоді ми можемо намалювати коло, використовуючи його центр і радіус.

Приклад$\PageIndex{10}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+4=0$

Рішення:

Нам потрібно переписати цю загальну форму в стандартну форму, щоб знайти центр і радіус.

Таблиця 11.1.8

	Малюнок 11.1.27
Згрупуйте$x$ -терміни і$y$ -терміни. Зберіть константи з правого боку.	Малюнок 11.1.28
Завершіть квадрати.	Малюнок 11.1.29
Перепишіть як біноміальні квадрати.	Малюнок 11.1.30
Визначте центр і радіус.	Центр:$(2,3)$ радіус:$3$
Графік кола.	Малюнок 11.1.31

Вправа$\PageIndex{19}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+9=0$.

Відповідь

1. Коло по центру$(3,4)$ з радіусом$4$.

Малюнок 11.1.32

Вправа$\PageIndex{20}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}+6 x-2 y+1=0$

Відповідь

1. Коло по центру$(-3,1)$ з радіусом$3$.

Малюнок 11.1.33

У наступному прикладі є$y$ -термін і a$y^{2}$ -термін. Але зверніть увагу, що немає$x$ -термін, тільки$x^{2}$ -термін. Ми бачили це раніше і знаємо, що$h$ це означає$0$. Нам потрібно буде заповнити квадрат для$y$ термінів, але не для$x$ термінів.

Приклад$\PageIndex{11}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}+8 y=0$

Рішення:

Нам потрібно переписати цю загальну форму в стандартну форму, щоб знайти центр і радіус.

Таблиця 11.1.9

Згрупуйте$x$ -терміни і$y$ -терміни.
Немає констант для збору з правого боку.
Завершіть квадрат для$y^{2}+8y$.
Перепишіть як біноміальні квадрати.
Визначте центр і радіус.	Центр:$(0,-4)$ радіус:$4$
Графік кола.

Вправа$\PageIndex{21}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}-2 x-3=0$.

Відповідь

1. Коло по центру$(-1,0)$ з радіусом$2$.

Малюнок 11.1.39

Вправа$\PageIndex{22}$

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола:$x^{2}+y^{2}-12 y+11=0$.

Відповідь

1. Коло по центру$(0,6)$ з радіусом$5$.

Малюнок 11.1.40

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для отримання додаткових інструкцій та практики за допомогою формул відстані та середньої точки та графічних кіл.

• Формули та кола відстань-середина
• Пошук відстані та середини між двома точками
• Завершення квадрата для написання рівняння у стандартній формі кола

Ключові концепції

• Відстань формула: відстань$d$ між двома точками$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$

  $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

• середина формули: середина відрізка лінії, кінцеві точки якої дві точки$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$

  $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

  Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення$x$ -координат та середнє значення$y$ -координат кінцевих точок.
• Коло: Коло - це всі точки на площині, які є фіксованою відстанню від фіксованої точки на площині. Задана точка називається центром$(h,k)$, а фіксована відстань називається $r$радіусом кола.
• Стандартна форма рівняння кола: стандартна форма рівняння кола з центром$(h,k)$, і радіусом$r$

Малюнок 11.1.41

• Загальна форма рівняння кола: загальна форма рівняння кола

  $x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0$

Глосарій

коло

Коло - це всі точки в площині, які є фіксованою відстанню від фіксованої точки в площині.