Глава 5 Огляд вправ

Розділ Огляд Вправи

Додавання та віднімання многочленів

Визначаємо ступінь многочленів

У наступних вправах визначте тип многочлена.

1. \(16x^2−40x−25\)

2. \(5m+9\)

Відповідь

біноміальних

3. \(−15\)

4. \(y^2+6y^3+9y^4\)

Відповідь

інший многочлен

Додавання та віднімання многочленів

У наступних вправах додайте або відніміть поліноми.

5. \(4p+11p\)

6. \(−8y^3−5y^3\)

Відповідь

\(−13y^3\)

7. \((4a^2+9a−11)+(6a^2−5a+10)\)

8. \((8m^2+12m−5)−(2m^2−7m−1)\)

Відповідь

\(6m^2+19m−4\)

9. \((y^2−3y+12)+(5y^2−9)\)

10. \((5u^2+8u)−(4u−7)\)

Відповідь

\(5u^2+4u+7\)

11. Знайти суму\(8q^3−27\) і\(q^2+6q−2\).

12. Знайдіть різницю\(x^2+6x+8\) і\(x^2−8x+15\).

Відповідь

\(2x^2−2x+23\)

У наступних вправах спростити.

13. \(17mn^2−(−9mn^2)+3mn^2\)

14. \(18a−7b−21a\)

Відповідь

\(−7b−3a\)

15. \(2pq^2−5p−3q^2\)

16. \((6a^2+7)+(2a^2−5a−9)\)

Відповідь

\(8a^2−5a−2\)

17. \((3p^2−4p−9)+(5p^2+14)\)

18. \((7m^2−2m−5)−(4m^2+m−8)\)

Відповідь

\(−3m+3\)

19. \((7b^2−4b+3)−(8b^2−5b−7)\)

20. Відняти\((8y^2−y+9)\) від\( (11y^2−9y−5) \)

Відповідь

\(3y^2−8y−14\)

21. Знайти різницю\((z^2−4z−12)\) і\((3z^2+2z−11)\)

22. \((x^3−x^2y)−(4xy^2−y^3)+(3x^2y−xy^2)\)

Відповідь

\(x^3+2x^2y−4xy^2\)

23. \((x^3−2x^2y)−(xy^2−3y^3)−(x^2y−4xy^2)\)

Оцінити поліноміальну функцію для заданого значення змінної

У наступних вправах знайдіть значення функцій для кожної поліноміальної функції.

24. Для функції\(f(x)=7x^2−3x+5\) знайдіть:
a.\(f(5)\) b.\(f(−2)\) c.\(f(0)\)

Відповідь

а. 165 б. 39 с. 5

25. Для функції\(g(x)=15−16x^2\) знайдіть:
a.\(g(−1)\) b.\(g(0)\) c.\(g(2)\)

26. Пара окулярів скидається з моста 640 футів над річкою. Поліноміальна функція\(h(t)=−16t^2+640\) дає висоту окулярів t секунд після того, як вони були скинуті. Знайдіть висоту келихів, коли\(t=6\).

Відповідь

Висота - 64 фути.

27. Виробник останнього футбольного взуття виявив, що дохід, отриманий від продажу взуття вартістю\(p\) доларів кожен, дається поліномом\(R(p)=−5p^2+360p\). Знайдіть дохід, отриманий при\(p=110\) доларах.

Додавання та віднімання поліноміальних функцій

У наступних вправах знайдіть а.\((f + g)(x)\) б.\((f + g)(3)\) в.\((f − g)(x\) d.\((f − g)(−2)\)

28. \(f(x)=2x^2−4x−7\)і\(g(x)=2x^2−x+5\)

Відповідь

а.\((f+g)(x)=4x^2−5x−2\)
б. в.\((f+g)(3)=19\)
\((f−g)(x)=−3x−12\)
д.\((f−g)(−2)=−6\)

29. \(f(x)=4x^3−3x^2+x−1\)і\(g(x)=8x^3−1\)

Властивості експонентів та наукові позначення

Спрощення виразів за допомогою властивостей для експонентів

У наступних вправах спростіть кожен вираз, використовуючи властивості для експонентів.

30. \(p^3·p^{10}\)

Відповідь

\(p^{13}\)

31. \(2·2^6\)

32. \(a·a^2·a^3\)

Відповідь

\(a^6\)

33. \(x·x^8\)

34. \(y^a·y^b\)

Відповідь

\(y^{a+b}\)

35. \(\dfrac{2^8}{2^2}\)

36. \(\dfrac{a^6}{a}\)

Відповідь

\(a^5\)

37. \(\dfrac{n^3}{n^{12}}\)

38. \(\dfrac{1}{x^5}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{x^4}\)

39. \(3^0\)

40. \(y^0\)

Відповідь

\(1\)

41. \((14t)^0\)

42. \(12a^0−15b^0\)

Відповідь

\(−3\)

Використання визначення негативного показника

У наступних вправах спрощуйте кожен вираз.

43. \(6^{−2}\)

44. \((−10)^{−3}\)

Відповідь

\(−\dfrac{1}{1000}\)

45. \(5·2^{−4}\)

46. \((8n)^{−1}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{8n}\)

47. \(y^{−5}\)

48. \(10^{−3}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{1000}\)

49. \(\dfrac{1}{a^{−4}}\)

50. \(\dfrac{1}{6^{−2}}\)

Відповідь

\(36\)

51. \(−5^{−3}\)

52. \( \left(−\dfrac{1}{5}\right)^{−3}\)

Відповідь

\(−\dfrac{1}{25}\)

53. \(−(12)^{−3}\)

54. \((−5)^{−3}\)

Відповідь

\(−\dfrac{1}{125}\)

55. \(\left(\dfrac{5}{9}\right)^{−2}\)

56. \(\left(−\dfrac{3}{x}\right)^{−3}\)

Відповідь

\(\dfrac{x^3}{27}\)

У наступних вправах спростіть кожен вираз за допомогою Product Property.

57. \((y^4)^3\)

58. \((3^2)^5\)

Відповідь

\(3^{10}\)

59. \((a^{10})^y\)

60. \(x^{−3}·x^9\)

Відповідь

\(x^5\)

61. \(r^{−5}·r^{−4}\)

62. \((uv^{−3})(u^{−4}v^{−2})\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{u^3v^5}\)

63. \((m^5)^{−1}\)

64. \(p^5·p^{−2}·p^{−4}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{m^5}\)

У наступних вправах спростіть кожен вираз за допомогою властивості Power.

65. \((k−2)^{−3}\)

66. \(\dfrac{q^4}{q^{20}}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{q^{16}}\)

67. \(\dfrac{b^8}{b^{−2}}\)

68. \(\dfrac{n^{−3}}{n^{−5}}\)

Відповідь

\(n^2\)

У наступних вправах спростити кожен вираз за допомогою продукту до властивості живлення.

69. \((−5ab)^3\)

70. \((−4pq)^0\)

Відповідь

\(1\)

71. \((−6x^3)^{−2}\)

72. \((3y^{−4})^2\)

Відповідь

\(\dfrac{9}{y^8}\)

У наступних вправах спростіть кожен вираз, використовуючи частку до властивості влади.

73. \(\left(\dfrac{3}{5x}\right)^{−2}\)

74. \(\left(\dfrac{3xy^2}{z}\right)^4\)

Відповідь

\(\dfrac{81x^4y^8}{z^4}\)

75. \((4p−3q^2)^2\)

У наступних вправах спрощуйте кожен вираз, застосувавши кілька властивостей.

76. \((x^2y)^2(3xy^5)^3\)

Відповідь

\(27x^7y^{17}\)

77. \((−3a^{−2})^4(2a^4)^2(−6a^2)^3\)

78. \(\left(\dfrac{3xy^3}{4x^4y^{−2}}\right)^2\left(\dfrac{6xy^4}{8x^3y^{−2}}\right)^{−1}\)

Відповідь

\(\dfrac{3y^4}{4x^4}\)

У наступних вправах запишіть кожне число в науковому позначенні.

79. \(2.568\)

80. \(5,300,000\)

Відповідь

\(5.3×10^6\)

81. \(0.00814\)

У наступних вправах перетворіть кожне число в десяткову форму.

82. \(2.9×10^4\)

Відповідь

\(29,000\)

83. \(3.75×10^{−1}\)

84. \(9.413×10^{−5}\)

Відповідь

\(0.00009413\)

У наступних вправах помножте або діліть, як зазначено. Напишіть свою відповідь в десятковій формі.

85. \((3×10^7)(2×10^{−4})\)

86. \((1.5×10^{−3})(4.8×10^{−1})\)

Відповідь

\(0.00072\)

87. \(\dfrac{6×10^9}{2×10^{−1}}\)

88. \(\dfrac{9×10^{−3}}{1×10^{−6}}\)

Відповідь

\(9,000\)

Множення многочленів

Множення мономіалів

У наступних вправах помножте мономи.

89. \((−6p^4)(9p)\)

90. \(\left(\frac{1}{3}c^2\right)(30c^8)\)

Відповідь

\(10c^{10}\)

91. \((8x^2y^5)(7xy^6)\)

92. \( \left(\frac{2}{3}m^3n^6\right)\left(\frac{1}{6}m^4n^4\right)\)

Відповідь

\(\dfrac{m^7n^{10}}{9}\)

Помножити многочлен на мономіал

У наступних вправах помножте.

93. \(7(10−x)\)

94. \(a^2(a^2−9a−36)\)

Відповідь

\(a^4−9a^3−36a^2\)

95. \(−5y(125y^3−1)\)

96. \((4n−5)(2n^3)\)

Відповідь

\(8n^4−10n^3\)

Помножте біноміал на біноміал

У наступних вправах помножте біноміали за допомогою:

a. розподільна властивість b. метод FOIL c. Вертикальний метод.

97. \((a+5)(a+2)\)

98. \((y−4)(y+12)\)

Відповідь

\(y^2+8y−48\)

99. \((3x+1)(2x−7)\)

100. \((6p−11)(3p−10)\)

Відповідь

\(18p^2−93p+110\)

У наступних вправах помножте біноміали. Використовуйте будь-який метод.

101. \((n+8)(n+1)\)

102. \((k+6)(k−9)\)

Відповідь

\(k^2−3k−54\)

103. \((5u−3)(u+8)\)

104. \((2y−9)(5y−7)\)

Відповідь

\(10y^2−59y+63\)

105. \((p+4)(p+7)\)

106. \((x−8)(x+9)\)

Відповідь

\(x^2+x−72\)

107. \((3c+1)(9c−4)\)

108. \((10a−1)(3a−3)\)

Відповідь

\(30a^2−33a+3\)

Помножити многочлен на многочлен

У наступних вправах помножте за допомогою a. розподільна властивість b. Вертикальний метод.

109. \((x+1)(x^2−3x−21)\)

110. \((5b−2)(3b^2+b−9)\)

Відповідь

\(15b^3−b^2−47b+18\)

У наступних вправах помножте. Використовуйте будь-який метод.

111. \((m+6)(m^2−7m−30)\)

112. \((4y−1)(6y^2−12y+5)\)

Відповідь

\(24y^2−54y^2+32y−5\)

Помножити спеціальні продукти

У наступних вправах, квадрат кожного бічлена за допомогою біноміальних квадратів візерунок.

113. \((2x−y)^2\)

114. \((x+\dfrac{3}{4})^2\)

Відповідь

\(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\)

115. \((8p^3−3)^2\)

116. \((5p+7q)^2\)

Відповідь

\(25p^2+70pq+49q^2\)

У наступних вправах помножте кожну пару кон'югатів за допомогою Добутку кон'югатів.

117. \((3y+5)(3y−5)\)

118. \((6x+y)(6x−y)\)

Відповідь

\(36x^2−y^2\)

119. \((a+\dfrac{2}3b)(a−\dfrac{2}{3}b)\)

120. \((12x^3−7y^2)(12x^3+7y^2)\)

Відповідь

\(144x^6−49y^4\)

121. \((13a^2−8b4)(13a^2+8b^4)\)

Розділити мономи

Розділити мономи

У наступних вправах розділіть мономи.

122. \(72p^{12}÷8p^3\)

Відповідь

\(9p^9\)

123. \(−26a^8÷(2a^2)\)

124. \(\dfrac{45y^6}{−15y^{10}}\)

Відповідь

\(−3y^4\)

125. \(\dfrac{−30x^8}{−36x^9}\)

126. \(\dfrac{28a^9b}{7a^4b^3}\)

Відповідь

\(\dfrac{4a^5}{b^2}\)

127. \(\dfrac{11u^6v^3}{55u^2v^8}\)

128. \(\dfrac{(5m^9n^3)(8m^3n^2)}{(10mn^4)(m^2n^5)}\)

Відповідь

\(\dfrac{4m^9}{n^4}\)

129. \(\dfrac{(42r^2s^4)(54rs^2)}{(6rs^3)(9s)}\)

Розділити многочлен на мономіал

У наступних вправах розділіть кожен многочлен на мономіал

130. \((54y^4−24y^3)÷(−6y^2)\)

Відповідь

\(−9y^2+4y\)

131. \(\dfrac{63x^3y^2−99x^2y^3−45x^4y^3}{9x^2y^2}\)

132. \(\dfrac{12x^2+4x−3}{−4x}\)

Відповідь

\(−3x−1+\dfrac{3}{4x}\)

Розділити многочлени за допомогою довгого ділення

У наступних вправах розділіть кожен многочлен на біном.

133. \((4x^2−21x−18)÷(x−6)\)

134. \((y^2+2y+18)÷(y+5)\)

Відповідь

\(y−3+\dfrac{33}{q+6}\)

135. \((n^3−2n^2−6n+27)÷(n+3)\)

136. \((a^3−1)÷(a+1)\)

Відповідь

\(a^2+a+1\)

Розділити поліноми за допомогою синтетичного поділу

У наступних вправах використовуйте синтетичний поділ, щоб знайти частку та залишок.

137. \(x^3−3x^2−4x+12\)ділиться на\(x+2\)

138. \(2x^3−11x^2+11x+12\)ділиться на\(x−3\)

Відповідь

\(2x^2−5x−4;\space0\)

139. \(x^4+x^2+6x−10\)ділиться на\(x+2\)

Функції поділу поліномів

У наступних вправах розділіть.

140. Для функцій\(f(x)=x^2−15x+45\) і\(g(x)=x−9\), знайдіть a.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)
b.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−2)\)

Відповідь

а.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−6\)
б.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−2)=−8\)

141. Для функцій\(f(x)=x^3+x^2−7x+2\) і\(g(x)=x−2\), знайдіть a.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\)
b.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(3)\)

Використовуйте теорему про залишок і множник

У наступних вправах використовуйте теорему про залишок, щоб знайти залишок.

142. \(f(x)=x^3−4x−9\)ділиться на\(x+2\)

Відповідь

\(−9\)

143. \(f(x)=2x^3−6x−24\)розділений на\(x−3\)

У наступних вправах використовуйте Теорему фактора, щоб визначити, чи\(x−c\) є коефіцієнтом поліноміальної функції.

144. \(x−2\)Визначте, чи є фактором\(x^3−7x^2+7x−6\)

Відповідь

ні

145. \(x−3\)Визначте, чи є фактором\(x^3−7x^2+11x+3\)

Розділ Практика Тест

1. Для многочлена\(8y^4−3y^2+1\)

а Це мономіальний, біноміальний або триноміальний? б. яка її ступінь?

Відповідь

a. трійник б. 4

2. \((5a^2+2a−12)(9a^2+8a−4)\)

3. \((10x^2−3x+5)−(4x^2−6)\)

Відповідь

\(6x^2−3x+11\)

4. \(\left(−\dfrac{3}{4}\right)^3\)

5. \(x^{−3}x^4\)

Відповідь

\(x\)

6. \(5^65^8\)

7. \((47a^{18}b^{23}c^5)^0\)

Відповідь

\(1\)

8. \(4^{−1}\)

9. \((2y)^{−3}\)

Відповідь

\(\dfrac{1}{8y^3}\)

10. \(p^{−3}·p^{−8}\)

11. \(\dfrac{x^4}{x^{−5}}\)

Відповідь

\(x^9\)

12. \((3x^{−3})^2\)

13. \(\dfrac{24r^3s}{6r^2s^7}\)

Відповідь

\(\dfrac{4r}{s^6}\)

14. \((x4y9x−3)2\)

15. \((8xy^3)(−6x^4y^6)\)

Відповідь

\(−48x^5y^9\)

16. \(4u(u^2−9u+1)\)

17. \((m+3)(7m−2)\)

Відповідь

\(21m^2−19m−6\)

18. \((n−8)(n^2−4n+11)\)

19. \((4x−3)^2\)

Відповідь

\(16x^2−24x+9\)

20. \((5x+2y)(5x−2y)\)

21. \((15xy^3−35x^2y)÷5xy\)

Відповідь

\(3y^2−7x \)

22. \((3x^3−10x^2+7x+10)÷(3x+2)\)

23. Використовуйте теорему фактора, щоб визначити\(x+3\), чи є множник\(x^3+8x^2+21x+18\).

Відповідь

так

24. а. Перетворення 112,000 на наукові позначення.
b. перетворити\(5.25×10^{−4}\) в десяткову форму.

У наступних вправах спростіть і напишіть свою відповідь в десятковій формі.

25. \((2.4×10^8)(2×10^{−5})\)

Відповідь

\(4.4×10^3\)

26. \(\dfrac{9×10^4}{3×10^{−1}}\)

27. Для функції\(f(x)=6x^2−3x−9\) знайдіть:
a.\(f(3)\) b.\(f(−2)\) c.\(f(0)\)

Відповідь

а.\(36\) б.\(21\) в.\(-9\)

28. Для\(f(x)=2x^2−3x−5\) і\(g(x)=3x^2−4x+1\), знайти
а.\((f+g)(x)\) б.\((f+g)(1)\)
c.\((f−g)(x)\) d.\((f−g)(−2)\)

29. Для функцій\(f(x)=3x^2−23x−36\) і\(g(x)=x−9\), знайдіть
a.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) b.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(3)\)

Відповідь

а.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=3x+4\)
б.\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(3)=13\)

30. Мандрівний скидає гальку з моста\(240\) ноги над каньйоном. Функція\(h(t)=−16t^2+240\) дає висоту камінчика\(t\) секунди після того, як він був скинутий. Знайдіть висоту, коли\(t=3\).