Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Графік лінійних рівнянь у двох змінних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59438

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Графік точок у прямокутній системі координат
    • Графік лінійного рівняння шляхом побудови точок
    • Графік вертикальних і горизонтальних ліній
    • Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплює
    • Графік лінії за допомогою перехоплень
    Перед початком

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Оцініть\(5x−4\), коли\(x=−1\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
    2. Оцініть\(3x−2y\), коли\(x=4,y=−3\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
    3. Вирішити для\(y: 8−3y=20\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

    Графік точок на прямокутній системі координат

    Подібно до того, як карти використовують систему сітки для ідентифікації місць, система сітки використовується в алгебрі, щоб показати зв'язок між двома змінними в прямокутній системі координат. Прямокутна система координат також називається\(xy\) -площиною або «координатною площиною».

    Прямокутна система координат утворена двома пересічними числовими лініями, однією горизонтальною і однією вертикальною. Горизонтальна числова лінія називається\(x\) -віссю. Вертикальна числова лінія називається\(y\) -віссю. Ці осі ділять площину на чотири області, звані квадрантами. Квадранти ідентифікуються римськими цифрами, що починаються справа вгорі і йдуть проти годинникової стрілки. Див\(\PageIndex{1}\). Малюнок.

    На цьому малюнку зображена квадратна сітка. Горизонтальна цифрова лінія посередині позначена x. Вертикальна цифрова лінія посередині позначена y. Числові лінії перетинаються з нулем і разом ділять квадратну сітку на 4 квадрати меншого розміру однакового розміру. Квадрат у верхньому правому куті позначений як I. Квадрат у верхньому лівому куті позначений II. Квадрат в лівому нижньому кутку позначений III. Квадрат в правому нижньому кутку позначений IV.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    У прямокутній системі координат кожна точка представлена впорядкованою парою. Перше число в упорядкованій парі\(x\) - координата точки, а друге число\(y\) - координата точки. Словосполучення «впорядкована пара» означає, що порядок важливий.

    Замовлена пара

    Впорядкована пара,\((x,y)\) дає координати точки в прямокутній системі координат. Перше число\(x\) - координата. Друге число\(y\) - координата.

    На цьому малюнку показано вираз (x, y). Змінна x позначається координата x. Змінна y позначається y-координатою.

    Що таке впорядкована пара точки, де осі перетинаються? У цій точці обидві координати дорівнюють нулю, тому її впорядкована пара -\((0,0)\) .Точка\((0,0)\) має спеціальну назву. Його називають походженням.

    Походження

    Точка\((0,0)\) називається початком. Це точка, де перетинаються\(x\)\(y\) -вісь і -вісь.

    Ми використовуємо координати, щоб знайти точку на\(xy\) -площині. Давайте побудуємо крапку\((1,3)\) як приклад. Спочатку знайдіть 1 на\(x\) осі -і злегка намалюйте вертикальну лінію наскрізь\(x=1\). Потім знайдіть\(3\) на\(y\) осі -і намалюйте горизонтальну лінію через\(y=3.\) Тепер, знайдіть точку, де ці дві лінії зустрічаються - це точка з координатами\((1,3)\). Див\(\PageIndex{2}\). Малюнок.

    На цьому малюнку показана точка, побудована на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Точка (1, 3) маркується. Пунктирна вертикальна лінія проходить через точку і перетинає вісь x на xplus1. Пунктирна горизонтальна лінія проходить через точку і перетинає вісь y на yplus3.
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Зверніть увагу, що вертикальна лінія\(x=1\) і горизонтальна лінія наскрізь не\(y=3\) є частиною графіка. Ми просто використовували їх, щоб допомогти нам знайти точку\((1,3)\).

    Коли одна з координат дорівнює нулю, точка лежить на одній з осей. На\(\PageIndex{3},\) малюнку точка\((0,4)\) знаходиться на\(y\) -осі, а точка\((−2,0)\) - на\(x\) -осі.

    На цьому малюнку показані точки, нанесені на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Точка (негативна 2, 0) позначається і лежить на осі х. Точка (0, 4) позначена і лежить на осі Y.
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)
    ТОЧКИ НА ОСЯХ
    • Точки з\(y\) -координатою, рівною,\(0\) знаходяться на\(x\) -осі і мають координати\((a,0)\).
    • Точки з\(x\) -координатою, рівною,\(0\) знаходяться на\(y\) -осі і мають координати\((0,b)\).
    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Покладіть кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

    а.\((−5,4\)) б. в.\((−3,−4)\)\((2,−3)\) д.\((0,−1)\) е\((3,\dfrac{5}{2})\).

    Рішення

    Перше число пари координат -\(x\) координата, а друге число - координата\(y\) -координата. Для побудови кожної точки намалюйте вертикальну лінію через\(x\) -координату та горизонтальну лінію через\(y\) -координату. Їх перетин - точка.

    1. Так як\(x=−5\), точка знаходиться зліва від\(y\) -осі. Також, оскільки\(y=4\), точка знаходиться вище\(x\) -осі. Точка\((−5,4)\) знаходиться в квадранті II.
    2. Так як\(x=−3\), точка знаходиться зліва від\(y\) -осі. Також, оскільки\(y=−4\), точка знаходиться нижче\(x\) -осі. Точка\((−3,−4)\) знаходиться в квадранті III.
    3. Так як\(x=2\), точка знаходиться праворуч від\(y\) -осі. Так як\(y=−3\), точка знаходиться нижче\(x\) -осі. Точка\((2,−3)\) знаходиться в IV квадранті.
    4. Так як\(x=0\), точка, координати\((0,−1)\) якої знаходяться на\(y\) -осі.
    5. Так як\(x=3\), точка знаходиться праворуч від\(y\) -осі. Так як\(y=\dfrac{5}{2})\), точка знаходиться вище\(x\) -осі. (Може бути корисно писати\(\dfrac{5}{2})\) як змішане число або десяткове число.) \((3,\dfrac{5}{2})\)Справа в квадранті I.

    На цьому малюнку показані точки, нанесені на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Позначені наступні пункти: (3, 5 ділиться на 2), (негативний 2, 3), негативний 5, 4), (негативний 3, негативний 4), і (2, негативний 3).

    Спробуйте! \(\PageIndex{1}\)

    Покладіть кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

    а.\((−2,1)\) б. в.\((−3,−1)\)\((4,−4)\) д.\((−4,4)\) е.\((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Відповідь

    На цьому малюнку показані точки, нанесені на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Точка, позначена а, становить 2 одиниці ліворуч від початку та 1 одиниця вище початку та розташована у II квадранті. Точка, позначена b, - це 3 одиниці зліва від початку і 1 одиниця нижче початку і розташована в III квадранті. Точка, позначена c, становить 4 одиниці праворуч від початку та 4 одиниці нижче початку та розташована в четвертому квадранті. Точка, позначена d, - це 4 одиниці зліва від початку та 4 одиниці вище початку та розташована у II квадранті. Точка, позначена e, становить 4 одиниці зліва від початку і на 1 з половиною одиниці вище початку і розташована в квадранті II.

    Спробуйте! \(\PageIndex{2}\)

    Покладіть кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

    а.\((−4,1)\) б. в.\((−2,3)\)\((2,−5)\) д.\((−2,5)\) е.\((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Відповідь

    На цьому малюнку показані точки, нанесені на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Точка, позначена а - це 4 одиниці зліва від початку та 1 одиниця вище початку та розташована у II квадранті. Точка, позначена b, - це 2 одиниці зліва від початку і 3 одиниці вище початку і розташована в квадранті II. Точка, позначена c, становить 2 одиниці праворуч від початку і 5 одиниць нижче початку і знаходиться в четвертому квадранті. Точка з маркуванням d - це 2 одиниці зліва від початку і 5 одиниць вище початку і розташована в II квадранті. Точка, позначена e, становить 3 одиниці зліва від початку і на 2 з половиною одиниці вище початку і розташована в квадранті II.

    Знаки\(x\) -координати і\(y\) -координати впливають на розташування точок. Можливо, ви помітили деякі закономірності, коли ви намалювали точки в попередньому прикладі. Ми можемо узагальнити шаблони знаків квадрантів таким чином:

    КВАДРАНТИ
    Квадрант I Квадрант II Квадрант III IV квадрант
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    На цьому малюнку показано координатну площину x y з позначеними чотирма квадрантами. У правому верхньому куті площини знаходиться квадрант я позначений (плюс, плюс). У лівій верхній частині площини знаходиться квадрант II з маркуванням (мінус, плюс). У лівій нижній частині площини знаходиться квадрант III з маркуванням (мінус, мінус). У правому нижньому куті площини знаходиться квадрант IV з маркуванням (плюс, мінус).

    До теперішнього часу всі рівняння, які ви розв'язали, були рівняннями лише з однією змінною. Майже в кожному випадку, коли ви вирішували рівняння, ви отримали рівно одне рішення. Але рівняння можуть мати більше однієї змінної. Рівняння з двома змінними можуть мати вигляд\(Ax+By=C\). Рівняння такої форми називається лінійним рівнянням в двох змінних.

    Лінійне рівняння

    Рівняння виду\(Ax+By=C\), де\(A\) і\(B\) не обидва нульові, називається лінійним рівнянням в двох змінних.

    Ось приклад лінійного рівняння в двох змінних,\(x\) і\(y\).

    \ (\ почати {вирівнювати*} {\ колір {цегляно-червоний} A} x + {\ color {RoyalBlue} B} y &= {\ колір {лісовий зелений} C}\\ [5pt]
    x+ {\ color {RoyalBlue} 4} y &= {\ колір {лісовий зелений} 8}\ кінець {вирівняй*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)

    Рівняння також\(y=−3x+5\) є лінійним рівнянням. Але він, здається, не в формі\(Ax+By=C\). Ми можемо використовувати властивість додавання рівності і переписати його у\(Ax+By=C\) формі.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    \(y=−3x+5\)Переписуючи як\(3x+y=5\), ми можемо легко побачити, що це лінійне рівняння у двох змінних, оскільки воно має форму\(Ax+By=C\). Коли рівняння має форму\(Ax+By=C\), ми говоримо, що воно знаходиться в стандартній формі лінійного рівняння.

    Стандартна форма a лінійного рівняння

    Лінійне рівняння знаходиться в стандартній формі при його написанні\(Ax+By=C\).

    Більшість людей вважають за краще мати\(A,\)\(B,\) і\(C\) бути цілими числами і\(A \geq 0\) при написанні лінійного рівняння в стандартній формі, хоча це не є строго необхідним.

    Лінійні рівняння мають нескінченно багато розв'язків. Для кожного числа, яке підставляється,\(x\) існує відповідне\(y\) -значення. Ця пара значень є розв'язком лінійного рівняння і представлена впорядкованою парою\((x,y)\). Коли ми підставляємо ці значення\(x\) і\(y\) в рівняння, результат є істинним твердженням, тому що значення на лівій стороні дорівнює значенню на правій стороні.

    Розв'язок лінійного рівняння у двох змінних

    Впорядкована пара\((x,y)\) - це рішення лінійного рівняння\(Ax+By=C\), якщо рівняння є істинним твердженням, коли\(x\) - і\(y\) -значення впорядкованої пари підставляються в рівняння.

    Лінійні рівняння мають нескінченно багато розв'язків. Ми можемо побудувати ці рішення в прямокутній системі координат. Точки будуть ідеально вибудовуватися по прямій лінії. Точки з'єднуємо прямою лінією, щоб отримати графік рівняння. Ставимо стрілки на кінці кожної сторони лінії, щоб позначити, що лінія триває в обидві сторони.

    Графік - це наочне уявлення всіх розв'язків рівняння. Це приклад приказки: «Картина варта тисячі слів». Лінія показує всі розв'язки цього рівняння. Кожна точка на прямій є розв'язком рівняння. І кожне рішення цього рівняння знаходиться на цій лінії. Ця лінія називається графіком рівняння. Точки не на лінії - це не рішення!

    ГРАФІК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ

    Графік лінійного рівняння\(Ax+By=C\) являє собою пряму.

    • Кожна точка на прямій є розв'язком рівняння.
    • Кожен розв'язок цього рівняння є точкою на цій лінії.
    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Графік\(y=2x−3\) показаний.

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія має стрілки на обох кінцях і проходить через точки (негативний 3, негативний 9), (негативний 2, негативний 7), (негативний 1, негативний 5), (0, негативний 3), (1, негативний 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7) і (6, 9). Рядок маркується y плюс 2 х мінус 3.

    Для кожної замовленої пари вирішуйте:

    1. Чи є впорядкована пара розв'язком рівняння?
    2. Чи є точка на лінії?

    A:\((0,−3)\) B:\((3,3)\) C:\((2,−3)\) D:\((−1,−5)\)

    Рішення:

    Підставте\(y\) значення\(x\) - і -у рівняння, щоб перевірити, чи є впорядкована пара рішенням рівняння.

    а.

    Приклад A показує впорядковану пару (0, від'ємний 3). Під цим рівняння y плюс 2 х мінус 3. Під цим рівнянням від'ємне 3 дорівнює 2 рази 0 мінус 3. Негативні 3 і 0 пофарбовані так само, як негативні 3 і 0 у впорядкованій парі вгорі. Над плюсом є знак питання. Нижче цього рівняння негативне 3 плюс негативне 3. Нижче наведено твердження (0, негативний 3) - це рішення. Приклад B показує впорядковану пару (3, 3). Під цим рівняння y плюс 2 х мінус 3. Під цим рівнянням 3 дорівнює 2 рази 3 мінус 3. 3 і 3 пофарбовані так само, як 3 і 3 у впорядкованій парі вгорі. Над плюсом є знак питання. Нижче цього рівняння 3 плюс 3. Нижче це твердження (3, 3) - це рішення. Приклад C показує впорядковану пару (2, від'ємний 3). Під цим рівняння y плюс 2 х мінус 3. Під цим рівнянням від'ємне 3 дорівнює 2 рази 2 мінус 3. Негативні 3 і 2 пофарбовані так само, як негативні 3 і 2 в впорядкованій парі вгорі. Над плюсом є знак питання. Нижче цього нерівність негативного 3 не дорівнює 1. Нижче це твердження (2, негативний 3) не є рішенням. Приклад D показує впорядковану пару (від'ємний 1, негативний 5). Під цим рівняння y плюс 2 х мінус 3. Під цим рівнянням від'ємне 5 дорівнює 2 рази від'ємне 1 мінус 3. Негативні 1 і негативні 5 пофарбовані так само, як негативний 1 і негативний 5 у впорядкованій парі вгорі. Над плюсом є знак питання. Нижче цього рівняння негативне 5 плюс негативне 5. Нижче це твердження (негативний 1, негативний 5) - рішення.

    б. розкласти точки\((0,−3)\),\((3,3)\),\((2,−3)\), і\((−1,−5)\).

    На цьому малюнку показаний графік лінійного рівняння y плюс 2 x мінус 3 і деякі точки, зображені на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія має стрілки на обох кінцях і проходить через точки (негативний 1, негативний 5), (0, негативний 3), і (3, 3). Точка (2, негативна 3) також наноситься, але не на лінії.

    Точки\((0,3)\)\((3,−3)\), і\((−1,−5)\) знаходяться на лінії\(y=2x−3\), а точка\((2,−3)\) не на лінії.

    Точки, які є рішеннями,\(y=2x−3\) знаходяться на лінії, але точка, яка не є рішенням, не знаходиться на лінії.

    Спробуйте! \(\PageIndex{3}\)

    Використовувати граф\(y=3x−1\). Для кожної замовленої пари вирішуйте:

    а Чи є впорядкована пара розв'язком рівняння?
    б Чи є точка на лінії?

    А\((0,−1)\) Б\((2,5)\)

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія має стрілки на обох кінцях і проходить через точки (негативний 3, негативний 10), (негативний 2, негативний 7), (негативний 1, негативний 4), (0, негативний 1), (1, 2), (2, 5) і (3, 8). Рядок маркується y плюс 3 х мінус 1.

    Відповідь

    a. так б. так

    Спробуйте! \(\PageIndex{4}\)

    Використовувати граф\(y=3x−1\). Для кожної замовленої пари вирішуйте:

    а Чи є впорядкована пара розв'язком рівняння?
    б Чи є точка на лінії?

    А\((3,−1)\) Б\((−1,−4)\)

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія має стрілки на обох кінцях і проходить через точки (негативний 3, негативний 10), (негативний 2, негативний 7), (негативний 1, негативний 4), (0, негативний 1), (1, 2), (2, 5) і (3, 8). Рядок маркується y плюс 3 х мінус 1.

    Відповідь

    а. ні б. так

    Графік лінійного рівняння шляхом побудови точок

    Існує кілька методів, які можуть бути використані для побудови графіка лінійного рівняння. Перший метод, який ми будемо використовувати, називається побудова точок, або метод точкового побудови. Ми знаходимо три точки, координати яких є розв'язками рівняння, а потім будуємо їх у прямокутній системі координат. З'єднавши ці точки в пряму, ми отримуємо графік лінійного рівняння.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): How to Graph a Linear Equation by Plotting Points

    Графік рівняння\(y=2x+1\) шляхом побудови точок.

    Рішення:

    Крок 1 полягає в тому, щоб знайти три точки, координати яких є розв'язками рівняння. Ви можете обрати будь-які значення для x або y. У цьому випадку, оскільки y ізольовано ліворуч від рівнянь, простіше вибрати значення для x. Виберіть x плюс 0. Ми підставляємо це в рівняння y плюс 2 х плюс 1, щоб отримати y плюс 2 рази 0 плюс 1. Це спрощує у плюс 0 плюс 1. Так у плюс 1. Вибір х плюс 1. Ми підставляємо це в рівняння y плюс 2 х плюс 1, щоб отримати y плюс 2 рази 1 плюс 1. Це спрощує у плюс 2 плюс 1. Так у плюс 3. Вибір х плюс мінус 2. Ми підставляємо це в рівняння y плюс 2 х плюс 1, щоб отримати y плюс 2 рази негативний 2 плюс 1. Це спрощує у плюс негативний 4 плюс 1. Y плюс негативний 3. Далі ми хочемо організувати рішення в таблиці. Для цієї проблеми ми поставимо три рішення, які ми тільки що знайшли в таблиці. Таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок - це рядок заголовка з рівнянням y плюс 2 х плюс 1. Другий рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Третій ряд має цифри 0, 1 і (0, 1). Четвертий ряд має цифри 1, 3, і (1, 3). П'ятий ряд має числа від'ємні 2, від'ємні 3 і (від'ємні 2, від'ємні 3).Крок 2 полягає в побудові точок в прямокутній системі координат. Ділянка: (0, 1), (1, 3), (негативний 2, негативний 3). Потім на малюнку показано графік деяких точок, нанесених на координатну площину x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Намальовані точки (0, 1), (1, 3) і (негативні 2, негативні 3). Переконайтеся, що точки вирівнюються. Якщо їх немає, уважно перевірте свою роботу! Чи вибудовуватися точка? Так, точки в цьому прикладі шикуються.Крок 3 полягає в тому, щоб провести лінію через три точки. Продовжити лінію, щоб заповнити сітку і поставити стрілки на обох кінцях лінії. Цей рядок є графом y плюс 2 х плюс 1. На малюнку показаний графік прямої на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 6 до 6. Позначаються точки (негативні 2, негативні 3), (0, 1) і (1, 3). Пряма проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях.

    Спробуйте! \(\PageIndex{5}\)

    Графік рівняння шляхом побудови точок:\(y=2x−3\).

    Відповідь

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 8 до 8. Рядок проходить через точки (від'ємний 2, від'ємний 7), (негативний 1, негативний 5), (0, негативний 3), (1, негативний 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) і (5, 7).

    Спробуйте! \(\PageIndex{6}\)

    Графік рівняння шляхом побудови точок:\(y=−2x+4\).

    Відповідь

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 8 до 8. Рядок проходить через точки (від'ємний 2, 8), (негативний 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, негативний 2), (4, негативний 4), (5, негативний 6) і (6, негативний 8).

    Кроки, які слід зробити при побудові графіка лінійного рівняння шляхом побудови точок, підсумовуються тут.

    ГРАФІК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ШЛЯХОМ ПОБУДОВИ ТОЧОК
    1. Знайдіть три точки, координати яких є розв'язками рівняння. Організуйте їх в таблиці.
    2. Побудуйте точки в прямокутній системі координат. Переконайтеся, що точки вирівнюються. Якщо їх немає, уважно перевірте свою роботу.
    3. Проведіть лінію через три точки. Продовжити лінію, щоб заповнити сітку і поставити стрілки на обох кінцях лінії.

    Це правда, що для визначення лінії потрібно лише дві точки, але це хороша звичка використовувати три точки. Якщо ви намалюєте лише дві точки, і одна з них неправильна, ви все одно можете намалювати лінію, але вона не буде представляти розв'язки рівняння. Це буде неправильна лінія.

    Якщо використовувати три точки, а одна невірна, точки не будуть вибудовуватися. Це говорить вам про те, що щось не так, і вам потрібно перевірити свою роботу. Подивіться на різницю між цими ілюстраціями.

    На малюнку зображено два зображення. На першому зображенні є три точки з прямою лінією, що проходить через всі три. На другому зображенні є три точки, які не всі лежать на прямій лінії.

    Коли рівняння включає дріб як коефіцієнт\(x,\) ми все ще можемо замінити будь-які числа для\(x.\) Але арифметика простіше, якщо ми зробимо «хороший» вибір для значень\(x.\) Таким чином, ми уникнемо дробових відповідей, які важко точно графікувати.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Графік рівняння:\(y=\frac{1}{2}x+3\).

    Рішення:

    Знайдіть три точки, які є розв'язками рівняння. Оскільки це рівняння має дріб\(\dfrac{1}{2}\) як коефіцієнт,\(x,\) ми будемо вибирати значення\(x\) ретельно. Ми будемо використовувати нуль як один вибір і кратні\(2\) для інших варіантів. Чому кратні двом є хорошим вибором для значень\(x\)? Вибір кратних множення на\(\dfrac{1}{2}\) спрощує до цілого числа\(2\)

    Перший набір рівнянь починається з x плюс 0. Під цим рівняння y плюс 1 половина х плюс 3. Під цим рівняння y плюс 1 половина рази 0 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 0 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 3. Другий набір рівнянь починається з x плюс 2. Під цим рівняння y плюс 1 половина х плюс 3. Під цим рівняння y плюс 1 половина рази 2 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 1 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 4. Третій набір рівнянь починається з x плюс 4. Під цим рівняння y плюс 1 половина х плюс 3. Під цим рівняння y плюс 1 половина рази 4 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 2 плюс 3. Нижче цього рівняння y плюс 5.

    Точки наведені в табл.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Намалюйте точки, перевірте, щоб вони вишикувалися, і проведіть лінію.

    На малюнку показаний графік прямої на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Намальовані точки (0, 3), (2, 4) і (4, 5). Пряма проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях. Рядок маркується y плюс 1 ділиться на 2 рази х плюс 3.

    Спробуйте! \(\PageIndex{7}\)

    Графік рівняння:\(y=\frac{1}{3}x−1\).

    Відповідь

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (негативний 12, негативний 5), (негативний 9, негативний 4), (негативний 6, негативний 3), (негативний 3, негативний 2), (0, негативний 1), (3, 0), (6, 1), (9, 2) і (12, 3).

    Спробуйте! \(\PageIndex{8}\)

    Графік рівняння:\(y=\frac{1}{4}x+2\).

    Відповідь

    На цьому малюнку показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (від'ємний 12, негативний 1), (від'ємний 8, 0), (негативний 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) і (12, 5).

    Графік Вертикальні та горизонтальні лінії

    Деякі лінійні рівняння мають лише одну змінну. Вони можуть мати просто\(x\) і ні\(y,\) або просто\(y\) без\(x.\) Це змінює, як ми робимо таблицю значень, щоб отримати точки для побудови.

    Розглянемо рівняння\(x=−3\). Це рівняння має тільки одну\(x.\) змінну, рівняння говорить\(−3\), що завжди\(x\) дорівнює, тому його значення\(y.\) не залежить від Незалежно від того,\(x\) яке значення значення завжди\(−3\).\(y,\)

    Таким чином, щоб зробити таблицю значень, записати\(−3\) в для всіх\(x\) -values. Потім виберіть будь-які значення для\(y.\) Оскільки\(x\) не залежить від\(y,\) ви можете вибрати будь-які числа, які вам подобаються. Але, щоб відповідати точкам на нашому графіку координат, ми будемо використовувати 1, 2 і 3 для\(y\) -координат. Див. Таблицю.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Зіставте точки з таблиці і з'єднайте їх прямою лінією. Зверніть увагу, що ми намалювали вертикальну лінію.

    На малюнку показаний графік прямої вертикальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Наносяться точки (негативні 3, 1), (негативні 3, 2) і (негативні 3, 3). Лінія проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях. Рядок позначений x плюс негативний 3.

    Що робити, якщо рівняння має\(y\), але ні\(x\)? Давайте проведемо графік рівняння\(y=4\). На цей раз y- значення є постійною, так що в цьому рівнянні,\(y\) не залежить від\(x.\) заповнення\(4\) для всіх в таблиці, а потім вибрати будь-які значення для\(x.\) Ми будемо використовувати 0, 2 і 4 для\(x\) -координат.\(y\)

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    На цьому малюнку ми намалювали горизонтальну лінію, що проходить через\(y\) -вісь в\(4.\)

    На малюнку показаний графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Намальовані точки (0, 4), (2, 4) і (4, 4). Лінія проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях. Рядок маркується y плюс 4.

    ВЕРТИКАЛЬНІ І ГОРИЗОНТАЛЬНІ ЛІНІЇ

    Вертикальна лінія - це графік рівняння виду\(x=a\).

    Лінія проходить через\(x\) -вісь в\((a,0)\).

    Горизонтальна лінія - це графік рівняння виду\(y=b\).

    Лінія проходить через\(y\) -вісь в\((0,b)\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Графік: а.\(x=2\) б\(y=−1\).

    Рішення

    а Рівняння має тільки одну змінну,\(x,\) і завжди\(x\) дорівнює\(2.\) Ми створюємо таблицю, де\(x\) завжди,\(2\) а потім ставимо будь-які значення для\(y.\) Графік вертикальна лінія, що проходить через\(x\) -вісь в\(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)» значення даних = «середина» > 2 \ (y\)» перевірка даних = «середина» > 1 \ (x, y)\)» перевірка даних = «середина» >\((2,1)\)
    \ (x\)» значення даних = «середина» > 2 \ (y\)» перевірка даних = «середина» > 2 \ (x, y)\)» перевірка даних = «середина» >\((2,2)\)
    \ (x\)» значення даних = «середина» > 2 \ (y\)» перевірка даних = «середина» > 3 \ (x, y)\)» перевірка даних = «середина» >\((2,3)\)

    На малюнку показаний графік прямої вертикальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Намальовані точки (2, 1), (2, 2) і (2, 3). Лінія проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях. Рядок має маркування х плюс 2.

    б Аналогічно рівняння\(y=−1\) має тільки одну змінну,\(y\). Значення\(y\) постійне. Всі впорядковані пари в наступній таблиці мають однакову\(y\) -координату. Графік являє собою горизонтальну лінію, що проходить через\(y\) -вісь в\(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)» значення даних = «середина» > 0 \ (\ mathbf {y}\)» значення даних = «середина">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)» значення даних = «середина">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)» значення даних = «середина» > 3 \ (\ mathbf {y}\)» значення даних = «середина">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)» значення даних = «середина">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)» значення даних = «середина">\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)» значення даних = «середина">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)» значення даних = «середина">\((−3,−1)\)

    На малюнку зображений графік прямої горизонтальної лінії на xy-координатної площині. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Виставляються точки (-3, -1), (0, -1) і (3, -1). Лінія проходить через три точки і має стрілки на обох кінцях. Рядок позначений y дорівнює негативному 1..

    Спробуйте! \(\PageIndex{9}\)

    G Граф рівняння: a.\(x=5\) b. \(y=−4\).

    Відповідь

    а.

    На малюнку показаний графік прямої вертикальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Лінія проходить через точки (5, від'ємний 3), (5, від'ємний 2), (5, від'ємний 1), (5, 0), (5, 1), (5, 2) і (5, 3).

    б.

    На малюнку показаний графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (від'ємний 3, негативний 4), (негативний 2, негативний 4), (негативний 1, негативний 4), (0, негативний 4), (1, негативний 4), (2, негативний 4), і (3, негативний 4).

    Спробуйте! \(\PageIndex{10}\)

    G Граф рівняння: a.\(x=−2\) b. \(y=3\).

    Відповідь

    а.

    На малюнку показаний графік прямої вертикальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (від'ємний 2, негативний 3), (негативний 2, від'ємний 2), (негативний 2, негативний 1), (негативний 2, 0), (негативний 2, 1), (негативний 2, 2), і (негативний 2, 3).

    б.

    На малюнку показаний графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (негативні 3, 3), (від'ємні 2, 3), (негативні 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), і (3, 3).

    У чому різниця між рівняннями\(y=4x\) і\(y=4\)?

    Рівняння\(y=4x\) має обидва\(x\) і\(y.\) Значення\(y\) залежить від значення\(x,\) тому\(y\) -координата змінюється відповідно до значення\(x.\) Рівняння\(y=4\) має лише одну змінну. Значення\(y\) постійне, воно не залежить від значення,\(x,\) тому\(y\) -координата завжди\(4.\)

    Ця цифра має дві таблиці. Перша таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок — це рядок заголовка з рівнянням y плюс 4 x. Другий рядок — рядок заголовка з заголовками x, y та (x, y). Третій рядок містить цифри 0, 0 і (0, 0). Четвертий ряд має цифри 1, 4, і (1, 4). П'ятий ряд має цифри 2, 8, і (2, 8). Друга таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок - це рядок заголовка з рівнянням y плюс 4. Другий рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Третій ряд має цифри 0, 4 і (0, 4). Четвертий ряд має цифри 1, 4, і (1, 4). П'ятий ряд має цифри 2, 4, і (2, 4).На малюнку показані графіки прямої горизонтальної лінії і прямої похилої лінії на тій же x y координатної площині. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Горизонтальна лінія проходить через точки (0, 4), (1, 4) і (2,4) і позначається y плюс 4. Коса лінія проходить через точки (0, 0), (1, 4) і (2, 8) і позначається y плюс 4 x.

    Зверніть увагу, на графіку рівняння\(y=4x\) дає похилу лінію, в той час як\(y=4\) дає горизонтальну лінію.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Графік\(y=−3x\) і\(y=−3\) в тій же прямокутній системі координат.

    Рішення:

    Ми помічаємо, що перше рівняння має змінну,\(x,\) а друге - ні. Ми складаємо таблицю точок для кожного рівняння, а потім графуємо лінії. Наведені два графіки.

    Ця цифра має дві таблиці. Перша таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок — це рядок заголовка з рівнянням y плюс від'ємний 3 x. Другий рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Третій рядок містить цифри 0, 0 і (0, 0). Четвертий ряд має цифри 1, від'ємний 3 і (1, від'ємний 3). П'ятий ряд має числа 2, від'ємний 6, і (2, neg активний 6). Друга таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок - це рядок заголовка з рівнянням y плюс негативний 3. Другий рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Третій рядок містить числа 0, від'ємний 3 і (0, від'ємний 3). Четвертий ряд має цифри 1, від'ємний 3 і (1, від'ємний 3). П'ятий ряд має числа 2, від'ємний 3 і (2, негативний 3).

    На малюнку показані графіки прямої горизонтальної лінії і прямої похилої лінії на тій же x y координатної площині. Осі x і y проходять від негативних 7 до 7. Горизонтальна лінія проходить через точки (0, негативний 3), (1, негативний 3), і (2, негативний 3) і позначається y плюс негативний 3. Похила лінія проходить через точки (0, 0), (1, від'ємний 3) і (2, від'ємний 6) і позначається y плюс негативний 3 x.

    Спробуйте! \(\PageIndex{11}\)

    Графік рівнянь в одній і тій же прямокутній системі координат:\(y=−4x\) і\(y=−4\).

    Відповідь

    На малюнку показані графіки прямої горизонтальної лінії і прямої похилої лінії на тій же x y координатної площині. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Горизонтальна лінія проходить через точки (0, від'ємний 4), (1, негативний 4), і (2, негативний 4). Коса лінія проходить через точки (0, 0), (1, від'ємний 4), і (2, негативний 8).

    Спробуйте! \(\PageIndex{12}\)

    Графік рівнянь в одній і тій же прямокутній системі координат:\(y=3\) і\(y=3x\).

    Відповідь

    На малюнку показані графіки прямої горизонтальної лінії і прямої похилої лінії на тій же x y координатної площині. Осі x і y проходять від негативних 12 до 12. Горизонтальна лінія проходить через точки (0, 3), (1, 3), і (2, 3). Коса лінія проходить через точки (0, 0), (1, 3) і (2, 6).

    Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплює

    Кожне лінійне рівняння може бути представлено унікальною лінією, яка показує всі розв'язки рівняння. Ми бачили, що при графіку лінії шляхом побудови точок, ви можете використовувати будь-які три рішення для графіка. Це означає, що двоє людей, які графують лінію, можуть використовувати різні набори з трьох точок.

    На перший погляд, їх дві лінії можуть здатися не однаковими, оскільки вони мали б різні точки позначені. Але якщо всі роботи були виконані правильно, лінії повинні бути абсолютно однаковими. Один із способів розпізнати, що вони дійсно одна і та ж лінія - подивитися, де лінія перетинає\(x\) вісь -і\(y\) -вісь. Ці точки називаються перехопленнями лінії.

    ПЕРЕХОПЛЕННЯ ЛІНІЇ

    Точки, де лінія перетинає\(x\) -вісь і\(y\) -вісь називаються перехопленнями лінії.

    Давайте розглянемо графіки ліній.

    На малюнку показані чотири графіки різних рівнянь. У прикладі графік 2 x плюс y плюс 6 зображений на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Точки (0, 6) і (3, 0) наносяться і маркуються. Пряма лінія проходить через обидві точки і має стрілки на обох кінцях. У прикладі b графік 3 x мінус 4 y плюс 12 зображений на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Точки (0, від'ємні 3) і (4, 0) нанесені та позначені. Пряма лінія проходить через обидві точки і має стрілки на обох кінцях. У прикладі c графік x мінус y плюс 5 зображений на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Точки (0, від'ємні 5) і (5, 0) нанесені та позначені. Пряма лінія проходить через обидві точки і має стрілки на обох кінцях. У прикладі d графік y плюс від'ємний 2 x графічно розміщений на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Точка (0, 0) наноситься на креслення і маркується. Пряма лінія проходить через цю точку і точки (негативні 1, 2) і (1, негативні 2) і має стрілки на обох кінцях.

    По-перше, зверніть увагу, де кожна з цих ліній перетинає\(x\) -вісь. Див. Таблицю.

    Тепер давайте подивимося на точки, де ці лінії перетинають\(y\) -вісь.

    Малюнок Лінія
    перетинає\(x\) вісь -за адресою:    		 Замовлена пара
    для цього пункту    		 Лінія
    перетинає вісь y за адресою:    		 Замовлена пара
    для цього пункту
    Малюнок (а) \ (x\) -вісь за адресою:» значення даних = «середина">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Малюнок (б) \ (x\) -вісь за адресою:» значення даних = «середина">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Малюнок (c) \ (x\) -вісь за адресою:» значення даних = «середина">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Малюнок (d) \ (x\) -вісь за адресою:» значення даних = «середина">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Загальний малюнок \ (x\) -вісь за адресою:» значення даних = «середина">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    Ви бачите візерунок?

    Для кожного рядка\(y\) -координата точки, де пряма перетинає\(x\) вісь -, дорівнює нулю. Точка, де пряма перетинає\(x\) -вісь, має вигляд\((a,0)\) і називається\(x\) -перехопленням прямої. \(x\)-Перехоплення відбувається, коли\(y\) дорівнює нулю.

    У кожному рядку\(x\) - координата точки, де пряма перетинає\(y\) вісь -, дорівнює нулю. Точка, де пряма перетинає\(y\) -вісь, має вигляд\((0,b)\) і називається\(y\) -перехопленням прямої. \(y\)-Перехоплення відбувається, коли\(x\) дорівнює нулю.

    Перехоплення лінії

    \(x\)-intercept - це точка\((a,0)\), де лінія перетинає\(x\) вісь -.

    \(y\)-intercept - це точка\((0,b)\), де лінія перетинає\(y\) вісь -.

    Таблиця має 3 рядки і 2 стовпці. Перший рядок — це рядок заголовка з заголовками x та y. Другий рядок містить a та 0. Третій рядок містить 0 і b.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення на кожному показаному графіку.

    Малюнок має три графіки. На малюнку a показано пряму лінію, розміщену на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Рядок проходить через точки (від'ємні 8, 6), (негативні 4, 4), (0, 2), (4, 0), (8, від'ємні 2). На малюнку b показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 6), (2, 0) і (4, 6). На малюнку c показано пряму лінію, розміщену на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Рядок проходить через точки (від'ємний 5, 0), (негативний 3, негативний 3), (0, негативний 5), (1, негативний 6), і (2, негативний 7).

    Рішення:

    a Графік перетинає\(x\) вісь -у точці\((4,0)\). X- перехоплення є\((4,0)\).
    Графік перетинає\(y\) вісь -у точці\((0,2)\). \(y\)-Перехоплення є\((0,2)\).

    b Графік перетинає\(x\) вісь -у точці\((2,0)\). \(x\)-Перехоплення є\((2,0)\).
    Графік перетинає\(y\) вісь -у точці\((0,−6)\). \(y\)-Перехоплення є\((0,−6)\).

    c Графік перетинає\(x\) вісь -у точці\((−5,0)\). \(x\)-Перехоплення є\((−5,0)\).
    Графік перетинає\(y\) вісь -у точці\((0,−5)\). \(y\)-Перехоплення є\((0,−5)\).

    Спробуйте! \(\PageIndex{13}\)

    Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення на графіку.

    На цьому малюнку a показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Рядок проходить через точки (від'ємний 6, негативний 8), (негативний 4, негативний 6), (негативний 2, негативний 4), (0, негативний 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6).

    Відповідь

    \(x\)-перехоплення:\((2,0)\),
    \(y\) -перехоплення:\((0,−2)\)

    Спробуйте! \(\PageIndex{14}\)

    Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення на графіку.

    На цьому малюнку a показана пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Рядок проходить через точки (від'ємний 6, 6), (негативний 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, негативний 2), і (9, негативний 4).

    Відповідь

    \(x\)-перехоплення:\((3,0)\),
    \(y\) -перехоплення:\((0,2)\)

    Визнаючи, що\(x\) -перехоплення відбувається, коли\(y\) дорівнює нулю, і що\(y\) -перехоплення відбувається, коли\(x\) дорівнює нулю, дає нам метод знайти перехоплення лінії з її рівняння. Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y=0\) and solve for\(x.\) знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x=0\) and solve for\(y.\)

    Пошук перехоплень з рівняння прямої

    Використовуйте рівняння прямої. Щоб знайти:

    • \(x\)-перехоплення лінії, нехай\(y=0\) і вирішувати для\(x\).
    • \(y\)-перехоплення лінії, нехай\(x=0\) і вирішувати для\(y\).
    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Знайти перехоплення\(2x+y=8\).

    Рішення:

    Ми дозволимо\(y=0\) знайти\(x\) -перехоплення, і нехай\(x=0\) знайти\(y\) -перехоплення. Ми заповнимо таблицю, яка нагадує нам про те, що нам потрібно знайти.

    На малюнку є таблиця з 4 рядками і 2 стовпцями. Перший рядок - це рядок заголовка з рівнянням 2 х плюс y плюс 8. Другий рядок — це рядок заголовка з заголовками x та y. Третій рядок позначено міткою x-intercept і має порожній перший стовпчик і 0 у другому стовпчику. Четвертий рядок має мітку y-intercept і має 0 в першому стовпці, а другий стовпець порожній.
    Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Нехай\(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Спростити. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    \(x\)Перехоплення - це: \((4,0)\)
    Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Нехай\(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Спростити. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    \(y\)Перехоплення - це: \((0,8)\)

    Перехоплення - це точки\((4,0)\) і\((0,8)\) як показано в таблиці.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    Спробуйте! \(\PageIndex{15}\)

    Знайдіть перехоплення:\(3x+y=12\).

    Відповідь

    \(x\)-перехоплення:\((4,0)\),
    \(y\) -перехоплення:\((0,12)\)

    Спробуйте! \(\PageIndex{16}\)

    Знайдіть перехоплення:\(x+4y=8\).

    Відповідь

    \(x\)-перехоплення:\((8,0)\),
    \(y\) -перехоплення:\((0,2)\)

    Графік лінії за допомогою перехоплення

    Щоб скласти графік лінійного рівняння шляхом побудови точок, потрібно знайти три точки, координати яких є розв'язками рівняння. Ви можете використовувати x- і y- перехоплення як дві з трьох точок. Знайдіть перехоплення, а потім знайдіть третю точку, щоб забезпечити точність. Переконайтеся, що точки вирівнюються вгору, а потім намалюйте лінію. Цей метод часто є найшвидшим способом графіка лінії.

    Приклад\(\PageIndex{9}\): How to Graph a Line Using the Intercepts

    Графік\(–x+2y=6\) за допомогою перехоплень.

    Рішення:

    Крок 1 полягає в тому, щоб знайти x і y-перехоплення рядка. Щоб знайти перехоплення x, дозвольте y плюс 0 і розв'язати для x. Рівняння від'ємне x плюс 2 y плюс 6 стає від'ємним x плюс 2 рази 0 плюс 6. Це спрощує негативний х плюс 6. Це еквівалентно x плюс негативний 6. X-перехоплення є (негативний 6, 0). Щоб знайти y-перехоплення нехай x плюс 0 і розв'язати для y. Рівняння від'ємне x плюс 2 y плюс 6 стає від'ємним 0 плюс 2 y плюс 6. Це спрощує до негативних 2 у плюс 6. Це еквівалентно y плюс 3. Y-перехоплення є (0, 3).Крок 2 полягає в пошуку іншого рішення рівняння. Ми будемо використовувати х плюс 2. Рівняння від'ємне х плюс 2 у плюс 6 стає від'ємним 2 плюс 2 у плюс 6. Це спрощує до 2 у плюс 8. Це еквівалентно y плюс 4. Третій пункт - (2, 4).Крок 3 полягає в тому, щоб намітити три точки. На малюнку представлена таблиця з 4 рядками і 3 стовпцями. Перший рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Другий рядок містить від'ємні 6, 0, і (від'ємні 6, 0). Третій рядок містить 0, 3 і (0, 3). Четвертий ряд містить 2, 4, і (2, 4). На малюнку також є графік трьох точок на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Три точки (від'ємні 6, 0), (0, 3) та (2, 4) побудовані та позначені.Крок 4 полягає в тому, щоб провести лінію. На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Пряма проходить через точки (від'ємні 6, 0), (0, 3), і (2, 4).

    Спробуйте! \(\PageIndex{17}\)

    Графік з використанням перехоплень:\(x–2y=4\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Пряма проходить через точки (негативний 4, негативний 4), (негативний 2, негативний 3), (0, негативний 2), (2, негативний 1), (4, 0), (6, 1) і (8, 2).

    Спробуйте! \(\PageIndex{18}\)

    Графік з використанням перехоплень:\(–x+3y=6\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Пряма проходить через точки (негативний 9, негативний 1), (негативний 6, 0), (негативний 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4) і (9, 5).

    Кроки для побудови графіка лінійного рівняння за допомогою перехоплень підсумовуються тут.

    ГРАФІК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ ПЕРЕХОПЛЕНЬ
    1. Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення рядка.
      • Нехай y=0y=0 і вирішити для\(x\).
      • Нехай x = 0x=0 і вирішити для\(y\).
    2. Знайдіть третій розв'язок рівняння.
    3. Побудуйте три точки і перевірте, щоб вони вишикувалися.
    4. Намалюйте лінію.
    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Графік\(4x−3y=12\) за допомогою перехоплень.

    Рішення:

    Знайдіть перехоплення і третю точку.

    Щоб знайти x-перехоплення нехай y плюс 0 і вирішити для x. рівняння 4 х мінус 3 у плюс 12 стає 4 х мінус 3 рази 0 плюс 12. Це спрощує негативні 4 х плюс 12. Це еквівалентно x плюс 3. Щоб знайти y-перехоплення нехай x плюс 0 і вирішити для y. рівняння 4 х мінус 3 y плюс 12 стає 4 рази 0 мінус 3 y плюс 12. Це спрощує до негативних 3 у плюс 12. Це еквівалентно y плюс негативний 4. Щоб знайти третю точку, нехай y плюс 4 і вирішити для х. рівняння 4 х мінус 3 у плюс 12 стає 4 х мінус 3 рази 4 плюс 12. Це спрощує негативні 4 х плюс 24. Це еквівалентно x плюс 6.

    Перерахуємо точки в таблиці і показуємо графік.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    На малюнку зображений графік рівняння 4 х мінус 3 у плюс 12 на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 7 до 7. Пряма проходить через точки (0, від'ємний 4), (3, 0), і (6, 4).

    Спробуйте! \(\PageIndex{19}\)

    Графік з використанням перехоплень:\(5x−2y=10\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 8 до 8. Пряма проходить через точки (0, від'ємний 5), (2, 0) і (4, 5).

    Спробуйте! \(\PageIndex{20}\)

    Графік з використанням перехоплень:\(3x−4y=12\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 8 до 8. Пряма проходить через точки (від'ємний 4, негативний 6), (0, негативний 3), (4, 0), і (8, 3).

    Коли лінія проходить через початок,\(x\) -перехоплення і -перехоплення\(y\) - це одна і та ж точка.

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Графік\(y=5x\) за допомогою перехоплень.

    Рішення:

    Щоб знайти перехоплення x, дозвольте y плюс 0 і розв'язати для x. Рівняння y плюс 5 x стає 0 плюс 5 x. Це спрощує 0 плюс х. Перехоплення x дорівнює (0, 0). Щоб знайти y-перехоплення нехай x плюс 0 і розв'язати для y Рівняння y плюс 5 x стає y плюс 5 разів 0. Це спрощує y плюс 0. Y-перехоплення також є (0, 0).

    Ця лінія має тільки один перехоплення. Це суть\((0,0)\).

    Щоб забезпечити точність, нам потрібно намічити три точки. Оскільки\(x\) - і\(y\) -перехоплення - це одна і та ж точка, нам потрібно ще дві точки для графіка лінії.

    Щоб знайти другу точку, нехай x плюс 1 і вирішити для y. рівняння y плюс 5 x стає y плюс 5 разів 1. Це спрощує у плюс 5. Щоб знайти третю точку, нехай x плюс негативний 1 і вирішити для y Рівняння y плюс 5 x стає y плюс 5 разів негативним 1. Це спрощує y плюс негативний 5

    Отримані три пункти зведені в таблицю.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Намалюйте три точки, перевірте, щоб вони вишикувалися, і проведіть лінію.

    На малюнку показаний графік рівняння y плюс 5 x на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Пряма проходить через точки (від'ємний 1, негативний 5), (0, 0), і (1, 5).

    Спробуйте! \(\PageIndex{21}\)

    Графік з використанням перехоплень:\(y=4x\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Пряма проходить через точки (від'ємний 1, негативний 4), (0, 0), і (1, 4).

    Спробуйте! \(\PageIndex{22}\)

    Графік перехоплення:\(y=−x\).

    Відповідь

    На малюнку зображений графік прямої на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Пряма проходить через точки (від'ємний 1, 1), (0, 0) і (1, негативний 1).

    Ключові концепції

    • Точки на осях
      • Точки з\(y\) -координатою, рівною,\(0\) знаходяться на\(x\) -осі і мають координати\((a,0)\).
      • Точки з\(x\) -координатою, рівною,\(0\) знаходяться на\(y\) -осі і мають координати\((0,b)\).
    • Квадрант
      Квадрант I Квадрант II Квадрант III IV квадрант
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      На цьому малюнку показано координатну площину x y з позначеними чотирма квадрантами. У правому верхньому куті площини знаходиться квадрант я позначений (плюс, плюс). У лівій верхній частині площини знаходиться квадрант II з маркуванням (мінус, плюс). У лівій нижній частині площини знаходиться квадрант III з маркуванням (мінус, мінус). У правому нижньому куті площини знаходиться квадрант IV з маркуванням (плюс, мінус).

    • Графік лінійного рівняння: Графік лінійного рівняння\(Ax+By=C\) є прямою лінією.
      Кожна точка на прямій є розв'язком рівняння.
      Кожен розв'язок цього рівняння є точкою на цій лінії.
    • Як побудувати графік лінійного рівняння шляхом побудови точок.
      1. Знайдіть три точки, координати яких є розв'язками рівняння. Організуйте їх в таблиці.
      2. Побудуйте точки в прямокутній системі координат. Переконайтеся, що точки вирівнюються. Якщо їх немає, уважно перевірте свою роботу.
      3. Проведіть лінію через три точки. Продовжити лінію, щоб заповнити сітку і поставити стрілки на обох кінцях лінії.
    • \(x\)-перехоплення і\(y\) -перехоплення лінії
      • \(x\)-intercept - це точка\((a,0)\), де лінія перетинає\(x\) вісь -.
      • \(y\)-intercept - це точка\((0,b)\), де лінія перетинає\(y\) вісь -.

    Таблиця має 3 рядки і 2 стовпці. Перший рядок — це рядок заголовка з заголовками x та y. Другий рядок містить a та 0. Перехоплення x відбувається, коли y дорівнює нулю. Третій рядок містить 0 і b. Y-перехоплення відбувається, коли x дорівнює нулю.

    • Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення з рівняння лінії
      • Використовуйте рівняння прямої. Щоб знайти:
        \(x\) -перехоплення лінії, нехай\(y=0\) і вирішити для\(x.\)
        \(y\) -перехоплення лінії, нехай\(x=0\) і вирішити для\(y.\)
    • Як побудувати графік лінійного рівняння за допомогою перехоплень.
      1. Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення рядка.
        Дозвольте\(y=0\) і\(x.\)
        вирішуйте для Дозвольте\(x=0\) і вирішуйте для\(y.\)
      2. Знайдіть третій розв'язок рівняння.
      3. Побудуйте три точки і перевірте, щоб вони вишикувалися.
      4. Намалюйте лінію.

    Глосарій

    горизонтальна лінія
    Горизонтальна лінія - це графік рівняння виду\(y=b.\) Лінія проходить через\(y\) -вісь при\((0,b).\)
    перехоплення лінії
    Точки, де лінія перетинає\(x\) -вісь і\(y\) -вісь називаються перехопленнями лінії.
    лінійне рівняння
    Рівняння виду,\(Ax+By=C,\) де\(A\) і не\(B\) обидва нуль, називається лінійним рівнянням в двох змінних.
    впорядкована пара
    Впорядкована пара,\((x,y),\) дає координати точки в прямокутній системі координат. Перше число\(x\) - координата. Друге число\(y\) - координата.
    походження
    Точка\((0,0)\) називається початком. Це точка, де перетинаються\(x\)\(y\) -вісь і -вісь.
    розв'язок лінійного рівняння у двох змінних
    Впорядкована пара\((x,y)\) - це рішення лінійного рівняння,\(Ax+By=C,\) якщо рівняння є істинним твердженням, коли\(x\) - і\(y\) -значення впорядкованої пари підставляються в рівняння.
    стандартна форма лінійного рівняння
    Лінійне рівняння знаходиться в стандартній формі, коли воно записано\(Ax+By=C.\)
    вертикальна лінія
    Вертикальна лінія - це графік рівняння виду\(x=a.\). Лінія проходить через\(x\) -вісь при\((a,0).\)