9.1: Функція квадратного кореня

У цьому розділі звернемо увагу на функцію квадратного кореня, функцію, визначену рівнянням

$$\begin{array}{c} {f(x)= \sqrt{x}}\\ \end{array}$$

Починаємо розділ з малювання графіка функції, потім звертаємося до домену і діапазону. Після цього ми дослідимо ряд різних перетворень функції.

Графік функції квадратного кореня

Давайте створимо таблицю точок, які задовольняють рівнянню функції, а потім побудуємо точки з таблиці на декартовій системі координат на графічному папері. Ми продовжимо створювати та будувати точки, поки не переконаємося в можливій формі графіка.

Ми знаємо, що не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа. Тому ми не хочемо ставити будь-які негативні x -значення в нашій таблиці. Щоб ще більше спростити наші обчислення, давайте використаємо числа, квадратний корінь яких легко обчислюється. Це приносить на розум ідеальні квадрати, такі як 0, 1, 4, 9 і так далі. Ми розмістили ці числа як x -значення в таблиці на малюнку 1 (b), потім обчислили квадратний корінь кожного. На малюнку 1 (а) ви бачите кожну з точок таблиці, побудовану як суцільна точка. Якщо ми продовжимо додавати точки до таблиці, побудувати їх, графік в кінцевому підсумку заповниться і прийме форму твердої кривої, показаної на малюнку 1 (c).

Рисунок 1.} \ текст {Створення графа} f (x) =\ sqrt {x}}\\ nonumber\ end {масив}\]

Точковий підхід побудови, який використовується для малювання графіка на$f(x) = \sqrt{x}$ малюнку 1, є перевіреною та знайомою процедурою. Однак більш складний підхід передбачає розроблену в попередньому розділі теорію інверсів.

У певному сенсі взяття квадратного кореня - це «зворотне» квадратування. Ну, не зовсім, оскільки функція квадратури на$f(x) = x^2$ малюнку 2 (а) не проходить тест горизонтальної лінії і не є один-до-одному. Однак якщо обмежити область квадратної функції, то графік на$f(x) = x^2$ малюнку 2 (b), де$x \ge 0$, дійсно проходить тест горизонтальної лінії і є один до одного. Отже, графік$f(x) = x^2$, має зворотну$x \ge 0$, а графік його зворотного знаходить шляхом відображення графіка$f(x) = x^2$,$x \ge 0$, поперек лінії y = x (див. Рис. 2 (в)).

Рисунок 2.} \ text {Ескіз оберненого} f (x) = x^2, x\ ge 0}\\ nonumber\ end {масив}\]

Щоб знайти рівняння зворотного, нагадаємо, що процедура вимагає перемикання ролей x і y, потім вирішуємо отримане рівняння для y. Таким чином, спочатку пишіть$f(x) = x^2$$x \ge 0$, в формі

$$\begin{array}{c} {y = x^2, x \ge 0}\\ \nonumber \end{array}$$

Далі перемикаємо x і y.

$$\begin{array}{c} {x = y^2, y \ge 0}\\ \end{array}$$

Коли ми вирішимо це останнє рівняння для y, ми отримуємо два рішення,

$$\begin{array}{c} {y = \pm\sqrt{x}}\\ \end{array}$$

Однак у рівнянні (2) зверніть увагу, що y повинен бути більше або дорівнює нулю. Отже, ми повинні вибрати невід'ємну відповідь у рівнянні (3), тому зворотне$f(x) = x^2$$x \ge 0$, має рівняння

$$\begin{array}{c} {f^{−1}(x) = \sqrt{x}}\\ \nonumber \end{array}$$

Це рівняння відображення графіка того$f(x) = x^2$$x \ge 0$, що зображено на малюнку 2 (в). Зверніть увагу на точну узгодженість з графіком функції квадратного кореня на малюнку 1 (c).

Послідовність графіків на малюнку 2 також допомагає нам визначити область і діапазон функції квадратного кореня.

• На малюнку 2 (а) парабола відкривається назовні на невизначений термін, як вліво, так і вправо. Отже, домен є$D_{f} = (−\infty, \infty)$, або всі дійсні числа. Крім того, граф має вершину на початку і відкривається вгору нескінченно довго, тому діапазон є$R_{f} = [0, \infty)$.
• На малюнку 2 (b) ми обмежили домен. Таким чином, граф$f(x) = x^2$$x \ge 0$, тепер має домен$D_{f} = [0, \infty)$. Діапазон незмінний і є$R_{f} = [0, \infty)$.
• На малюнку 2 (c) ми відобразили графік$f(x) = x^2$$x \ge 0$, через лінію y = x, щоб отримати графік$f^{−1}(x) = \sqrt{x}$. Тому що ми поміняли роль х і у, область квадратного кореневої функції повинен дорівнювати діапазону$f(x) = x^2$,$x \ge 0$. Тобто,$D_{f^{−1}} =[0,\infty)$ .Аналогічно, діапазон функції квадратного кореня повинен дорівнювати області$f(x) = x^2$,$x \ge 0$. Отже,$R_{f^{−1}} = [0,\infty)$.

Звичайно, ми також можемо визначити область і діапазон функції квадратного кореня, проектуючи всі точки на графіку на осі x - і y, як показано на малюнках 3 (a) і (b) відповідно.

Рисунок 3.} \ text {Проєкт на осі для пошуку домену та діапазону}}\\ nonumber\ end {масив}\]

Деякі можуть заперечити проти діапазону, запитуючи «Як ми знаємо, що графік зображення функції квадратного кореня на малюнку 3 (b) піднімається на невизначений термін?» Знову ж таки, відповідь криється в послідовності графіків на малюнку 2. На малюнку 2 (c) зверніть увагу, що графік$f(x) = x^2$$x \ge 0$, відкривається на невизначений час праворуч, коли графік піднімається до нескінченності. Отже, після відображення цього графіка через лінію y = x, отриманий графік повинен нескінченно підніматися вгору, коли він рухається вправо. Таким чином, діапазон функції квадратного кореня дорівнює$[0, \infty)$.

Переклади

Якщо ми зрушуємо графік$y = \sqrt{x}$ вправо і вліво, або вгору і вниз, область і/або діапазон будуть порушені.

Приклад$\PageIndex{4}$

Намалюйте графік$f(x) = \sqrt{x−2}$. Використовуйте графік для визначення домену та діапазону.

Ми знаємо, що основне рівняння$y=\sqrt{x}$ має графік, показаний на малюнках 1 (c). Якщо замінити x на x − 2, то базове рівняння$y=\sqrt{x}$ becomes $f(x) = \sqrt{x−2}$. З нашої попередньої роботи з геометричними перетвореннями ми знаємо, що це змістить графік на дві одиниці вправо, як показано на малюнках 4 (a) і (b).

Малюнок 4. Щоб намалювати графік$f(x) = \sqrt{x−2}$, зсуньте графік$y=\sqrt{x}$ two units to the right.

Щоб знайти домен, ми проектуємо кожну точку на графіку f на вісь x, як показано на малюнку 4 (а). Зверніть увагу, що всі точки праворуч від або включаючи 2 затінені на осі x. Отже, доменом f є

Домен$[2, \infty)$ = {x:$x \ge 0$}

Оскільки не було зрушення у вертикальному напрямку, діапазон залишається колишнім. Щоб знайти діапазон, ми проектуємо кожну точку на графіку на вісь y, як показано на малюнку 4 (b). Зауважте, що всі точки на нулі і вище нуля затінені на осі y. Таким чином, діапазон f дорівнює

Діапазон$[0,\infty)$ = {y:$y \ge 0$}.

Ми можемо знайти область цієї функції алгебраїчно, вивчивши її визначальне рівняння$f(x) = \sqrt{x−2}$. Ми розуміємо, що не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа. Тому вираз під радикалом має бути невід'ємним (позитивним або нульовим). Тобто,

$x − 2 \ge 0$.

Розв'язуючи цю нерівність для x,

$x \ge 2$.

Таким чином, доменом f є Domain =$[2, \infty)$, що відповідає графічному рішенню вище.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$

Намалюйте графік$f (x) = \sqrt{x + 4} + 2$. Використовуйте свій графік для визначення домену та діапазону f.

Знову ж таки, ми знаємо, що$y=\sqrt{x}$ основне рівняння має графік, показаний на малюнку 1 (c). Якщо замінити x на x +4, основне рівняння$y=\sqrt{x}$ стане$y=\sqrt{x+4}$. З нашої попередньої роботи з геометричними перетвореннями ми знаємо, що це змістить графік$y=\sqrt{x}$ чотирьох одиниць вліво, як показано на малюнку 5 (а).

Якщо ми знаємо, що додати 2$y=\sqrt{x+4}$ до рівняння для отримання рівняння$y=\sqrt{x+4} + 2$, це змістить графік$y=\sqrt{x+4}$ двох одиниць вгору, як показано на малюнку 5 (b).

Малюнок 5. Переклад вихідного рівняння$y = \sqrt{x}$ для отримання графіка$y = \sqrt{x+4} + 2$

Щоб визначити область$f (x) = \sqrt{x + 4} + 2$, ми проектуємо всі точки на графіку f на вісь x, як показано на малюнку 6 (а). Зауважте, що всі точки праворуч від або включаючи − 4 затінені на осі x. Таким чином, домен$f (x) = \sqrt{x + 4} + 2$ є

Домен$[−4, \infty)$ = {x:$x \ge −4$}

Малюнок 6. Проектування точок f на осі для визначення області та діапазону

Аналогічно, щоб знайти діапазон f, спроектуйте всі точки на графіку f на вісь y, як показано на малюнку 6 (b). Зауважте, що всі точки на осі y, більші за або включаючи 2, затінені. Отже, діапазон f дорівнює

Діапазон$[2, \infty)$ = {y:$y \ge 2$}

Ми також можемо знайти область f алгебраїчно, вивчивши рівняння$f (x) = \sqrt{x + 4} + 2$. Ми не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа, тому вираз під радикалом має бути невід'ємним (нульовим або позитивним). Отже,

$x + 4 \ge 0$.

Розв'язуючи цю нерівність для x,

$x \ge −4$.

Таким чином, доменом f є Domain =$[−4,\infty)$, що відповідає графічному рішенню, представленому вище.

Роздуми

Якщо почати з базового рівняння$y = \sqrt{x}$, то замінити x на −x, тоді графік отриманого рівняння$y = \sqrt{−x}$ захоплюється відображенням графіка$y = \sqrt{x}$ (див. Рис. 1 (c)) по горизонталі по осі y. Графік$y = \sqrt{−x}$ показаний на малюнку 7 (а).

Аналогічно, графік$y = −\sqrt{x}$ буде вертикальним відображенням графіка$y = \sqrt{x}$ поперек осі x, як показано на малюнку 7 (b).

Малюнок 7. Відображення графіка$y = \sqrt{x}$ поперек осей x і y.

Найчастіше вас попросять виконати рефлексію і переклад.

Приклад$\PageIndex{6}$

Намалюйте графік$f(x) = \sqrt{4− x}$. Використовуйте отриманий графік для визначення області та діапазону f.

Спочатку перепишіть рівняння$f(x) = \sqrt{4− x}$ наступним чином:

$f(x) = \sqrt{−(x−4)}$

Визначення

Перші роздуми. Зазвичай більш інтуїтивно виконувати роздуми перед перекладами.

Маючи на увазі цю думку, ми спочатку накидаємо графік$f(x) = \sqrt{−x}$, який є відображенням графіка$f(x) = \sqrt{x}$ поперек осі y. Це показано на малюнку 8 (а).

Тепер$f(x) = \sqrt{−x}$ замініть x на x − 4, щоб отримати$f(x) = \sqrt{−(x−4)}$. Це зміщує графік$f(x) = \sqrt{−x}$ чотирьох одиниць вправо, як показано на малюнку 8 (b).

Малюнок 8. Роздум, за яким слідує переклад.

Щоб знайти область функції$f(x) = \sqrt{−(x−4)}$, або еквівалентно$f(x) = \sqrt{4−x}$, спроектуйте кожну точку на графіку f на вісь x, як показано на малюнку 9 (a). Зауважте, що всі дійсні числа, менші або рівні 4, затінені на осі x. Отже, доменом f є

Домен$(−\infty, 4]$ = {x:$x \le 4$}.

Аналогічно, щоб отримати діапазон f, проектуйте кожну точку на графіку f на їхню вісь, як показано на малюнку 9 (b). Зверніть увагу, що всі дійсні числа, більші або рівні нулю, затінені на осі y. Значить, діапазон f дорівнює

Діапазон$[0,\infty)$ = {x:$x \ge 0$}.

Ми також можемо знайти область функції f, вивчивши рівняння$f(x) = \sqrt{4−x}$. Ми не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа, тому вираз під радикалом має бути невід'ємним (нульовим або позитивним). Отже,

$4 − x \ge 0$.

Малюнок 9. Визначення домену та діапазону$f(x) = \sqrt{4−x}$

Розв'яжіть цю останню нерівність для x. Спочатку відніміть 4 з обох сторін нерівності, потім помножте обидві сторони отриманої нерівності на − 1. Звичайно, множення на негативне число змінює символ нерівності.

$−x \ge −4$

$x \le 4$

Таким чином, домен f дорівнює {x:$x \le 4$}. У інтервальній нотації, Domain =$(−\infty, 4]$. Це добре погоджується з графічним результатом, знайденим вище.

Найчастіше для визначення області функції квадратного кореня знадобиться комбінація графічного калькулятора та невелика алгебраїчна маніпуляція.

Приклад$\PageIndex{7}$

Намалюйте графік$f(x) = \sqrt{5−2x}$ Використовуйте графік та алгебраїчну техніку для визначення області функції.

Завантажте функцію в Y1 в меню Y= вашого калькулятора, як показано на малюнку 10 (a). Виберіть 6: ZStandard з меню ZOOM, щоб створити графік, показаний на малюнку 10 (b).

Малюнок 10. Намалювання графа f (x) =\ sqrt {5−2x} на графічному калькуляторі.

Подивіться уважно на графік на малюнку 10 (b) і зауважте, що важко сказати, чи опускається графік, щоб «торкнутися» осі x поблизу$x \approx 2.5$. Однак наш попередній досвід роботи з функцією квадратного кореня змушує нас вважати, що це всього лише артефакт недостатньої роздільної здатності на калькуляторі, який заважає графіку «торкнутися» осі x в$x \approx 2.5$.

Алгебраїчний підхід дозволить вирішити питання. Визначити область f можна, вивчивши рівняння$f(x) = \sqrt{5 − 2x}$. Отже, Ми не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа, тому вираз під радикалом має бути невід'ємним (нульовим або додатним).

$5 − 2x \ge 0$.

Розв'яжіть цю останню нерівність для x. Спочатку відніміть 5 з обох сторін нерівності.

$−2x \ge −5$.

Далі розділіть обидві сторони цієї останньої нерівності на −2. Пам'ятайте, що ми повинні змінити нерівність в той момент, коли ми ділимо на негативне число.

$\frac{−2x}{−2} \le \frac{−5}{−2}$.

$x \le \frac{5}{2}$.

Таким чином, домен f дорівнює {x:$x \le \frac{5}{2}$}. У інтервальній нотації, Domain =$(−\infty, \frac{5}{2}]$. Це добре погоджується з графічним результатом, знайденим вище.

Подальший самоаналіз показує, що цей аргумент також вирішує питання про те, чи «торкається» графік до осі x$x= \frac{5}{2}$. Якщо ви залишитеся непереконаними, то підставляйте,$x=\frac{5}{2}$$f(x) = \sqrt{5−2x}$ щоб побачити

$f(\frac{5}{2})= \sqrt{5−2(\frac{5}{2})} =\sqrt{0} = 0$.

Таким чином, графік f «торкається» осі х в точці$(\frac{5}{2}, 0)$.

У вправі 1-10 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь.
2. Заповніть таблицю балів за заданою функцією. Побудуйте кожну з точок у вашій системі координат, а потім використовуйте їх, щоб допомогти намалювати графік заданої функції.
3. Використовуйте різні кольорові олівці, щоб спроектувати всі точки на осі x - і y, щоб визначити область і діапазон. Використовуйте інтервальне позначення для опису do- main заданої функції.

Вправа$\PageIndex{1}$

$f(x) = −\sqrt{x}$

х	0	1	4	9
f (х)

Відповідь

х	0	1	4	9
f (х)	0	− 1	− 2	− 3

Побудуйте точки в таблиці і використовуйте їх, щоб допомогти намалювати графік.

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[0, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$(−\infty, 0]$.

Вправа$\PageIndex{2}$

$f(x) = \sqrt{−x}$

х	0	− 1	− 4	− 9
f (х)

Вправа$\PageIndex{3}$

$f(x)= \sqrt{x+2}$

х	− 2	− 1	2	7
f (х)

Відповідь

х	− 2	− 1	2	7
f (х)	0	1	2	3

Побудуйте точки в таблиці і використовуйте їх, щоб допомогти намалювати графік.

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =\([−2, \infty)\). Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[0, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{4}$

$f(x)= \sqrt{5−x}$

х	− 4	1	4	5
f (х)

Вправа$\PageIndex{5}$

$f(x)= \sqrt{x}+2$

х	0	1	4	9
f (х)

Відповідь

х	0	1	4	9
f (х)	2	3	4	5

Покладіть точки в таблиці і використовуйте їх, щоб намалювати графік f.

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[0, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[2, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{6}$

$f(x)=\sqrt{x}−1$

х	0	1	4	9
f (х)

Вправа$\PageIndex{7}$

$f(x)= \sqrt{x+3}+2$

х	− 3	− 2	1	6
f (х)

Відповідь

х	− 3	− 2	1	6
f (х)	2	3	4	5

Покладіть точки в таблиці і використовуйте їх, щоб намалювати графік f.

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =\([−3, \infty)\). Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[2, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{8}$

$f(x)= \sqrt{x−1}+3$

х	1	2	5	10
f (х)

Вправа$\PageIndex{9}$

$f(x)= \sqrt{3−x}$

х	− 6	− 1	2	3
f (х)

Відповідь

х	− 6	− 1	2	3
f (х)	3	2	1	0

Покладіть точки в таблиці і використовуйте їх, щоб намалювати графік f.

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =\((−\infty, 3]\). Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[0, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{10}$

$f(x)=−\sqrt{x+3}$

х	− 3	− 2	1	6
f (х)

У вправах 11 - 20 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.
2. Використовуйте геометричні перетворення, щоб намалювати графік заданої функції у вашій системі координат без використання графічного калькулятора. Примітка: Ви можете перевірити своє рішення за допомогою калькулятора, але ви повинні мати можливість створити графік без використання вашого калькулятора.
3. Використовуйте різні кольорові олівці, щоб спроектувати точки на графіку функції на осі x - та y. Використовуйте інтервальне позначення для опису області та діапазону функції.

Вправа$\PageIndex{11}$

$f(x)= \sqrt{x}+3$

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім додайте 3, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{x} + 3$. Це змістить графік$y = \sqrt{x}$ вгору на 3 одиниці, як показано в (b).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[0, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[3, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{12}$

$f(x)=\sqrt{x+3}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$f(x)=\sqrt{x−2}$

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім замініть x на x − 2, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{x−2}$. Це змістить графік$y = \sqrt{x}$ вправо на 2 одиниці, як показано в (b).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[2, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[0, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{14}$

$f(x)=\sqrt{x}−2$

Вправа$\PageIndex{15}$

$f(x)= \sqrt{x+5}+1$

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім замініть x на x + 5, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{x+5}$. Потім додайте 1, щоб отримати рівняння$f(x)= \sqrt{x+5}+1$. Це змістить графік вліво$y = \sqrt{x}$ на 5 одиниць, потім вгору на 1 одиницю, як показано в (b).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[−5, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[1, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{16}$

$f(x)=\sqrt{x−2}−1$

Вправа$\PageIndex{17}$

$y = −\sqrt{x + 4}$

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім, звести нанівець, щоб виробляти$y = −\sqrt{x}$. Це буде відображати графік$y = \sqrt{x}$ поперек осі x, як показано в (b). Нарешті, замініть x на x + 4, щоб отримати рівняння$y = −\sqrt{x + 4}$. Це змістить графік$y = −\sqrt{x}$ чотирьох одиниць вліво, як показано в (c).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[−4, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$(−\infty, 0]$.

Вправа$\PageIndex{18}$

$f(x)=−\sqrt{x}+4$

Вправа$\PageIndex{19}$

$f(x)=−\sqrt{x}+3$

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім, звести нанівець, щоб виробляти$y = −\sqrt{x}$. Це буде відображати графік$y = \sqrt{x}$ поперек осі x, як показано в (b). Нарешті, додайте 3, щоб отримати рівняння$y=−\sqrt{x}+3$. Це змістить графік$y = −\sqrt{x}$ трьох одиниць вгору, як показано в (c).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$[0, \infty)$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$(−\infty, 3]$.

Вправа$\PageIndex{20}$

$f(x)=−\sqrt{x+3}$

Вправа$\PageIndex{21}$

Щоб намалювати графік функції$f(x) = \sqrt{3−x}$, виконайте кожен з наступних кроків послідовно без допомоги калькулятора.

1. Налаштуйте систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{x}$. Позначте графік його рівнянням.
2. Налаштуйте другу систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{−x}$. Позначте графік його рівнянням.
3. Налаштуйте третю систему координат і намалюйте графік$y =\sqrt{−(x − 3)}$. Позначте графік його рівнянням. Це графік$y =\sqrt{3−x}$. Використовуйте інтервальне позначення для визначення домену та діапазону цієї функції.

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім замініть x на − x, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{−x}$. Це буде відображати графік$y = \sqrt{x}$ поперек осі y, як показано в (b). Нарешті, замініть x на x − 3, щоб отримати рівняння\(y = \sqrt{−(x − 3)}\). Це змістить графік$y = \sqrt{−x}$ трьох одиниць вправо, як показано в (c).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$(−\infty, 3]$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[0, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{22}$

Щоб намалювати графік функції$f(x) = \sqrt{−x−3}$, виконайте послідовно кожен з наступних кроків.

1. Налаштуйте систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{x}$. Позначте графік його рівнянням.
2. Налаштуйте другу систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{−x}$. Позначте графік його рівнянням.
3. Налаштуйте третю систему координат і намалюйте графік$y =\sqrt{−(x + 3)}$. Позначте графік його рівнянням. Це графік$y =\sqrt{−x−3}$. Використовуйте інтервальне позначення для визначення домену та діапазону цієї функції.

Вправа$\PageIndex{23}$

Щоб намалювати графік функції$f(x) = \sqrt{−x−3}$, виконайте кожен з наступних кроків послідовно без допомоги калькулятора.

1. Налаштуйте систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{x}$. Позначте графік його рівнянням.
2. Налаштуйте другу систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{−x}$. Позначте графік його рівнянням.
3. Налаштуйте третю систему координат і намалюйте графік$y =\sqrt{−(x + 1)}$. Позначте графік його рівнянням. Це графік$y =\sqrt{−x−1}$. Використовуйте інтервальне позначення для визначення домену та діапазону цієї функції.

Відповідь

Спочатку побудуйте графік$y = \sqrt{x}$, як показано в (а). Потім замініть x на −x, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{−x}$. Це буде відображати графік$y = \sqrt{x}$ поперек осі y, як показано в (b). Нарешті, замініть x на x + 1, щоб отримати рівняння$y = \sqrt{−(x + 1)}$. Це змістить графік$y = \sqrt{−x}$ однієї одиниці вліво, як показано в (c).

Спроектуйте всі точки на графіку на вісь x, щоб визначити область: Domain =$(−\infty, −1]$. Спроектуйте всі точки на графіку на вісь y, щоб визначити діапазон: Range =$[0, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{24}$

Щоб намалювати графік функції$f(x) = \sqrt{1−x}$, виконайте послідовно кожен з наступних кроків.

1. Налаштуйте систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{x}$. Позначте графік його рівнянням.
2. Налаштуйте другу систему координат і намалюйте графік$y = \sqrt{−x}$. Позначте графік його рівнянням.
3. Налаштуйте третю систему координат і намалюйте графік$y =\sqrt{−(x−1)}$. Позначте графік його рівнянням. Це графік$y =\sqrt{1−x}$. Використовуйте інтервальне позначення для визначення домену та діапазону цієї функції.

У вправах 25 - 28 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Намалюйте графік заданої функції за допомогою графічного калькулятора. Скопіюйте зображення у вікні перегляду на домашній папір. Позначте та масштабуйте кожну вісь за допомогою xmin, xmax, ymin та ymax. Позначте свій графік його рівнянням. Використовуйте графік для визначення області функції і опису області з інтервальними позначеннями.
2. Використовуйте чисто алгебраїчний підхід для визначення області даної функції. Використовуйте інтервальне позначення, щоб визначити результат. Чи згоден він з графічним результатом з частини 1?

Вправа$\PageIndex{25}$

$f(x)= \sqrt{2x+7}$

Відповідь

Ми використовуємо графічний калькулятор для отримання наступного графіка$f(x)= \sqrt{2x+7}$

Ми оцінюємо, що домен буде складатися з усіх дійсних чисел праворуч приблизно − 3. 5. Щоб знайти алгебраїчне рішення, зверніть увагу, що ви не можете взяти квадратний корінь від'ємного числа. Значить, вираз під радикалом in$f(x)= \sqrt{2x+7}$ має бути більше або дорівнює нулю.

$2x + 7 \ge 0$

$2x \ge −7$

$x \ge −\frac{7}{2}$

Отже, домен є$[−\frac{7}{2}, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{26}$

$f(x)= \sqrt{7−2x}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$f(x)= \sqrt{12−4x}$

Відповідь

Ми використовуємо графічний калькулятор для отримання наступного графіка$f(x)= \sqrt{12−4x}$.

Ми вважаємо, що домен буде складатися з усіх дійсних чисел праворуч приблизно 3. Щоб знайти алгебраїчне рішення, зверніть увагу, що ви не можете взяти квадратний корінь від'ємного числа. Значить, вираз під радикалом in$f(x)= \sqrt{12−4x}$ має бути більше або дорівнює нулю.

$12−4x \ge 0$

$−4x \ge −12$

$x \le 3$

Отже, домен є$(−\infty, 3]$.

Вправа$\PageIndex{28}$

$f(x)= \sqrt{12+2x}$

У Вправах 29 - 40 знайти область даної функції алгебраїчно.

Вправа$\PageIndex{29}$

$f(x)= \sqrt{2x+9}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, 2x + 9 повинен бути більше або дорівнює нулю. Оскільки$2x + 9 \ge 0$ має на увазі$x \ge −\frac{9}{2}$, що домен є інтервалом$[−\frac{9}{2},\infty)$.

Вправа$\PageIndex{30}$

$f(x)=\sqrt{−3x+3}$

Вправа$\PageIndex{31}$

$f(x)=\sqrt{−8x−3}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, −8x−3 має бути більшим або рівним нулю. Оскільки$−8x−3 \ge 0$ має на увазі$x \le −\frac{3}{8}$, що домен є інтервалом$(−\infty, −\frac{3}{8}]$.

Вправа$\PageIndex{32}$

$f(x)=\sqrt{−3x+6}$

Вправа$\PageIndex{33}$

$f(x)=\sqrt{−6x−8}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, −6x−8 має бути більшим або рівним нулю. Оскільки$−6x−8 \ge 0$ має на увазі$x \le −\frac{4}{3}$, що домен є інтервалом$(−\infty, \frac{4}{3}]$.

Вправа$\PageIndex{34}$

$f(x)=\sqrt{8x−6}$

Вправа$\PageIndex{35}$

$f(x)=\sqrt{−7x+2}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, −7x+2 має бути більше або дорівнює нулю. Оскільки$−7x+2 \ge 0$ має на увазі$x \le \frac{2}{7}$, що домен є інтервалом$(−\infty, \frac{2}{7}]$.

Вправа$\PageIndex{36}$

$f(x)=\sqrt{8x−3}$

Вправа$\PageIndex{37}$

$f(x)=\sqrt{6x+3}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, 6х+3 повинен бути більше або дорівнює нулю. Оскільки$6x+3 \ge 0$ має на увазі$x \ge −\frac{1}{2}$, що домен є інтервалом$[−\frac{1}{2}, \infty)$.

Вправа$\PageIndex{38}$

$f(x)=\sqrt{x−5}$

Вправа$\PageIndex{39}$

$f(x)=\sqrt{−7x−8}$

Відповідь

Парний корінь від'ємного числа не визначається як дійсне число. Таким чином, −7x−8 має бути більшим або рівним нулю. Оскільки$−7x−8 \ge 0$ має на увазі$x \le −\frac{8}{7}$, що домен є інтервалом$(−\infty, −\frac{8}{7}]$

Вправа$\PageIndex{40}$

$f(x)=\sqrt{7x+8}$