4.4: Застосування лінійних систем

Цілі навчання

• Налаштуйте та вирішуйте програми, що включають відносини між числами.
• Налаштовуйте та вирішуйте додатки, що включають відсотки та гроші.
• Налаштуйте та вирішуйте проблеми суміші.
• Налаштуйте та вирішуйте проблеми рівномірного руху (задачі відстані).

Проблеми, пов'язані з відносинами між реальними числами

Тепер у нас є методи, необхідні для вирішення лінійних систем. З цієї причини ми більше не обмежуємося використанням однієї змінної при налаштуванні рівнянь, які моделюють додатки. Якщо перевести додаток в математичну установку за допомогою двох змінних, то нам потрібно сформувати лінійну систему з двома рівняннями.

Приклад$\PageIndex{1}$

Сума двох чисел є$40$ і їх різниця дорівнює$8$. Знайдіть цифри.

Рішення:

Визначте змінні:

$x$Дозволяти представляти одне з невідомих чисел.

$y$Дозволяти представляти інше невідоме число.

Налаштуйте рівняння:

При використанні двох змінних нам потрібно встановити два рівняння. Перша ключова фраза «сума двох чисел є$40$» перекладається наступним чином:

$x+y=40$

А друга ключова фраза, «різниця є»$8$, веде нас до другого рівняння:

$x-y=8$

Тому наша алгебраїчна установка складається з наступної системи:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=40 \\ x-y&=8 \end{aligned}\right.$

Вирішити :

Вирішити отриману систему ми можемо будь-яким методом на наш вибір. Тут ми вибираємо вирішити шляхом усунення. Додавання рівнянь разом усуває змінну$y$.

$\begin{aligned} x\color{red}{+y}&=40 \\ \underline{+\quad x\color{red}{-y}}&\underline{=8} \\ 2x&=48 \\ x&=24 \end{aligned}$

Після того, як ми маємо$x$, назад замінюємо, щоб знайти$y$.

$\begin{aligned} x+y&=40 \\ \color{OliveGreen}{24}\color{black}{+y}&=40 \\ 24+y\color{Cerulean}{-24}&=40\color{Cerulean}{-24} \\ y&=16 \end{aligned}$

Перевірка:

Сума двох чисел повинна бути$42$ і їх різниця$8$.

$\begin{aligned} 24+16&=40 \\ 24-16&=8 \end{aligned}$

Відповідь:

Два числа -$24$ і$16$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Сума$9$ разів більша кількість і в два рази менша$6$. Різниця$3$ разів більша і менша$7$. Знайдіть цифри.

Рішення:

Почніть з присвоєння змінних більшому і меншому числу.

$x$Дозволяти представляти більшу кількість.

$y$Дозволяти представляти меншу кількість.

Перше речення описує суму, а друге речення описує різницю.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Це призводить до наступної системи:

$\left\{\begin{aligned} 9x+2y&=6\\3x-y&=7 \end{aligned}\right.$

Вирішити за допомогою методу усунення. Друге рівняння множимо на$2$ і складаємо.

$\left\{\begin{aligned} 9x+2y&=6 \\ 3x-y&=7 \end{aligned}\right. \stackrel{\times 2}{\Rightarrow} \left\{\begin{aligned} 9x+2y&=6\\ 6x-2y&=14 \end{aligned}\right.$

$\begin{aligned} 9x\color{red}{+2y}&=6\\ \underline{+\quad 6x\color{red}{-2y}}&\underline{=14} \\ 15x&=20 \\ x&=\frac{20}{15} \\ x&=\frac{4}{3} \end{aligned}$

Назад замінник знайти$y$.

Відповідь:

Чим більше число$\frac{4}{3}$ і тим менше число$−3$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Сума двох чисел дорівнює$3$. Коли вдвічі менше число віднімається з$6$ разів, тим більший результат$22$. Знайдіть цифри.

Відповідь

Два числа -$−\frac{1}{2}$ і$\frac{7}{2}$.

Проблеми з відсотками та грошима

У цьому розділі проблеми з відсотками та грошима повинні здатися знайомими. Різниця полягає в тому, що ми будемо використовувати дві змінні при налаштуванні алгебраїчних рівнянь.

Приклад$\PageIndex{3}$

Рулон$32$ купюр містить лише $$5$ купюри та $$10$ купюри. Якщо значення рулону дорівнює $$220$, то скільки кожної купюри в рулоні?

Рішення:

Почніть з ідентифікації змінних.

$x$Дозволяти представляти кількість $$5$ купюр.

$y$Дозволяти представляти кількість $$10$ купюр.

При використанні двох змінних нам потрібно встановити два рівняння. Перше рівняння створюється з того, що є$32$ купюри.

$x+y=32$

Друге рівняння підсумовує значення кожної купюри: загальна величина дорівнює $$220$.

$$5\cdot x+$ $$10\cdot y=$ $$220$

Представте обидва рівняння як систему; це наша алгебраїчна установка.

$\left\{\begin{aligned} x+y&=32 \\ 5x+10y&=220 \end{aligned}\right.$

Тут ми вирішили вирішити шляхом ліквідації, хоча заміна працювала б так само добре. Усунути$x$ шляхом множення першого рівняння на$−5$.

Тепер складіть рівняння разом:

Після того$y$, як ми маємо, кількість $$10$ купюр, назад замінити, щоб знайти$x$.

$\begin{aligned} x+y&=32 \\ x+\color{OliveGreen}{12}&=32 \\ x+12\color{Cerulean}{-12}&=32\color{Cerulean}{-12} \\ x&=20 \end{aligned}$

Відповідь:

Є двадцять $$5$ купюр і дванадцять $$10$ купюр. Чек залишається на зчитувач.

Приклад$\PageIndex{4}$

Всього в два рахунки$6,300$ було вкладено $. Частина була інвестована в компакт-диск під$4\frac{1}{2}$% річної процентної ставки, а частина була вкладена в фонд грошового ринку під$3\frac{3}{4}$% річної процентної ставки. Якщо загальний простий відсоток за один рік склав $$267.75$, то скільки було вкладено в кожен рахунок?

Рішення:

Дозвольте$x$ представляти суму вкладеного в$4\frac{1}{2}$%$=4.5$%$=0.045$

Дозвольте$y$ представляти суму вкладеного в$3\frac{3}{4}$%$=3.75$%$=0.0375$

Загальна сума на обох рахунках може бути виражена у вигляді

$x+y=6,300$

Щоб встановити друге рівняння, використовуйте той факт, що сумарний відсоток склав $$267.75$. Нагадаємо, що відсотки за один рік - це процентна ставка в рази більше основної суми$(I=prt=pr⋅1=pr)$. Використовуйте це, щоб додати відсотки в обох облікових записах. Обов'язково використовуйте десяткові еквіваленти для процентних ставок, заданих у відсотках.

$\begin{array}{ccccc}{\color{Cerulean}{interest\:from\:the\:CD}}&{\color{Cerulean}{+}}&{\color{Cerulean}{interest\:from\:the\:fund}}&{\color{Cerulean}{=}}&{\color{Cerulean}{total\:interest}}\\{0.045x}&{+}&{0.375y}&{=}&{267.75} \end{array}$

Ці два рівняння разом утворюють наступну лінійну систему:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=6,300 \\ 0.045x+0.0375y&=267.75 \end{aligned}\right.$

Усунути$y$ шляхом множення першого рівняння на$−0.0375$.

$\left\{\begin{aligned} x+y&=6,300 \\ 0.045x+0.0375y&=267.75 \end{aligned}\right. \stackrel{\times (-0.0375)}{\Rightarrow} \left\{\begin{aligned} -0.0375x-0.0375y&=-236.25 \\ 0.045x+0.0375y&=267.75 \end{aligned}\right.$

Далі складіть рівняння разом, щоб усунути змінну$y$.

$\begin{aligned} -0.0375x\color{red}{-0.0375y}&=-236.25 \\ \underline{+\quad 0.045x\color{red}{+0.0375y}}&\underline{=267.75} \\ 0.0075x&=31.5 \\ \frac{0.0075x}{\color{Cerulean}{0.0075}}&=\frac{31.5}{\color{Cerulean}{0.0075}} \\ x&=4,200 \end{aligned}$

Замінник назад.

$\begin{aligned} x+y&=6,300 \\ \color{OliveGreen}{4,200}\color{black}{+y}&=6,300 \\ 4,200+y\color{Cerulean}{-4,200}&=6,300\color{Cerulean}{-4,200} \\ y&=2,100 \end{aligned}$

Відповідь:

$$4,200$ було інвестовано під$4\frac{1}{2}$%, а $$2,100$ було інвестовано під$3\frac{3}{4}$%

На даний момент ми повинні мати можливість вирішувати ці типи проблем двома способами: з однією змінною, а тепер з двома змінними. Налаштування проблем зі словами з двома змінними часто спрощує весь процес, особливо коли відносини між змінними не настільки зрозумілі.

Вправа$\PageIndex{2}$

У перший день дводенної зустрічі були придбані$10$ кави та$10$ пончики на загальну суму $$20.00$. Оскільки ніхто не пив каву і всі пончики були з'їдені, наступного дня були придбані лише$2$ кави та$14$ пончики на загальну суму $$13.00$. Скільки коштувала кожна кава і кожен пончик?

Відповідь

Кава: $$1.25$; пончик: $$0.75$

Проблеми сумішей

Проблеми з сумішшю часто включають відсоток і деяку загальну суму. Важливо розмежувати ці два типи величин. Наприклад, якщо проблема говорить про те, що ємність$20$ -унція заповнена$2$% сольовим (сольовим) розчином, то це означає, що ємність заповнюється сумішшю солі і води наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{1}$

	Відсоток	Сума
Сіль	$2$%$=0.02$	$0.02(20$унцій)$=0.4$ унцій
Вода	$98$%$=0.98$	$0.98(20$унцій)$=19.6$ унцій

Іншими словами, множимо відсоток на загальну суму, щоб отримати кількість кожної частини суміші.

Приклад$\PageIndex{5}$

$2$% сольовий розчин повинен бути об'єднаний і змішаний$5$ з% сольовим розчином для отримання$72$ унцій сольового розчину$2.5$%. Скільки потрібно кожного?

Рішення:

$x$Дозволяти представляти кількість необхідного сольового розчину$2$%.

$y$Дозволяти представляти кількість необхідного сольового розчину$5$%.

Загальна кількість сольового розчину, необхідного -$72$ унції. Це призводить до одного рівняння,

$x+y=72$

Друге рівняння додає кількість солі в правильних відсотках. Кількість солі отримують шляхом множення в процентному співвідношенні на кількість, де змінні$x$ і$y$ представляють кількості розчинів.

$\begin{array}{ccccc}{\color{Cerulean}{salt\:in2\%\:solution}}&{\color{Cerulean}{+}}&{\color{Cerulean}{salt\:in\:5\%\:solution}}&{\color{Cerulean}{=}}&{\color{Cerulean}{salt\:in\:the\:end\:solution}}\\{0.02x}&{+}&{0.05y}&{=}&{0.025(72)}\end{array}$

Вирішити.

$\left\{\begin{aligned} x+y&=72 \\ 0.02x+0.05y&=0.025(72) \end{aligned}\right. \stackrel{\times (-0.02)}{\Rightarrow} \left\{\begin{aligned} -0.02x-0.02y&=-1.44 \\ 0.02x+0.05y&=1.8 \end{aligned}\right.$

$\begin{aligned} \color{red}{-0.02x}\color{black}{-0.02y}&=-1.44 \\ \underline{+\quad\color{red}{0.02x}\color{black}{+0.05y}}&\underline{=1.8} \\ 0.03y&=0.36 \\ \frac{0.03y}{\color{Cerulean}{0.03}}&=\frac{0.36}{\color{Cerulean}{0.03}} \\ y&=12 \end{aligned}$

Замінник назад.

$\begin{aligned} x+y&=72 \\ x+\color{OliveGreen}{12}&=72 \\ x+12\color{Cerulean}{-12}&=72\color{Cerulean}{-12} \\ x&=60 \end{aligned}$

Відповідь:

Нам потрібні$60$ унції$2$% сольового розчину і$12$ унції$5$% сольового розчину.

Приклад$\PageIndex{6}$

$50$% спиртовий розчин змішують з$10$% спиртовим розчином для створення$8$ -унційної суміші з$32$% спиртового розчину. Скільки потрібно кожного?

Рішення:

$x$Дозволяти представляти кількість необхідного$50$% спиртового розчину.

$y$Дозволяти представляти кількість необхідного$10$% спиртового розчину.

Загальна кількість суміші повинна складати$8$ унції.

$x+y=8$

Друге рівняння додає кількість спирту з кожного розчину в правильних відсотках. Кількість алкоголю в кінцевому результаті$32$ становить%$8$ унцій, або$0.032(8)$.

$\begin{array}{ccccc}{\color{Cerulean}{alcohol\:in\:50\%\:solution}}&{\color{Cerulean}{+}}&{\color{Cerulean}{alcohol\:in\:10\%\:solution}}&{\color{Cerulean}{=}}&{\color{Cerulean}{alcohol\:in\:the\:end\:solution}}\\{0.50x}&{+}&{0.10y}&{=}&{0.32(8)}\end{array}$

Тепер ми можемо сформувати систему з двох лінійних рівнянь і двох змінних наступним чином:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=8 \\ 0.50x+0.10y&=0.32(8) \end{aligned}\right.$

У цьому прикладі помножте друге рівняння на,$100$ щоб усунути десяткові числа. Крім того, помножте перше рівняння на,$−10$ щоб вирівняти змінну$y$ для усунення.

$\begin{array}{c|c} {Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{\color{Cerulean}{-10}\color{black}{(x+y)=}\color{Cerulean}{-10}\color{black}{(8)}}&{\color{Cerulean}{100}\:\color{black}{0.50x+0.10y=}\color{Cerulean}{100}\color{black}{(0.32)(8)}}\\{-10x-10y=-80}&{50x+10y=256} \end{array}$

Отримуємо наступну еквівалентну систему:

Додайте рівняння, а потім вирішіть для$x$:

Замінник назад.

$\begin{aligned} x+y&=8 \\ \color{OliveGreen}{4.4}\color{black}{+y}&=8 \\ 4.4+y\color{Cerulean}{-4.4}&=8\color{Cerulean}{-4.4} \\ x&=3.6 \end{aligned}$

Відповідь:

Для отримання$8$ унцій спиртової суміші$32$% нам потрібно змішати$4.4$ унції$50$% спиртового розчину і$3.6$ унції$10$% розчину.

Вправа$\PageIndex{3}$

Концентрат антифризу$70$% змішують з водою для отримання$5$ галонної суміші, що містить$28$% антифризу. Скільки потрібно води і концентрату антифризу?

Відповідь

Нам потрібно змішати$3$ галони води з$2$ галонами концентрату антифризу.

Проблеми рівномірного руху (задачі відстані)

Нагадаємо, що пройдена відстань дорівнює середньому показнику часу, що пройшов з цією швидкістю,$D=r⋅t$.

Ці проблеми рівномірного руху зазвичай мають багато даних, тому це допомагає спочатку організувати ці дані в діаграмі, а потім налаштувати лінійну систему. У цьому розділі пропонується використовувати дві змінні.

Приклад$\PageIndex{7}$

Виконавчий проїхав загалом$8$ години і$1,930$ милі на машині та літаку. Під'їжджаючи до аеропорту на машині, вона набирала в середньому$60$ кілометри на годину. У повітрі літак в середньому становив$350$ милі на годину. Скільки часу їй знадобилося, щоб доїхати до аеропорту?

Рішення:

Нас просять знайти час, який потрібен їй, щоб доїхати до аеропорту; це вказує на те, що час - невідома кількість.

Нехай$x$ уявляють час, який знадобився, щоб доїхати до аеропорту.

Нехай$y$ уявляють собою час, проведений в повітрі.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Використовуйте формулу$D=r⋅t$, щоб заповнити невідомі відстані.

$\color{Cerulean}{Distance\:traveled\:in\:the\:car:}\quad\color{black}{D=r\cdot t=60\cdot x}$

$\color{Cerulean}{Distance\:traveled\:in\:the\:air:}\quad\color{black}{D=r\cdot t=350\cdot y}$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Стовпець відстані та стовпчик часу діаграми допомагають нам налаштувати наступну лінійну систему.

Малюнок$\PageIndex{4}$

$\left\{\begin{aligned} x+y&=8 &\color{Cerulean}{\leftarrow\:total\:time\:traveled} \\ 6-x+350y&=1,930 &\color{Cerulean}{\leftarrow\:total\:distance\:traveled} \end{aligned}\right.$

Вирішити.

Тепер назад замінюємо, щоб знайти час, який знадобився, щоб доїхати до аеропорту$x$:

$\begin{aligned} x+y&=8 \\ x+\color{OliveGreen}{5}&=8 \\ x&=3 \end{aligned}$

Відповідь:

Їй знадобилися$3$ години, щоб доїхати до аеропорту.

Не завжди так, що час - це невідома кількість. Уважно прочитайте проблему та визначте, що вас попросять знайти; це визначає ваші змінні.

Приклад$\PageIndex{8}$

Літаючи з вітром, літак проїжджав$1,365$ милі за$3$ годинами. Потім літак повернувся проти вітру і проїхав ще$870$ милі за$2$ години. Знайти швидкість літака і швидкість вітру.

Рішення:

Явної залежності між швидкістю літака і швидкістю вітру немає. З цієї причини використовуйте дві змінні наступним чином:

$x$Дозволяти представляти швидкість літака.

Нехай$w$ представляють швидкість вітру.

Використовуйте наступну діаграму, щоб упорядкувати дані:

Малюнок$\PageIndex{5}$

З вітром загальна швидкість літака становить$x+w$. Літаючи проти вітру, загальна швидкість дорівнює$x−w$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Використовуйте рядки діаграми разом з формулою$D=r⋅t$ для побудови лінійної системи, яка моделює цю задачу. Подбайте про те, щоб згрупувати величини, що представляють норму в дужках.

Малюнок$\PageIndex{7}$

$\left\{\begin{aligned} 1,365&=(x+w)\cdot 3 &\color{Cerulean}{\leftarrow\:distance\:traveled\:with\:the\:wind} \\ 870&=(x-w)\cdot 2 &\color{Cerulean}{\leftarrow\:distance\:traveled\:against\:the\:wind} \end{aligned}\right.$

Якщо розділити обидві сторони першого рівняння на$3$ і обидві сторони другого рівняння на$2$, то отримаємо наступну еквівалентну систему:

$\left\{\begin{aligned} 1,365&=(x+w)\cdot 3 \\ 870&=(x-w)\cdot 2 \end{aligned}\right. \begin{aligned} &\stackrel{\div 3}{\Rightarrow} \\ &\stackrel{\div 2}{\Rightarrow} \end{aligned} \left\{\begin{aligned} 455&=x+w \\ 435&=x-w \end{aligned}\right.$

$\begin{aligned} x\color{red}{+w}&=455 \\ \underline{+\quad x\color{red}{-w}}&\underline{=435} \\ 2x&=890 \\ \frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{890}{\color{Cerulean}{2}} \\ x&=455 \end{aligned}$

Замінник назад.

$\begin{aligned} x+w&=455 \\ \color{OliveGreen}{455}\color{black}{+w}&=455 \\ w&=10 \end{aligned}$

Відповідь:

Швидкість літака -$445$ милі на годину, а швидкість вітру -$10$ милі на годину.

Вправа$\PageIndex{4}$

Човен проїхав$24$ милі вниз за течією за$2$ годинами. Зворотна поїздка, яка була проти течії, зайняла в два рази більше часу. Які швидкості човна і течії?

Відповідь

Швидкість човна -$9$ милі на годину, а швидкість течії -$3$ милі на годину.

Ключові виноси

• Використовуйте дві змінні як засіб для спрощення алгебраїчної установки додатків, де зв'язок між невідомими незрозумілий.
• Уважно прочитайте проблему кілька разів. Якщо використовуються дві змінні, то пам'ятайте, що для вирішення задачі потрібно встановити два лінійних рівняння.
• Обов'язково відповісти на питання у формі пропозиції і включити правильні одиниці для відповіді.

Вправа$\PageIndex{5}$ Applications Involving Numbers

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

1. Сума двох цілих чисел дорівнює$54$ і їх різниця дорівнює$10$. Знайти цілі числа.
2. Сума двох цілих чисел дорівнює$50$ і їх різниця дорівнює$24$. Знайти цілі числа.
3. Сума двох натуральних чисел дорівнює$32$. Коли менше ціле число віднімається з подвоєного більшого, результат буде$40$. Знайдіть два цілих числа.
4. Сума двох натуральних чисел дорівнює$48$. Коли двічі менше ціле число віднімається від більшого, результат є$12$. Знайдіть два цілих числа.
5. Сума двох цілих чисел дорівнює$74$. Чим$26$ більше, ніж в два рази, тим менше. Знайдіть два цілих числа.
6. Сума двох цілих чисел дорівнює$45$. Чим більше$3$ менше, ніж в три рази, тим менше. Знайдіть два цілих числа.
7. Сума двох чисел дорівнює нулю. Коли$4$ раз менше число додається в$8$ рази більше, результат є$1$. Знайдіть два числа.
8. Сума більшого числа і$4$ разів меншого числа дорівнює$5$. Коли$8$ раз менше віднімається з удвічі більше, результат є$−2$. Знайдіть цифри.
9. Сума$12$ разів більша кількість і$11$ разів менше$−36$. Різниця$12$ разів більша і$7$ рази менша$36$. Знайдіть цифри.
10. Сума$4$ разів більша кількість і$3$ разів менше$7$. Різниця$8$ разів більша і$6$ рази менша$10$. Знайдіть цифри.

Відповідь

1. Цілими числами є$22$ і$32$.

3. Цілими числами є$8$ і$24$.

5. Цілими числами є$16$ і$58$.

7. Два числа -$−\frac{1}{4}$ і$\frac{1}{4}$.

9. Чим менше число$−4$ і тим більше$\frac{2}{3}$.

Вправа$\PageIndex{6}$ Interest and Money Problems

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

1. Доларів$7,000$ основної суми інвестується в два рахунки, один заробляє$3$% відсотків, а інший заробляє$7$% відсотків. Якщо сумарні відсотки за рік складають $$262$, то скільки вкладено в кожен рахунок?
2. Мері має загальну економію $$12,500$ на двох різних рахунках компакт-дисків. Один компакт-диск заробляє$4.4$% відсотків, а інший заробляє$3.2$% відсотків. Якщо її сумарний відсоток за рік становить $$463$, то скільки у неї на кожному CD-рахунку?
3. Sally $$1,800$ заощадження знаходиться на двох рахунках. Один рахунок заробляє$6$% річних відсотків, а інший заробляє$3$%. Її загальний відсоток за рік становить $$93$. Скільки у неї в кожному обліковому записі?
4. Джо має два ощадні рахунки на загальну суму $$4,500$. Один рахунок заробляє$3\frac{3}{4}$% річних відсотків, а інший заробляє$2\frac{5}{8}$%. Якщо його сумарний відсоток за рік становить $$141.75$, то скільки коштує на кожному рахунку?
5. Millicent$10,000$ інвестував $ на два рахунки. За рік вона заробляє на $$535$ більше відсотків зі свого$7$% пайового фонду, ніж зі свого$4$% CD. Скільки у неї в кожному обліковому записі?
6. Малий бізнес$85,000$ інвестував $ на два рахунки. Якщо рахунок заробляє$3$% річних відсотків заробляє $$825$ більше відсотків, ніж рахунок заробляє$4.5$% річних відсотків, то скільки вкладається в кожен рахунок?
7. Джеррі заробив в цілому $$284$ в простих відсотках з двох окремих рахунків. На рахунок, який заробляє$6$% відсотків, Джеррі вклав $$1,000$ більш ніж в два рази більше суми, яку він вклав в рахунок, заробляючи$4$%. Скільки він вклав в кожен рахунок?
8. Джеймс заробив загальну суму $$68.25$ в простих відсотках з двох окремих рахунків. На рахунок, який заробляє$2.6$% відсотків, Джеймс вклав половину стільки ж, скільки він зробив на іншому рахунку, який заробив$5.2$%. Скільки він вклав в кожен рахунок?
9. Касовий апарат містить$10$ купюри $ і $$20$ купюри загальною вартістю $$340$. Якщо є$23$ купюри загальні, то скільки кожного містить реєстр?
10. Джон зміг придбати піцу за $$10.80$ з чвертями і копійками. Якщо він використовує$60$ монети, щоб купити піцу, то скільки з них у нього було?
11. Денніс скосив сусідський газон для баночки з копійками і нікелями. Завершивши завдання, він порахував монети і виявив, що їх було$4$ менше, ніж в два рази більше копійок, ніж нікелів. Загальна вартість всіх монет - $$6.60$. Скільки у нього було кожної монети?
12. Дві сім'ї купили квитки на великий футбольний матч. Одна сім'я замовила$2$ дорослі квитки та$3$ дитячі квитки на загальну суму $$26.00$. Інша сім'я замовила$3$ дорослі квитки і$4$ дитячі квитки на загальну суму $$37.00$. Скільки коштував кожен дорослий квиток?
13. Двоє друзів знайшли сорочки та шорти у продажу на блошиному ринку. Один купив$5$ сорочки та$3$ шорти на загальну суму $$51.00$. Інший купив$3$ сорочки та$7$ шорти на загальну суму $$80.00$. Скільки коштувала кожна сорочка і кожна пара шортів?
14. У понеділок Джо купив$10$ чашки кави і$5$ пончики для свого офісу за ціною $$16.50$. Виявляється, пончики були більш популярними, ніж кава. Тому у вівторок він купив$5$ чашки кави і$10$ пончики на загальну суму $$14.25$. Скільки коштувала кожна чашка кави?

Відповідь

1. $$5,700$$3$ в% і $$1,300$ при$7$%

3. $$1,300$$6$ в% і $$500$ при$3$%

5. $$8,500$$7$ в% і $$1,500$ при$4$%

7. $$1,400$$4$ в% і $$3,800$ при$6$%

9. $12$десятки і$11$ двадцяті

11. $52$копійки і$28$ нікельси

13. Сорочки: $$4.50$; шорти: $$9.50$

Вправа$\PageIndex{7}$ Mixture Problems

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

1. $15$% розчин кислоти повинен бути змішаний з$25$% -ним розчином кислоти для отримання$12$ галонів$20$% розчину кислоти. Скільки потрібно кожного?
2. Один спиртовий розчин містить$12$% спирту, а інший містить$26$% спирту. Скільки з кожного слід змішати разом, щоб отримати$5$ галони$14.8$% спиртового розчину?
3. Медсестра бажає отримати$40$ унції сольового розчину$1.2$%. Скільки$1$% сольового розчину вона повинна змішати з$2$% сольовим розчином для досягнення бажаного результату?
4. Клієнт замовив$20$ фунти добрив, що містить$15$% азоту. Щоб заповнити замовлення замовника, скільки$30$ запасів азотних добрив потрібно змішати з$10$% азотних добрив?
5. Клієнт замовив$2$ фунти змішаного арахісового продукту, що містить$15$% кешью. Інвентар складається лише з двох сумішей, що містять$10$$30$% і% кешью. Скільки кожного типу потрібно змішати, щоб заповнити замовлення?
6. Скільки фунтів чистого арахісу потрібно поєднувати$20$ з% арахісовою сумішшю, щоб$10$ отримати фунти арахісової суміші$32$%?
7. Скільки чистячої рідини з$20$% вмістом спирту, необхідно змішати з водою, щоб отримати суміш$24$ -унція$10$ з% вмістом спирту?
8. Хімік бажає створити розчин$32$ -унція з вмістом кислоти$12$%. Він використовує два типи вихідних розчинів, один з вмістом кислоти$30$%, а інший з вмістом кислоти$10$%. Скільки кожного йому потрібно?
9. Концентрований миючий розчин, що містить$50$% аміаку, змішують з іншим розчином, що містить$10$% аміаку. Скільки з кожного змішується, щоб отримати$8$ унції формули очищення аміаку$32$%?
10. $50$% концентрат фруктового соку можна придбати оптом. Кращий смак досягається при змішуванні води з концентратом таким чином, щоб отримати$12$% суміші фруктових соків. Скільки води і концентрату потрібно для приготування фруктового напою$50$ -унція?
11. $75$% концентрат антифризу змішують з водою для отримання$6$ галонів$25$% розчину антифризу. Скільки потрібно води?
12. Чистий цукор повинен бути змішаний з фруктовим салатом, що містить$10$% цукру для отримання$48$ унцій салату, що містить$16$% цукру. Скільки потрібно чистого цукру?

Відповідь

1. $6$галонів кожного

3. $32$унції$1$% сольового розчину і$8$ унції$2$% сольового розчину

5. $1.5$фунти$10$ змішування% кешью та$0.5$ фунтів суміші кешью$30$%

7. $12$унцій чистячої рідини

9. $4.4$унції$50$% розчину аміаку і$3.6$ унції$10$% розчину аміаку

11. $4$галонів

Вправа$\PageIndex{8}$ Uniform Motion Problems

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

1. Літак в середньому$460$ милі на годину в поїздці з вітром за ним і$345$ милями на годину на зворотній поїздці проти вітру. Якщо загальна поїздка туди і назад зайняла$7$ години, то скільки часу літак витратив на кожен відрізок поїздки?
2. Дві ноги$330$ -милі поїздки зайняли$5$ години. Середня швидкість для першого етапу поїздки становила$70$ милі на годину, а середня швидкість для другого етапу поїздки склала$60$ милі на годину. Скільки часу займала кожна нога поїздки?
3. Виконавчий подорожував$1,200$ милями, частина на вертольоті і частина на приватному літаку. Реактивний літак в середньому$320$ милі на годину в той час як вертоліт в середньому$80$ милі на годину. Якщо загальна поїздка зайняла$4\frac{1}{2}$ години, то скільки часу вона провела в приватному літаку?
4. Джо взяв два автобуси на$463$ -мильну поїздку від Сан-Хосе до Сан-Дієго. Перший автобус усереднював$50$ милі на годину, а другий автобус зміг усереднити$64$ милі на годину. Якщо загальна поїздка зайняла$8$ години, то скільки часу було проведено в кожному автобусі?
5. Біллі катався на каное вниз за течією до загального магазину із середньою швидкістю$9$ миль на годину. Його середня швидкість катання на каное назад вгору за течією становила$4$ милі на годину. Якщо загальна поїздка зайняла$6\frac{1}{2}$ години, то скільки часу знадобилося Біллі, щоб повернутися в зворотну поїздку?
6. Два брати проїхали$2,793$ кілометри від Лос-Анджелеса до Нью-Йорка. Один з братів, проїжджаючи вдень, зміг скласти середні$70$ кілометри на годину, а інший, проїжджаючи вночі, зміг усереднити$53$ кілометри на годину. Якщо загальна поїздка зайняла$45$ години, то скільки годин керував кожен брат?
7. Човен проїхав$24$ милі вниз за течією за$2$ годинами. Поїздка назад зайняла в два рази більше часу. Якою була швидкість човна і течія?
8. Вертоліт, що летить з вітром, може проїхати$525$ милі за$5$ годинами. На зворотну поїздку, проти вітру, піде$7$ години. Які швидкості вертольота і вітру?
9. Човен може проїхати$42$ милі з течією нижче за течією за$3$ годинами. Повертаючись вгору за течією проти течії, човен може проїхати лише$33$ милі за$3$ годинами. Знайти швидкість струму.
10. Легкий літак, що летить з вітром, може проїхати$180$ милі за$1\frac{1}{2}$ годинами. Літак може пролетіти однакову відстань проти вітру за$2$ годинами. Знайти швидкість вітру.

Відповідь

1. Літак летів$3$ годинами з вітром і$4$ годинами проти вітру.

3. $3.5$годин

5. $4.5$годин

7. Човен:$9$ милі на годину; струм:$3$ милі на годину

9. $1.5$миль на годину

Вправа$\PageIndex{9}$ Discussion Board

1. Складіть числову або грошову задачу, яку можна вирішити за допомогою власної системи рівнянь і поділіться нею на дошці обговорень.
2. Складіть задачу суміші, яку можна вирішити за допомогою власної системи рівнянь і поділіться нею на дошці обговорень.
3. Складіть задачу рівномірного руху, яку можна вирішити за допомогою власної системи рівнянь і поділіться нею на дискусійній дошці

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися