4.3: Рішення лінійних систем шляхом ліквідації

Цілі навчання

• Вирішити лінійні системи за допомогою методу усунення.
• Розв'яжіть лінійні системи з дробами та десятковими числами.
• Визначте слабкі та сильні сторони кожного методу вирішення лінійних систем.

Метод ліквідації

У цьому розділі метою є розробка ще одного повністю алгебраїчного методу розв'язання системи лінійних рівнянь. Почнемо з визначення того, що означає складати рівняння разом. У наступному прикладі зверніть увагу, що якщо ми додамо вирази з обох сторін знака рівності, ми отримаємо ще один істинний твердження.

\(\begin{aligned} 2+3&=5 \\ \underline{+\quad 1+7}&\underline{=8} \\ 3+10&=13\\13&=13\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Це вірно в загальному: якщо\(A, B, C\), і\(D\) є алгебраїчними виразами, то ми маємо наступне властивість додавання рівнянь:

\[\text{If}\:A=B\:\text{and}\:C=D,\:\text{then}\:A+C=B+D.\]

Для системи

\(\left\{\begin{aligned} x+y&=5\\x-y&=1 \end{aligned}\right.\)

складаємо два рівняння разом:

\(\begin{aligned} x\color{red}{+y}&=5 \\ \underline{+\quad x\color{red}{-y}}&\underline{=1} \\ 2x&=6 \end{aligned}\)

Сума\(y\) і\(−y\) дорівнює нулю, і цей термін виключається. Це залишає нам лінійне рівняння з однією змінною, яку можна легко вирішити:

\(\begin{aligned}\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{6}{\color{Cerulean}{2}}\\x&=3 \end{aligned}\)

У цей момент у нас є\(x\) координата одночасного рішення, так що все, що залишилося зробити, це назад замінити знайти відповідне\(y\) -значення.

\(\begin{aligned} x+y&=5 \\ \color{OliveGreen}{3}\color{black}{+y}&=5 \\ y&=2 \end{aligned}\)

Звідси і рішення системи є\((3, 2)\). Цей процес описує метод усунення (або додавання) для розв'язання лінійних систем. Звичайно, змінна не завжди так легко усувається. Як правило, ми повинні знайти еквівалентну систему, застосовуючи властивість множення рівності до одного або обох рівнянь як засіб вирівнювання однієї зі змінних для усунення. Мета полягає в тому, щоб організувати, щоб або\(x\)\(y\) терміни, або терміни були протилежними, так що при додаванні рівнянь терміни усунути. Кроки для методу ліквідації викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned} 2x+y&=7 \\ 3x−2y& =−7\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Крок 1: Помножте одне або обидва рівняння, щоб налаштувати усунення однієї зі змінних. У цьому прикладі ми усунемо змінну\(y\) шляхом множення обох сторін першого рівняння на\(2\). Подбайте про розподіл.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{2}\color{black}{(2x+y)} &=\color{Cerulean}{2}\color{black}{(7)} \\ 4x+2y&=14 \end{aligned}\)

Це залишає нам еквівалентну систему, де змінна y вишикується для усунення.

Крок 2: Додайте рівняння разом, щоб усунути одну зі змінних.

\(\begin{aligned} 4x\color{red}{+2y}&=14 \\ \underline{+\quad 3x\color{red}{-2y}}&\underline{=-7} \\ 7x&=7 \end{aligned}\)

Крок 3: Вирішіть для змінної, що залишилася.

\(\begin{aligned} \frac{7x}{\color{Cerulean}{7}}&=\frac{7}{\color{Cerulean}{7}} \\ x&=1 \end{aligned}\)

Крок 3: Назад підставляємо або рівняння, або його еквівалентне рівняння.

\(\begin{aligned} 2x+y&=7 \\ 2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+y}&=7 \\ 2+y\color{Cerulean}{-2}&=7\color{Cerulean}{-2} \\ y&=5 \end{aligned}\)

Крок 4: Перевірте. Пам'ятайте, що рішення повинно вирішувати обидва вихідних рівняння.

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(1,5)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{2x+y=7}&{4x+2y=14}\\{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=7}}&{4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+2(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=14}}\\{2+5=7}&{4+10=14}\\{7=7\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{14=14\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

\((1,5)\)

Іноді нам доведеться помножити обидва рівняння, щоб вирівняти одну зі змінних для усунення. Ми хочемо, щоб отримані еквівалентні рівняння мали члени з протилежними коефіцієнтами.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned} 5x−3y&=−1\\3x+2y&=7\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Ми вирішили усунути терміни зі змінною y, оскільки коефіцієнти мають різні ознаки. Для цього спочатку визначаємо найменш загальне кратне коефіцієнтів; в даному випадку LCM\((3, 2)\) є\(6\). Тому помножте обидві сторони обох рівнянь на відповідні значення для отримання коефіцієнтів\(−6\) і\(6\).

\(\begin{array}{cl}{\color{Cerulean}{2}\color{black}{(5x-3y)=}\color{Cerulean}{2}\color{black}{(-1)}}&{\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:of\:the}}\\{}&{\color{Cerulean}{first\:equation\:by\:2.}}\\{10x-6y=-2}&{} \end{array}\)

\(\begin{array}{cl}{\color{Cerulean}{3}\color{black}{(3x+2y)=}\color{Cerulean}{3}\color{black}{(7)}}&{\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:of\:the}}\\{}&{\color{Cerulean}{second\:equation\:by\:3.}}\\{9x+6y=21}&{} \end{array}\)

Це призводить до наступної еквівалентної системи:

\(y\)Терміни тепер вишикувалися для усунення.

Замінник назад.

\(\begin{aligned} 3x+2y&=7\\3(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+2y}&=7 \\ 3+2y\color{Cerulean}{-3}&=7\color{Cerulean}{-3} \\ 2y&=4 \\ y&=2 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((1,2)\)

Іноді лінійні системи не наводяться в стандартному вигляді. Коли це так, найкраще спочатку переставити рівняння перед початком кроків, які потрібно вирішити шляхом усунення.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11\\3y&=4x+1\end{aligned}\right.\).

Рішення:

По-перше, перепишіть друге рівняння в стандартному вигляді.

\(\begin{aligned} 3y&=4x+1 \\ 3y\color{Cerulean}{-4x}&=4x+1\color{Cerulean}{-4x} \\ -4x+3y&=1 \end{aligned}\)

Це призводить до такої еквівалентної системи, де подібні терміни вирівнюються у стовпцях:

\(\left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11\\3y&=4x+1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11 \\ -4x+3y&=1 \end{aligned}\right.\)

Ми можемо усунути термін зі змінною,\(y\) якщо помножити друге рівняння на\(−4\).

Далі складаємо рівняння разом,

\(\begin{aligned} 5x\color{red}{12y}&=11 \\ \underline{+\quad 16x\color{red}{-12y}}&\underline{=-4} \\ 21x&=7 \\ \frac{21x}{\color{Cerulean}{21}}&=\frac{7}{\color{Cerulean}{21}} \\ x&=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

Замінник назад.

\(\begin{aligned} 3y&=4x+1\\ 3y&=4\left(\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}}\right) \color{black}{+1} \\ 3y&=\frac{4}{3}+\frac{3}{3} \\ 3y&=\frac{7}{3} \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{3}{\color{Cerulean}{3}} \\y&=\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{3} \\ y&=\frac{7}{9} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((\frac{1}{3},\frac{7}{9})\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned} 2x+y&=−3\\−3x−2y&=4\end{aligned}\right.\).

Відповідь

\((-2,1)\)

На цьому етапі ми досліджуємо, що відбувається при вирішенні залежних і непослідовних систем за допомогою методу елімінації.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned} 3x−y&=7\\6x−2y&=14\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Щоб усунути змінну\(x\), ми могли б помножити перше рівняння на\(−2\).

Тепер додаємо рівняння, які ми маємо

Істинне твердження вказує на те, що це залежна система. Лінії збігаються, і нам потрібно\(y\)\(x\) в плані представити набір рішення у вигляді\((x, mx+b)\). Виберіть одне з вихідних рівнянь і вирішіть для\(y\). Оскільки рівняння рівнозначні, не має значення, який з них ми виберемо.

Відповідь:

\((x, 3x-7)\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned}−x+3y&=9\\ 2x−6y&=12\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Ми можемо усунути\(x\), помноживши перше рівняння на\(2\).

\(\left\{\begin{aligned} -x+3y&=9 \\ 2x-6y&=12 \end{aligned}\right. \stackrel{\times 2}{\Rightarrow} \left\{\begin{aligned} -2x+6y&=18 \\ 2x-6y&=12 \end{aligned}\right.\)

Тепер додаємо рівняння, які ми маємо

\(\begin{aligned} -2x\color{red}{+6y}&=18 \\ \underline{2x\color{red}{-6y}}&\underline{=12} \\ 0&=30\quad\color{red}{False} \end{aligned}\)

Помилкове твердження говорить про те, що система непослідовна. Лінії паралельні і не перетинаються.

Відповідь:

Немає рішення,\(∅\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити шляхом ліквідації:

\(\left\{\begin{aligned}3x+15y&=−15\\2x+10y&=30\end{aligned}\right.\).

Відповідь

Немає рішення,\(∅\)

Очищення дробів і десяткових дробів

З огляду на лінійну систему, де рівняння мають дробові коефіцієнти, зазвичай краще очистити дроби перед початком методу елімінації.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(\left\{\begin{aligned} −\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y&=\frac{4}{5} \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y&=−\frac{2}{21}\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Нагадаємо, що ми можемо очистити дроби, множивши обидві сторони рівняння на найменш спільний знаменник (РК). Подбайте про розподіл, а потім спрощуйте.

\(\begin{array}{c|c}{Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{\color{Cerulean}{10}\color{black}{\left( -\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y \right)} \color{black}{=}\color{Cerulean}{10}\color{black}{\left(\color{black}{\frac{4}{5}} \right)}}&{\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(\frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y \right)=}\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(-\frac{2}{21} \right)}}\\{\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\left(-\frac{1}{10}x \right)+ }\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\frac{1}{2}y=}\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\frac{4}{5}}}&{\color{Cerulean}{21\cdot}\color{black}{\frac{1}{7}x+}\color{Cerulean}{21\cdot}\color{black}{\frac{1}{3}y=}\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(-\frac{2}{21} \right)}}\\{-x+5y=8}&{3x+7y=-2} \end{array}\)

Це призводить до еквівалентної системи, де рівняння мають цілочисельні коефіцієнти,

Вирішити за допомогою методу усунення.

\(\begin{aligned} \color{red}{-3x}\color{black}{+15y}&=24 \\ \underline{+\quad\color{red}{3x}\color{black}{+7y}}&\underline{=-2} \\ 22y&=22 \\ \frac{22y}{\color{Cerulean}{22}}&=\frac{22}{\color{Cerulean}{22}} \\ y&=1 \end{aligned}\)

Замінник назад.

Відповідь:

\((-3,1)\)

Ми можемо використовувати подібну техніку для очищення десяткових знаків перед вирішенням.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(\left\{\begin{aligned} 3x−0.6y&=−0.9\\−0.5x+0.12y&=0.16\end{aligned}\right.\).

Рішення:

Помножте кожне рівняння на найменшу потужність,\(10\) необхідну для отримання цілих коефіцієнтів. При цьому перше рівняння множимо на,\(10\) а друге рівняння на\(100\).

\(\begin{array}{c|c} {Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{\color{Cerulean}{10}\color{black}{(3x-0.6y)=}\color{Cerulean}{10}\color{black}{(-0.9)}}&{\color{Cerulean}{100}\color{black}{(-0.5x+0.12y)=}\color{Cerulean}{100}\color{black}{(0.16)}}\\{30x-6y=-9}&{-50x+12y=16} \end{array}\)

Це призводить до еквівалентної системи, де рівняння мають цілочисельні коефіцієнти:

Вирішити за допомогою методу усунення.

Замінник назад.

\(\begin{aligned} 3x-0.6y&=-0.9 \\ 3(\color{OliveGreen}{-0.2}\color{black}{)-0.6y}&=-0.9 \\ -0.6-0.6y\color{Cerulean}{+0.6}&=-0.9\color{Cerulean}{+0.6} \\ \frac{-0.6y}{\color{Cerulean}{-0.6}}&=\frac{-0.3}{\color{Cerulean}{-0.6}} \\ y&=0.5 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((-0.2,0.5)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити за допомогою усунення:

\(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{3}x−\frac{2}{3}y&=3\\ \frac{1}{3}x−\frac{1}{2}y&=\frac{8}{3} \end{aligned}\right.\)

Відповідь

\((5,-2)\)

Короткий зміст методів розв'язання лінійних систем

Розроблено три методи розв'язання лінійних систем двох рівнянь з двома змінними. У цьому розділі ми узагальнюємо сильні та слабкі сторони кожного методу.

Метод графіків корисний для розуміння того, що таке система рівнянь і як повинні виглядати рішення. Коли рівняння системи графуються на одному і тому ж наборі осей, ми бачимо, що рішення є точкою, де графіки перетинаються. Графік полегшується, коли рівняння знаходяться у формі перехоплення нахилу. Наприклад

\(\left\{\begin{aligned} y&=5x+15 \\ y&=-5x+5 \end{aligned}\right.\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Одночасне рішення\((−1, 10)\) відповідає точці перетину. Один недолік цього методу полягає в тому, що він дуже неточний. Коли координати розв'язку не є цілими числами, метод практично непридатний для використання. Якщо у нас є вибір, ми зазвичай уникаємо цього методу на користь більш точних алгебраїчних методів.

Метод заміщення, з іншого боку, є повністю алгебраїчним методом. Це вимагає від вас вирішити одну зі змінних і підставити результат в інше рівняння. Отримане рівняння має одну змінну, для якої можна вирішити.

Цей метод особливо корисний, коли в системі є змінна з коефіцієнтом\(1\). Наприклад

\(\left\{\begin{aligned} 10x+y&=20 \\ 7x+5y&=14 \end{aligned}\right. \quad\color{Cerulean}{Choose\:the\:substitution\:method.}\)

У цьому випадку легко вирішити для\(y\) першого рівняння, а потім підставити результат в інше рівняння. Один недолік цього методу полягає в тому, що він часто призводить до рівноцінних рівнянь з дробовими коефіцієнтами, з якими нудно працювати. Якщо коефіцієнта немає\(1\), то зазвичай краще всього вибрати метод усунення.

Метод елімінації - це повністю алгебраїчний метод, який використовує властивість додавання рівнянь. Ми множимо одне або обидва рівняння, щоб отримати еквівалентні рівняння, де одна зі змінних усувається, якщо скласти їх разом. Наприклад,

Тут ми помножимо обидві сторони першого рівняння на\(5\) і обидві сторони другого рівняння на\(−2\). Це призводить до еквівалентної системи, де змінна\(x\) усувається, коли ми додаємо рівняння разом. Звичайно, є й інші комбінації чисел, які досягають такого ж результату. Ми навіть могли б вибрати, щоб усунути змінну\(y\). Незалежно від того, яка змінна буде усунена першою, рішення буде однаковим. Відзначимо, що метод підстановки, в даному випадку, зажадає нудних розрахунків з дробовими коефіцієнтами. Однією слабкістю методу елімінації, як ми побачимо далі в нашому дослідженні алгебри, є те, що він не завжди працює для нелінійних систем.

Ключові винос

• Метод елімінації є повністю алгебраїчним методом розв'язання системи рівнянь.
• Помножте одне або обидва рівняння в системі на певні числа, щоб отримати еквівалентну систему, що складається з подібних членів з протилежними коефіцієнтами. Додавання цих еквівалентних рівнянь разом усуває змінну, а отримане рівняння має одну змінну, для якої ви можете вирішити.
• Хорошою практикою є спочатку переписати рівняння в стандартній формі перед початком методу елімінації.
• Коли значення однієї зі змінних визначено, назад підставляємо в одне з вихідних рівнянь, або їх еквівалентні рівняння, і визначаємо відповідне значення іншої змінної.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Elimination Method

Вирішити шляхом ліквідації.

1. \(\left\{\begin{aligned} x+y&=3\\2x−y&=9 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned}x−y&=−6\\5x+y&=−18\end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned}x+3y&=5\\−x−2y&=0\end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned}−x+4y&=4\\x−y&=−7\end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned}−x+y&=2\\x−y&=−3\end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned}3x−y&=−2\\6x+4y&=2\end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned}5x+2y&=−3\\10x−y&=4\end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned}−2x+14y&=28\\x−7y&=21\end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned}−2x+y&=4\\12x−6y&=−24 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned}x+8y&=3\\3x+12y&=6\end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=15\\4x+10y&=14\end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned}4x+3y&=−10\\3x−9y&=15\end{aligned}\right.\)
13. \(\left\{\begin{aligned}−4x−5y&=−3\\8x+3y&=−15\end{aligned}\right.\)
14. \(\left\{\begin{aligned}−2x+7y&=56\\4x−2y&=−112\end{aligned}\right.\)
15. \(\left\{\begin{aligned}−9x−15y&=−15\\3x+5y&=−10\end{aligned}\right.\)
16. \(\left\{\begin{aligned}6x−7y&=4\\2x+6y&=−7\end{aligned}\right.\)
17. \(\left\{\begin{aligned}4x+2y&=4\\−5x−3y&=−7\end{aligned}\right.\)
18. \(\left\{\begin{aligned}5x−3y&=−1\\3x+2y&=7\end{aligned}\right.\)
19. \(\left\{\begin{aligned}7x+3y&=9\\2x+5y&=−14\end{aligned}\right.\)
20. \(\left\{\begin{aligned}9x−3y&=3\\7x+2y&=−15\end{aligned}\right.\)
21. \(\left\{\begin{aligned}5x−3y&=−7\\−7x+6y&=11\end{aligned}\right.\)
22. \(\left\{\begin{aligned}2x+9y&=8\\3x+7y&=−1\end{aligned}\right.\)
23. \(\left\{\begin{aligned}2x+2y&=5\\3x+3y&=−5\end{aligned}\right.\)
24. \(\left\{\begin{aligned}−3x+6y&=−12\\2x−4y&=8\end{aligned}\right.\)
25. \(\left\{\begin{aligned}25x+15y&=−1\\15x+10y&=−1\end{aligned}\right.\)
26. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=2\\18x−12y&=5\end{aligned}\right.\)
27. \(\left\{\begin{aligned}y&=−2x−3\\−3x−2y&=4\end{aligned}\right.\)
28. \(\left\{\begin{aligned}28x+6y&=9\\6y&=4x−15\end{aligned}\right.\)
29. \(\left\{\begin{aligned}y&=5x+15\\y&=−5x+5\end{aligned}\right.\)
30. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=9\\5x−8y&=−16\end{aligned}\right.\)
31. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=\frac{1}{6} \\ \frac{5}{2}x+y&=\frac{7}{2}\end{aligned}\right.\)
32. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{4}x−\frac{1}{9}y&=1\\x+y&=\frac{3}{4}\end{aligned}\right.\)
33. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}y&=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y&=−\frac{19}{6}\end{aligned}\right.\)
34. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{14}{3}x+2y&=4\\−\frac{1}{3}x+\frac{1}{7}y&=\frac{4}{21}\end{aligned}\right.\)
35. \(\left\{\begin{aligned}0.025x+0.1y&=0.5\\ 0.11x+0.04y&=−0.2\end{aligned}\right.\)
36. \(\left\{\begin{aligned}1.3x+0.1y&=0.35\\0.5x+y&=−2.75\end{aligned}\right.\)
37. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=5\\ 0.02x+0.03y&=0.125\end{aligned}\right.\)
38. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=30\\0.05x+0.1y&=2.4\end{aligned}\right.\)

Відповідь

1. \((4, −1) \)

3. \((−10, 5) \)

5. \(∅\)

7. \((\frac{1}{5}, −2) \)

9. \((x, 2x+4) \)

11. \((6, −1) \)

13. \((−3, 3) \)

15. \(∅ \)

17. \((−1, 4) \)

19. \((3, −4) \)

21. \((−1, \frac{2}{3})\)

23. \(∅\)

25. \((\frac{1}{5}, −\frac{2}{5})\)

27. \((−2, 1) \)

29. \((−1, 10) \)

31. \((1, 1) \)

33. \((−2, −\frac{16}{3})\)

35. \((−4, 6) \)

37. \((2.5, 2.5)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Elimination Method

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте її за допомогою методу усунення.

1. Сума двох чисел дорівнює\(14\). Чим більше число\(1\) менше, ніж в два рази, тим менше.
2. Сума двох чисел дорівнює\(30\). Чим\(2\) більше, ніж в три рази, тим менше.
3. Різниця двох чисел є\(13\) і їх сума дорівнює\(11\).
4. Різниця двох чисел є\(2\) і їх сума дорівнює\(−12\).

Відповідь

1. Два числа -\(5\) і\(9\).

3. Два числа -\(12\) і\(−1\).

Вправа\(\PageIndex{6}\) Mixed Exercises

Вирішуйте за допомогою будь-якого методу.

1. \(\left\{\begin{aligned} y&=2x−3\\3x+y&=12 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} x+3y&=−5\\y&=13x+5 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned}x&=−1\\y&=3 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned}y&=1\\2x+9&=0 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned}y&=x\\−x+y&=1 \end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned}y&=5x\\y&=−10 \end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned}3y&=2x−24\\3x+4y&=2 \end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned}y&=−32x+1\\−2y+2&=3x \end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned}7y&=−2x−1\\7x&=2y+23 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned}5x+9y−14&=0\\3x+2y−5&=0 \end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned} y&=−\frac{5}{16}x+10& \\ y&=\frac{5}{16}x−10\end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{6}{5}x+1\\2x&=6 \end{aligned}\right.\)
13. \(\left\{\begin{aligned}2(x−3)+y&=0\\3(2x+y−1)&=15 \end{aligned}\right.\)
14. \(\left\{\begin{aligned}3−2(x−y)&=−3\\4x−3(y+1)&=8 \end{aligned}\right.\)
15. \(\left\{\begin{aligned}2(x+1)&=3(2y−1)−21 \\3(x+2)&=1−(3y−2) \end{aligned}\right.\)
16. \(\left\{\begin{aligned} \frac{x}{2}−\frac{y}{3}&=−7\\ \frac{x}{3}−\frac{y}{2}&=−8\end{aligned}\right.\)
17. \(\left\{\begin{aligned}\frac{x}{4}−\frac{y}{2}&=\frac{3}{4}\\ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=\frac{1}{6} \end{aligned}\right.\)
18. \(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{3}x−\frac{2}{3}y&=3 \\ \frac{1}{3}x−\frac{1}{2}y&=\frac{8}{3} \end{aligned}\right.\)
19. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y&=\frac{4}{5} \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y&=−\frac{2}{21} \end{aligned}\right.\)
20. \(\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{5}{3}x+\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y&=\frac{1}{10} \end{aligned}\right.\)
21. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{7}x+y&=−\frac{2}{3} \\ −\frac{1}{14}x+\frac{1}{2}y&=\frac{1}{3} \end{aligned}\right.\)
22. \(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{15}x−\frac{1}{12}y&=\frac{1}{3} \\ −\frac{3}{10}x+\frac{3}{8}y&=−\frac{3}{2} \end{aligned}\right.\)
23. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=4,200\\ 0.03x+0.0525y&=193.5 \end{aligned}\right.\)
24. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=350\\0.2x+0.1y&=52.5 \end{aligned}\right.\)
25. \(\left\{\begin{aligned}0.2x−0.05y&=0.43\\0.3x+0.1y&=−0.3 \end{aligned}\right.\)
26. \(\left\{\begin{aligned}0.1x+0.3y&=0.3\\0.05x−0.5y&=−0.63 \end{aligned}\right.\)
27. \(\left\{\begin{aligned}0.15x−0.25y&=−0.3\\−0.75x+1.25y&=−4 \end{aligned}\right.\)
28. \(\left\{\begin{aligned}−0.15x+1.25y&=0.4\\−0.03x+0.25y&=0.08\end{aligned}\right.\)

Відповідь

1. \((3, 3) \)

3. \((−1, 3) \)

5. \(Ø \)

7. \((6, −4) \)

9. \((3, −1) \)

11. \((32, 0) \)

13. \((x, −2x+6) \)

15. \((−4, 3) \)

17. \((1, −1) \)

19. \((−3, 1) \)

21. \(∅ \)

23. \((1,200, 3,000) \)

25. \((0.8, −5.4) \)

27. \(Ø\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. Як ми обираємо найкращий метод вирішення лінійної системи?
2. Що означає, щоб система була залежною? Як ми можемо визначити, чи залежить дана система?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися