4.2: Розв'язування лінійних систем шляхом заміщення

Цілі навчання

• Вирішити лінійні системи за допомогою методу заміщення.

Метод заміщення

У цьому розділі ми визначимо повністю алгебраїчну техніку розв'язання систем. Ідея полягає в тому, щоб вирішити одне рівняння для однієї зі змінних і підставити результат в інше рівняння. Після виконання цього кроку підстановки нам залишиться єдине рівняння з однією змінною, яке можна вирішити за допомогою алгебри. Це називається методом підстановки, а кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити шляхом підміни:

Рішення:

Крок 1: Вирішіть для будь-якої змінної в будь-якому рівнянні. Якщо ви виберете перше рівняння, ви можете виділити$y$ за один крок.

$\begin{aligned} 2x+y&=7\\2x+y\color{Cerulean}{-2x}&=7\color{Cerulean}{-2x} \\ y&=-2x+7 \end{aligned}$

Крок 2: Підставте вираз$−2x+7$ для$y$ змінної в інше рівняння.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Це залишає вам еквівалентне рівняння з однією змінною, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених до цього моменту.

Крок 3: Вирішіть для змінної, що залишилася. Щоб вирішити для$x$, спочатку розподіліть$−2$:

Крок 4: Назад підставляємо, щоб знайти значення іншої координати. $x= 1$Замініть будь-яке з вихідних рівнянь або їх еквівалентів. Зазвичай ми використовуємо еквівалентне рівняння, яке ми знайшли при виділенні змінної на кроці 1.

$\begin{aligned} y&=-2x+7\\&=-2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+7}\\&=-2+7\\&=5 \end{aligned}$

Рішення системи є$(1, 5)$. Обов'язково пред'явіть рішення у вигляді впорядкованої пари.

Крок 5: Перевірте. Переконайтеся, що ці координати вирішують обидва рівняння вихідної системи:

$\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(1,5)}$

$\begin{array}{c|c} {Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{2x+y=7}&{3x-2y=-7}\\{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=7}}&{3(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)-2(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=-7}}\\{2+5=7}&{3-10=-7}\\{7=7\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-7=-7\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

Графік цієї лінійної системи наступний:

Малюнок$\PageIndex{2}$

Метод заміщення для розв'язання систем є повністю алгебраїчним методом. Таким чином, графічне зображення ліній не потрібно.

Відповідь:

$(1, 5)$

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}2x−y&=1\\2x−y&=3\end{aligned}\right.$.

Рішення:

У цьому прикладі ми бачимо, що$x$ має коефіцієнт$1$ у другому рівнянні. Це говорить про те, що його можна виділити в один етап наступним чином:

$\begin{aligned} x-y&=3 \\ x-y\color{Cerulean}{+y}&=3\color{Cerulean}{+y} \\ x&=3+y \end{aligned}$

$\left\{\begin{aligned} 2\color{Cerulean}{x}\color{black}{-y}&=12 \\ x-y&=3 \Rightarrow \color{Cerulean}{x}\color{black}{=3+y} \end{aligned} \right.$

$3+y$Замініть$x$ в першому рівнянні. Використовуйте дужки і подбайте про розподіл.

$\begin{aligned} 2x-y&=12\\2(\color{OliveGreen}{3+y}\color{black}{)-y}&=12 \\6+2y-y&=12 \\6+y&=12 \\ 6+y\color{Cerulean}{-6}&=12\color{Cerulean}{-6}\\y&=6 \end{aligned}$

Використовуйте$x=3+y$ для пошуку$x$.

$\begin{aligned} x&=3+y\\&=3+\color{OliveGreen}{+6}\\&=9 \end{aligned}$

Відповідь:

$(9, 6)$. Чек залишається на зчитувач.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}3x−5y&=1\\7x&=−1\end{aligned}\right.$.

Рішення:

У цьому прикладі$x$ змінна вже ізольована. Отже, ми можемо$x=−1$ підставити в перше рівняння.

Відповідь:

$(−1, −4)$. Це хороша вправа для графіку цієї конкретної системи, щоб порівняти метод заміщення з методом графіки для розв'язування систем.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}3x+y&=4\\8x+2y&=10\end{aligned}\right.$.

Відповідь

$(1,1)$

Розв'язування систем алгебраїчно часто вимагає роботи з дробами.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}2x+8y&=5\\24x−4y&=−15\end{aligned}\right.$.

Рішення:

Почніть з вирішення for$x$ в першому рівнянні.

$\begin{aligned} 2x+8y&=5\\2x+8y\color{Cerulean}{-8y}&=5\color{Cerulean}{-8y} \\ \frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{-8y+5}{\color{Cerulean}{2}} \\ x&=\frac{-8y}{2}+\frac{5}{2} \\ x&=-4y+\frac{5}{2} \end{aligned}$

$\left\{\begin{aligned} 2x+8y&=5 \Rightarrow \color{Cerulean}{x}\color{black}{=-4y+\frac{5}{2}} \\ 24\color{Cerulean}{x}\color{black}{-4y}&=-15\end{aligned}\right.$

Далі підставляємо в друге рівняння і вирішуємо для$y$.

Назад підставляємо в рівняння, яке використовується на етапі підстановки:

$\begin{aligned} x&=-4y+\frac{5}{2} \\ &=-4\left(\color{OliveGreen}{\frac{3}{4}} \right)\color{black}{+\frac{5}{2}} \\ &=-3+\frac{5}{2} \\ &=-\frac{6}{2} + \frac{5}{2} \\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

Як ми знаємо, не всі лінійні системи мають лише одне впорядковане парне рішення. Нагадаємо, що деякі системи мають нескінченно багато упорядкованих парних рішень, а деякі не мають ніяких рішень. Далі ми вивчимо, що відбувається при використанні методу підстановки для вирішення залежної системи.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}−5x+y&=−1\\10x−2y&=2\end{aligned}\right.$.

Рішення:

Оскільки перше рівняння має термін з коефіцієнтом$1$, ми вирішуємо для цього спочатку.

Далі підставляємо цей вираз у for$y$ у другому рівнянні.

$\begin{aligned} 10x-2y&=2 \\ 10x-2(\color{OliveGreen}{5x-1}\color{black}{)}&=2 \\ 10x-10x+2&=2 \\ 2&=2 \quad\color{Cerulean}{True} \end{aligned}$

Цей процес призвів до істинного твердження; отже, рівняння є ідентичністю, а будь-яке дійсне число - це рішення. Це говорить про те, що система залежна. Одночасні рішення набувають вигляду$(x, mx + b)$, або в даному випадку$(x, 5x − 1)$, де$x$ знаходиться будь-яке дійсне число.

Відповідь:

$(x, 5x−1)$

Щоб краще зрозуміти попередній приклад, перепишіть обидва рівняння у формі нахилу-перехоплення і побудуйте їх на одному наборі осей.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Ми бачимо, що обидва рівняння представляють одну і ту ж лінію, і, таким чином, система залежить. Тепер вивчіть, що відбувається при вирішенні неузгодженої системи методом підстановки.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}−7x+3y&=3\\14x−6y&=−16\end{aligned}\right.$.

Рішення:

Вирішити для$y$ в першому рівнянні.

$\begin{aligned} -7x+3y&=3 \\ -7x+3y\color{Cerulean}{+7x}&=3\color{Cerulean}{+7x} \\3y&=7x+3 \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{7x+3}{\color{Cerulean}{3}}\\y&=\frac{7}{3}x+1 \end{aligned}$

$\left\{\begin{aligned} -7x+3y&=3 \Rightarrow \color{Cerulean}{y}\color{black}{=\frac{7}{3}x+1} \\ 14x-6\color{Cerulean}{y}&=-16\end{aligned}\right.$

Підставляємо в друге рівняння і вирішуємо.

Рішення призводить до помилкового твердження. Це говорить про те, що рівняння є протиріччям. Там немає рішення для$x$ і, отже, немає рішення для системи.

Відповідь:

Немає рішення,$Ø$

Помилкове твердження вказує на те, що система непослідовна, або в геометричному плані, що лінії паралельні і не перетинаються. Щоб проілюструвати це, визначте форму нахилу-перехоплення кожної лінії і намалюйте їх на одному і тому ж наборі осей.

Малюнок$\PageIndex{4}$

У формі нахилу перехоплення легко побачити, що дві лінії мають однаковий нахил, але різні$y$ -перехоплення.

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити шляхом підміни:

$\left\{\begin{aligned}2x−5y&=3\\4x−10y&=6\end{aligned}\right.$.

Відповідь

$(x, \frac{2}{5}x−\frac{3}{5})$

Ключові виноси

• Метод заміщення є повністю алгебраїчним методом розв'язання системи рівнянь.
• Метод підстановки вимагає, щоб ми розв'язали одну зі змінних, а потім підставляємо результат в інше рівняння. Після виконання кроку підстановки отримане рівняння має одну змінну і може бути вирішене за допомогою методів, вивчених до цього моменту.
• Коли значення однієї зі змінних визначено, поверніться назад і підставляйте його в одне з вихідних рівнянь, або їх еквівалентні рівняння, щоб визначити відповідне значення іншої змінної.
• Розв'язки систем двох лінійних рівнянь з двома змінними, якщо вони існують, є впорядкованими парами$(x, y)$.
• Якщо процес розв'язання системи рівнянь призводить до помилкового твердження, то система непослідовна і рішення немає,$Ø$.
• Якщо процес розв'язання системи рівнянь призводить до істинного твердження, то система залежна і існує нескінченно багато рішень, які можна виразити за допомогою форми$(x, mx + b)$.

Вправа$\PageIndex{3}$ Substitution Method

Вирішити шляхом підміни.

1. $\left\{\begin{aligned} y&=4x−1\\−3x+y&=1\end{aligned}\right.$
2. $\left\{\begin{aligned}y&=3x−8\\4x−y&=2 \end{aligned}\right.$
3. $\left\{\begin{aligned}x&=2y−3\\x+3y&=−8 \end{aligned}\right.$
4. $\left\{\begin{aligned}x&=−4y+12\\x+3y&=12 \end{aligned}\right.$
5. $\left\{\begin{aligned}y&=3x−5\\x+2y&=2 \end{aligned}\right.$
6. $\left\{\begin{aligned}y&=x\\2x+3y&=10 \end{aligned}\right.$
7. $\left\{\begin{aligned}y&=4x+1\\−4x+y&=2 \end{aligned}\right.$
8. $\left\{\begin{aligned}y&=−3x+5\\3x+y&=5 \end{aligned}\right.$
9. $\left\{\begin{aligned}y&=2x+3\\2x−y&=−3 \end{aligned}\right.$
10. $\left\{\begin{aligned}y&=5x−1\\x−2y&=5 \end{aligned}\right.$
11. $\left\{\begin{aligned}y&=−7x+1\\3x−y&=4 \end{aligned}\right.$
12. $\left\{\begin{aligned}x&=6y+2\\5x−2y&=0 \end{aligned}\right.$
13. $\left\{\begin{aligned}y&=−2−2x\\−y&=−6 \end{aligned}\right.$
14. $\left\{\begin{aligned}x&=−3x−4\\y&=−3 \end{aligned}\right.$
15. $\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{1}{5}x+\frac{3}{7}\\x−5y&=9 \end{aligned}\right.$
16. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{3}x−\frac{1}{6}\\x−9y&=0 \end{aligned}\right.$
17. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\\x−6y&=4 \end{aligned}\right.$
18. $\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}\\2x+4y&=1 \end{aligned}\right.$
19. $\left\{\begin{aligned}x+y&=6\\2x+3y=\frac{1}{6} \end{aligned}\right.$
20. $\left\{\begin{aligned}x−y&=3\\−2x+3y&=−2 \end{aligned}\right.$
21. $\left\{\begin{aligned}2x+y&=2\\3x−2y&=\frac{1}{7} \end{aligned}\right.$
22. $\left\{\begin{aligned}x−3y&=−\frac{1}{13}\\x+5y&=−5 \end{aligned}\right.$
23. $\left\{\begin{aligned}x+2y&=−3\\3x−4y&=−2 \end{aligned}\right.$
24. $\left\{\begin{aligned}5x−y&=12\\9x−y&=10 \end{aligned}\right.$
25. $\left\{\begin{aligned}x+2y&=−6\\−4x−8y&=24 \end{aligned}\right.$
26. $\left\{\begin{aligned}x+3y&=−6\\−2x−6y&=−12 \end{aligned}\right.$
27. $\left\{\begin{aligned}−3x+y&=−4\\6x−2y&=−2 \end{aligned}\right.$
28. $\left\{\begin{aligned}x−5y&=−10\\2x−10y&=−20 \end{aligned}\right.$
29. $\left\{\begin{aligned}3x−y&=9\\4x+3y&=−1 \end{aligned}\right.$
30. $\left\{\begin{aligned}2x−y&=5\\4x+2y&=−2 \end{aligned}\right.$
31. $\left\{\begin{aligned}−x+4y&=0\\2x−5y&=−6 \end{aligned}\right.$
32. $\left\{\begin{aligned}3y−x&=5\\5x+2y&=−8 \end{aligned}\right.$
33. $\left\{\begin{aligned}2x−5y&=1\\4x+10y&=2 \end{aligned}\right.$
34. $\left\{\begin{aligned}3x−7y&=−3\\6x+14y&=0 \end{aligned}\right.$
35. $\left\{\begin{aligned}10x−y&=3\\−5x+12y&=1 \end{aligned}\right.$
36. $\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y&=\frac{2}{3}\\ \frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=−\frac{3}{2} \end{aligned}\right.$
37. $\left\{\begin{aligned}\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y&=1 \\ \frac{1}{4}x−\frac{1}{3}y&=−\frac{1}{12} \end{aligned}\right.$
38. $\left\{\begin{aligned}\frac{1}{7}x−y&=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y&=2 \end{aligned}\right.$
39. $\left\{\begin{aligned}−\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}y&=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}x−\frac{1}{12}y&=−\frac{1}{3} \end{aligned}\right.$
40. $\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x&=\frac{2}{3}y\\x−\frac{2}{3}y&=2 \end{aligned}\right.$
41. $\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y&=\frac{5}{8} \\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y&=\frac{1}{4} \end{aligned}\right.$
42. $\left\{\begin{aligned}x−y&=0\\−x+2y&=3 \end{aligned}\right.$
43. $\left\{\begin{aligned}y&=3x\\2x−3y&=0 \end{aligned}\right.$
44. $\left\{\begin{aligned}2x+3y&=18\\−6x+3y&=−6 \end{aligned}\right.$
45. $\left\{\begin{aligned}−3x+4y&=20\\ 2x+8y&=8 \end{aligned}\right.$
46. $\left\{\begin{aligned}5x−3y&=−1\\ 3x+2y&=7 \end{aligned}\right.$
47. $\left\{\begin{aligned}−3x+7y&=2\\ 2x+7y&=1 \end{aligned}\right.$
48. $\left\{\begin{aligned}y&=3\\y&=−3 \end{aligned}\right.$
49. $\left\{\begin{aligned}x&=5\\x&=−2 \end{aligned}\right.$
50. $\left\{\begin{aligned}y&=4\\y&=4\end{aligned}\right.$

Відповідь

1. $(2, 7)$

3. $(−5, −1)$

5. $(2, 6)$

7. $∅$

9. $(x, 2x+3)$

11. $(\frac{1}{2}, −\frac{5}{2})$

13. $(4, −2)$

15. $(3, \frac{12}{5})$

17. $(−3, −\frac{7}{6})$

19. $(2, 4)$

21. $(3, −4)$

23. $(−\frac{8}{5}, −\frac{7}{10})$

25. $(x, −\frac{1}{2}x−3)$

27. $∅$

29. $(2, −3)$

31. $(−8, −2)$

33. $(\frac{1}{2}, 0)$

35. $∅$

37. $(1, 1)$

39. $(−\frac{11}{10}, −\frac{2}{5})$

41. $(−\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

43. $(0, 0)$

45. $(−4, 2)$

47. $(−\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$

49. $∅$

Вправа$\PageIndex{4}$ Substitution Method

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте її за допомогою методу підстановки.

1. Сума двох чисел дорівнює$19$. Чим більше число$1$ менше, ніж в три рази, тим менше.
2. Сума двох чисел дорівнює$15$. Чим$3$ більше в два рази менше.
3. Різниця двох чисел є$7$ і їх сума дорівнює$1$.
4. Різниця двох чисел є$3$ і їх сума дорівнює$−7$.
5. Де на графіку$−5x+3y=30$$x$ -координата дорівнює$y$ -координаті?
6. Де на графіку$\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=1$$x$ -координата дорівнює$y$ -координаті?

Відповідь

1. Два числа -$5$ і$14$.

3. Два числа -$4$ і$−3$.

5. $(−\frac{1}{5}, −\frac{1}{5})$

Вправа$\PageIndex{5}$ Discussion Board Topics

1. Опишіть, що призводить до вибору змінної для вирішення при початку процесу розв'язання шляхом підстановки.
2. Обговоріть переваги і недоліки методу заміщення.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися