Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.E: Розв'язування рівнянь та нерівностей (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58360

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Вирішити шляхом вилучення коренів.

    1. \(x^{2}-81=0\)
    2. \(y^{2}-\frac{1}{4}=0\)
    3. \(9 x^{2}-8=0\)
    4. \(5 x^{2}-12=0\)
    5. \(2 y^{2}-7=0\)
    6. \(3 y^{2}-6=0\)
    7. \((2 x-3)^{2}-16=0\)
    8. \(4(x-1)^{2}-5=0\)
    9. \(9(x-3)^{2}+4=0\)
    10. \(5(2 x+1)^{2}+1=0\)
    11. \(2 x^{2}+10=0\)
    12. \(x^{2}+64=0\)
    13. Висота в футах об'єкта, скинутого з\(20\) драбини -фут, задається тим,\(h (t) = −16t^{2} + 20\) де\(t\) представляє час у секундах після того, як об'єкт був скинутий. Скільки часу потрібно об'єкту, щоб потрапити на землю після того, як він був скинутий? Округлити до найближчої десятої частки секунди.
    14. А\(20\) -ножна сходи, притулившись до будівлі, досягає висоти\(19\) ніг. Як далеко знаходиться підстава сходів від стіни? Округлити до найближчої десятої частини фута.
    Відповідь

    1. \(\pm 9\)

    3. \(\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

    5. \(\pm \frac{\sqrt{14}}{2}\)

    7. \(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\)

    9. \(3\pm \frac{2}{3} i\)

    11. \(\pm i \sqrt{5}\)

    13. \(1.1\)секунд

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Вирішіть, заповнивши квадрат.

    1. \(x^{2}+4 x-5=0\)
    2. \(x^{2}+2 x-17=0\)
    3. \(x^{2}-4 x+1=0\)
    4. \(x^{2}-6 x-2=0\)
    5. \(x^{2}-3 x-1=0\)
    6. \(x^{2}+5 x-6=0\)
    7. \(x^{2}+x-2=0\)
    8. \(x^{2}-x-4=0\)
    9. \(5 x^{2}-10 x+1=0\)
    10. \(4 x^{2}+8 x-3=0\)
    11. \(2 x^{2}-6 x+1=0\)
    12. \(3 x^{2}+10 x+6=0\)
    13. \(x^{2}-x+3=0\)
    14. \(2 x^{2}+6 x+5=0\)
    15. \(x(x+9)+10=5 x+2\)
    16. \((2 x+5)(x+2)=8 x+7\)
    Відповідь

    1. \(-5,1\)

    3. \(2\pm \sqrt{3}\)

    5. \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

    7. \(-2,1\)

    9. \(\frac{5 \pm 2 \sqrt{5}}{5}\)

    11. \(\frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)

    13. \(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i\)

    15. \(-2 \pm 2 i\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Вирішіть за допомогою квадратичної формули.

    1. \(2 x^{2}-x-6=0\)
    2. \(3 x^{2}+x-4=0\)
    3. \(9 x^{2}+12 x+2=0\)
    4. \(25 x^{2}-10 x-1=0\)
    5. \(-x^{2}+8 x-2=0\)
    6. \(-x^{2}-x+1=0\)
    7. \(5-2 x-x^{2}=0\)
    8. \(2+4 x-3 x^{2}=0\)
    9. \(3 x^{2}-2 x+4=0\)
    10. \(7 x^{2}-x+1=0\)
    11. \(-x^{2}+2 x-6=0\)
    12. \(-3 x^{2}+4 x-2=0\)
    13. \(36 x^{2}+60 x+25=0\)
    14. \(72 x^{2}+54 x-35=0\)
    15. \(1.3 x^{2}-2.8 x-4.2=0\)
    16. \(5.5 x^{2}-4.1 x+2.2=0\)
    17. \((x+2)^{2}-3 x=4\)
    18. \((3 x+1)^{2}-6=6 x-3\)
    19. Висота в футах бейсболу кинутий вгору зі швидкістю\(48\) футів в секунду від землі задається функцією\(h (t) = −16t^{2} + 48t\), де\(t\) представляє час у секундах після того, як м'яч кидається. В який час бейсбол досягає висоти\(18\) ніг? Округлити до найближчої сотої частки секунди.
    20. Висота в ногах, досягнута модельною ракетою, запущеною з платформи\(3\) -foot, задається функцією,\(h(t) = −16t^{2} + 256t + 3\) де\(t\) представляє час у секундах після запуску. У який час ракета досягне\(1,000\) ніг? Округлите до найближчої десятої частки секунди.
    Відповідь

    1. \(-\frac{3}{2}, 2\)

    3. \(\frac{-2 \pm \sqrt{2}}{3}\)

    5. \(4\pm \sqrt{14}\)

    7. \(-1 \pm \sqrt{6}\)

    9. \(\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{11}}{3} i\)

    11. \(1\pm i \sqrt{5}\)

    13. \(-\frac{5}{6}\)

    15. \(x \approx-1.0, x \approx 3.2\)

    17. \(-1,0\)

    19. М'яч досягне\(18\) ніг за\(0.44\) секунди і знову в\(2.56\) секундах.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Використовуйте дискримінант для визначення кількості та типу розв'язків.

    1. \(-x^{2}+6 x+1=0\)
    2. \(-x^{2}+x-3=0\)
    3. \(4 x^{2}-4 x+1=0\)
    4. \(16 x^{2}-9=0\)
    Відповідь

    1. Два нераціональних рішення

    3. Одне раціональне рішення

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Вирішуйте за допомогою будь-якого методу.

    1. \(x^{2}-4 x-96=0\)
    2. \(25 x^{2}+x=0\)
    3. \(25 t^{2}-1=0\)
    4. \(t^{2}+25=0\)
    5. \(y^{2}-y-7=0\)
    6. \(5 y^{2}-25 y=0\)
    7. \(2 x^{2}-9=0\)
    8. \(25 x^{2}-10 x+1=0\)
    9. \((2 x+5)^{2}-9=0\)
    10. \((x-2)(x-5)=5\)
    11. Довжина прямокутника в\(3\) дюймах менше, ніж в два рази більше ширини. Якщо площа прямокутника вимірює\(30\) квадратні дюйми, то знайдіть розміри прямокутника. Округлити до найближчої сотої частки дюйма.
    12. Значення в доларах нового автомобіля моделюється функцією,\(V (t) = 125t^{2} − 2,500t + 18,000\) де\(t\) представляє кількість років з моменту його придбання. Визначте вік автомобіля, коли його вартість дорівнює $\(18,000\).
    Відповідь

    1. \(-8,12\)

    3. \(\pm \frac{1}{5}\)

    5. \(\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\)

    7. \(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}\)

    9. \(-4,-1\)

    11. Довжина:\(6.38\) дюйми; ширина:\(4.69\) дюйми

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайти всі рішення.

    1. \(x^{4}-16 x^{2}+48=0\)
    2. \(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}-20=0\)
    3. \(x^{-2}-5 x^{-1}-50=0\)
    4. \(\left(\frac{t+3}{t}\right)^{2}+11\left(\frac{t+3}{t}\right)-12=0\)
    5. \(x+2 \sqrt{x}-24=0\)
    6. \(2 x^{1 / 2}-3 x^{1 / 4}+1=0\)
    7. \(4\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}-4\left(\frac{1}{x+1}\right)-3=0\)
    8. \(5 t^{-2}-27 t^{-1}-18=0\)
    9. \(3 x^{2 / 3}-5 x^{1 / 3}+2=0\)
    10. \(4 x+4 \sqrt{x}+1=0\)
    11. \(16 y^{4}-25=0\)
    12. \(x^{-2}-64=0\)
    Відповідь

    1. \(\pm 2, \pm 2 \sqrt{3}\)

    3. \(-\frac{1}{5}, \frac{1}{10}\)

    5. \(16\)

    7. \(-3,-\frac{1}{3}\)

    9. \(1, \frac{8}{27}\)

    11. \(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, \pm \frac{\sqrt{5}}{2} i\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть набір всіх коренів.

    1. \(f(x)=x^{2}-50\)
    2. \(f(x)=x^{3}-64\)
    3. \(f(x)=x^{4}-81\)
    4. \(f(x)=x^{4}+8 x\)
    Відповідь

    1. \(\{\pm 5 \sqrt{2}\}\)

    3. \(\{\pm 3, \pm 3 i\}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами та заданою множиною розв'язків.

    1. \(\left\{\frac{4}{3},-\frac{1}{2}\right\}\)
    2. \(\{\pm \sqrt{5}\}\)
    3. \(\{\pm 4 \sqrt{2}\}\)
    4. \(\{\pm 6 i\}\)
    5. \(\{2 \pm i\}\)
    6. \(\{3 \pm \sqrt{5}\}\)
    Відповідь

    1. \(6 x^{2}-5 x-4=0\)

    3. \(x^{2}-32=0\)

    5. \(x^{2}-4 x+5=0\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Визначте\(x\) - і\(y\) -перехоплює.

    1. \(y=2 x^{2}+5 x-12\)
    2. \(y=x^{2}-18\)
    3. \(y=x^{2}+4 x+7\)
    4. \(y=-9 x^{2}+12 x-4\)
    Відповідь

    1. \(x\)-перехоплює:\((−4, 0), ( \frac{3}{2} , 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −12)\)

    3. \(x\)-перехоплює: немає;\(y\) -перехоплення:\((0, 7)\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть вершину і лінію симетрії.

    1. \(y=x^{2}-4 x-12\)
    2. \(y=-x^{2}+8 x-1\)
    3. \(y=x^{2}+3 x-1\)
    4. \(y=4 x^{2}-1\)
    Відповідь

    1. Вершина:\((2, −16)\); лінія симетрії:\(x = 2\)

    3. Вершина:\((−\frac{3}{2} , −\frac{13}{4} )\); лінія симетрії:\(x = −\frac{3}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Графік. Знайдіть вершину і\(y\) -перехоплення. Крім того, знайдіть\(x\) -перехоплення, якщо вони існують.

    1. \(y=x^{2}+8 x+12\)
    2. \(y=-x^{2}-6 x+7\)
    3. \(y=-2 x^{2}-4\)
    4. \(y=x^{2}+4 x\)
    5. \(y=4 x^{2}-4 x+1\)
    6. \(y=-2 x^{2}\)
    7. \(y=-2 x^{2}+8 x-7\)
    8. \(y=3 x^{2}-1\)
    Відповідь

    1.

    Малюнок 6.E.1

    3.

    Малюнок 6.E.2

    5.

    Малюнок 6.E.3

    7.

    Малюнок 6.E.4

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Визначте максимальне або мінімальне\(y\) -значення.

    1. \(y=x^{2}-10 x+1\)
    2. \(y=-x^{2}+10 x-1\)
    3. \(y=-3 x^{2}+2 x-1\)
    4. \(y=2 x^{2}-x+2\)
    Відповідь

    1. Мінімум:\(y = −24\)

    3. Максимум:\(y = −\frac{2}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Перепишіть у вигляді вершин\(y = a(x − h)^{2} + k\) і визначте вершину.

    1. \(y=x^{2}-6 x+13\)
    2. \(y=x^{2}+10 x+24\)
    3. \(y=2 x^{2}-4 x-1\)
    4. \(y=-x^{2}-8 x-11\)
    Відповідь

    1. \(y=(x-3)^{2}+4\); вершина:\((3,4)\)

    3. \(y=2(x-1)^{2}-3\); вершина:\((1,-3)\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Графік. Знайдіть вершину і\(y\) -перехоплення. Крім того, знайдіть\(x\) -перехоплення, якщо вони існують.

    1. \(f(x)=(x-4)^{2}-2\)
    2. \(f(x)=-(x+6)^{2}+4\)
    3. \(f(x)=-x^{2}+10\)
    4. \(f(x)=(x+10)^{2}-20\)
    5. \(f(x)=2(x-1)^{2}-3\)
    6. \(f(x)=-3(x+1)^{2}-2\)
    7. Значення в доларах нового автомобіля моделюється за тим,\(V (t) = 125t^{2} − 3,000t + 22,000\) де\(t\) представляє кількість років з моменту його придбання. Визначте вік автомобіля, коли його вартість буде мінімальною.
    8. Висота в футах бейсболу кинутий вгору зі швидкістю\(48\) футів в секунду від землі задається функцією\(h (t) = −16t^{2} + 32t\), де\(t\) представляє час у секундах після того, як він кидається. Яка максимальна висота бейсболу?
    9. Прямокутна площа в квадратних футах, які можуть бути укладені\(200\) ногами огорожі задається\(A (w) = w (100 − w)\) де\(w\) представляє ширину прямокутної області в футах. Які розміри дозволять максимізувати площу, яку можна закрити?
    10. Виробнича компанія виявила, що виробничі витрати в тисячах доларів моделюються\(C (x) = 0.4x^{2} − 72x + 8,050\) тим, де\(x\) представляє кількість працівників. Визначте кількість працівників, що дозволить мінімізувати виробничі витрати.
    Відповідь

    1.

    Малюнок 6.Е.5

    3.

    Малюнок 6.E.6

    5.

    Малюнок 6.E.7

    7. Автомобіль матиме мінімальне значення\(12\) years after it is purchased.

    9. Довжина:\(50\) feet; width: \(50\) feet

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Вирішити. Представте відповіді за допомогою інтервальних позначень.

    1. \(-2(x-1)(x+3)<0\)
    2. \(x^{2}+2 x-35<0\)
    3. \(x^{2}-6 x-16 \leq 0\)
    4. \(x^{2}+14 x+40 \geq 0\)
    5. \(x^{2}-10 x-24>0\)
    6. \(36-x^{2}>0\)
    7. \(1-9 x^{2}<0\)
    8. \(8 x-12 x^{2} \leq 0\)
    9. \(5 x^{2}+3 \leq 0\)
    10. \(x^{2}-28 \geq 0\)
    11. \(9 x^{2}-30 x+25 \leq 0\)
    12. \(x^{2}-8 x+18>0\)
    13. \(x^{2}-2 x-4<0\)
    14. \(-x^{2}+3 x+18>0\)
    Відповідь

    1. \((-\infty,-3) \cup(1, \infty)\)

    3. \([-2,8]\)

    5. \((-\infty,-2) \cup(12, \infty)\)

    7. \(\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3}, \infty\right)\)

    9. \(\varnothing\)

    11. \(\frac{5}{3}\)

    13. \((1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Знайдіть домен функції.

    1. \(f(x)=\sqrt{x^{2}-100}\)
    2. \(f(x)=\sqrt{3 x-6 x^{2}}\)
    3. \(g(x)=\sqrt{3 x^{2}+9}\)
    4. \(g(x)=\sqrt{8+2 x-x^{2}}\)
    Відповідь

    1. \((-\infty,-10] \cup[10, \infty)\)

    3. \((-\infty, \infty)\)

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Вирішити. Представте відповіді за допомогою інтервальних позначень.

    1. \(x(x-5)(x+2)>0\)
    2. \((x+4)^{2}(x-3)<0\)
    3. \(x^{2}(x+3) \geq 0\)
    4. \(x(x-1)^{2} \leq 0\)
    5. \(x^{3}+4 x^{2}-9 x-36>0\)
    6. \(2 x(4 x-1) \geq 3\)
    7. \(4 x^{3}-12 x^{2}+9 x<0\)
    8. \(x^{3}-9 x^{2}+20 x \geq 0\)
    9. \(x^{3}-2 x^{2}-x+2<0\)
    10. \(6 x(x+1)+5 x \leq 35\)
    11. \(\frac{(x-2)(2 x+1)}{x(x-1)} \leq 0\)
    12. \(\frac{x(x-3)^{2}}{x-4} \leq 0\)
    13. \(\frac{x^{2}+4 x+4}{4 x^{2}-1}<0\)
    14. \(\frac{x^{2}-10 x+24}{x^{2}+10 x+25}>0\)
    15. \(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x} \geq 0\)
    16. \(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1} \leq 0\)
    17. \(\frac{3(x+1)}{x^{2}+2 x-3} \leq \frac{2}{x-1}\)
    18. \(\frac{x-4}{x+5} \geq \frac{x-2}{x-5}\)
    Відповідь

    1. \((-2,0) \cup(5, \infty)\)

    3. \([-3, \infty)\)

    5. \((-4,-3) \cup(3, \infty)\)

    7. \((-\infty, 0)\)

    9. \((-\infty,-1) \cup(1,2)\)

    11. \(\left[-\frac{1}{2}, 0\right) \cup(1,2]\)

    13. \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

    15. \(\left(0, \frac{3}{2}\right] \cup(2, \infty)\)

    17. \((-\infty,-3) \cup(1,3]\)

    Зразок іспиту

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    1. Вирішити шляхом вилучення коренів:\(2 x^{2}-5=0\).
    2. Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}-16 x+1=0\).
    Відповідь

    1. \(\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Вирішіть за допомогою квадратичної формули.

    1. \(x^{2}+x+1=0\)
    2. \(2 x^{2}-x-4=0\)
    3. \(-4 x^{2}+2 x-1=0\)
    4. \((x-4)(x-2)=6\)
    Відповідь

    1. \(-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\)

    3. \(\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4} i\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    1. Знайдіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами та розв'язками\(\{\pm \sqrt{5}\}\).
    2. Площа прямокутника -\(22\) квадратні сантиметри. Якщо довжина\(5\) сантиметрів менше, ніж в два рази більше ширини, то знайдіть розміри прямокутника. Округлити до найближчої десятої частки сантиметра.
    3. Припускаючи сухі дорожні умови та середній час реакції, безпечний гальмівний шлях у футах певного автомобіля задається тим,\(d(x)=\frac{1}{20} x^{2}+x\) де\(x\) представляє швидкість автомобіля в милі на годину. Визначте безпечну швидкість автомобіля, якщо ви очікуєте зупинки в\(100\) ногах. Округлити до найближчої милі на годину.
    Відповідь

    1. \(x^{2}-5=0\)

    9. \(36\)миль на годину

    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Знайти всі рішення.

    1. \(x^{4}+x^{2}-12=0\)
    2. \(3 x^{-2}-5 x^{-1}-2=0\)
    3. \(2 x^{2 / 3}+3 x^{1 / 3}-2=0\)
    4. \(x-3 \sqrt{x}-4=0\)
    5. \(\left(\frac{t}{t+1}\right)^{2}+4\left(\frac{t}{t+1}\right)-12=0\)
    Відповідь

    2. \(-3, \frac{1}{2}\)

    4. \(16\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Графік. Знайдіть вершину і\(y\) -перехоплення. Крім того, знайдіть\(x\) -перехоплення, якщо вони існують.

    1. \(f(x)=x^{2}+4 x-12\)
    2. \(f(x)=-x^{2}+2 x+3\)
    Відповідь

    1.

    Малюнок 6.E.8

    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    1. Задано функцію, визначену за допомогою\(y = 3x^{2} − 6x − 5\):
      1. Функція має мінімум або максимум? Поясніть.
      2. Знайти мінімальне або максимальне\(y\) -значення.
    2. Висота в футах водяної ракети, запущеної з землі, задається функцією,\(h (t) = −16t^{2} + 96t\) де\(t\) представляє кількість секунд після запуску. Яка максимальна висота досягається ракетою?
    Відповідь

    1. (1) Мінімум (2)\(y=-8\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Намалюйте графік і використовуйте його для вирішення заданої нерівності.

    1. Графік\(f(x)=(x+1)^{2}-4\) і знайдіть\(x\) де\(f(x) \geq 0\).
    2. Графік\(f(x)=-x^{2}+4\) і знайдіть\(x\) де\(f(x) \geq 0\).
    Відповідь

    1. \((-\infty,-3] \cup[1, \infty)\)

    Малюнок 6.E.9

    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Вирішити. Представте відповіді за допомогою інтервальних позначень.

    1. \(x^{2}-2 x-15<0\)
    2. \(x(2 x-1)>10\)
    3. \(x(x+3)(x-2)^{2} \leq 0\)
    4. \(\frac{x^{2}-10 x+25}{x+1} \geq 0\)
    5. \(\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}+x} \leq 0\)
    Відповідь

    1. \((-3,5)\)

    3. \([-3,0] \cup\{2\}\)

    5. \((-1,0) \cup[1,4]\)