6.5: Розв'язування квадратичних нерівностей

Цілі навчання

• Перевірте розв'язки квадратичних нерівностей однією змінною.
• Зрозумійте геометричну залежність між розв'язками квадратичних нерівностей та їх графіками.
• Розв'яжіть квадратичні нерівності.

Розв'язки квадратичних нерівностей

Квадратична нерівність ¹⁵ - це математичне твердження, яке пов'язує квадратичний вираз як менший або більший за інший. Нижче наведено кілька прикладів квадратичних нерівностей, розв'язаних у цьому розділі.

Таблиця$\PageIndex{1}$

$x^{2}-2 x-11 \leq 0$

$2 x^{2}-7 x+3>0$

$9-x^{2}>0$

Розв'язок квадратичної нерівності - це дійсне число, яке видасть справжнє твердження при заміні змінної.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Є$-3$$-2$, і$-1$ рішення для$x^{2}-x-6 \leq 0$?

Рішення

Підставити задане значення в for$x$ і спростити.

$\begin{array} {r | r | r} {x^{2}-x-6\leq0}&{x^{2}-x-6\leq0}&{x^{2}-x-6\leq0} \\ {(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}^{2}-(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}-6\leq0}&{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}-6\leq0}&{(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}-(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}-6\leq0} \\ {9+3-6\leq0}&{4+2-6\leq0}&{1+1-6\leq0} \\ {6\leq0\:\:\color{red}{✗}}&{0\leq0\:\:\color{Cerulean}{✓}}&{-4\leq0\:\:\color{Cerulean}{✓}} \end{array}$

Відповідь:

$-2$і$-1$ є рішеннями і не$-3$ є.

Квадратичні нерівності можуть мати нескінченно багато розв'язків, одне рішення або відсутність рішення. Якщо розв'язків нескінченно багато, графуйте розв'язку, встановлене на числовому рядку і/або висловіть рішення за допомогою інтервальних позначень. Графік функції, визначеної$f (x) = x^{2} − x − 6$ знайденим у попередньому прикладі, ми маємо

Малюнок$\PageIndex{1}$

Результат оцінки для будь-якого$x$ -значення буде від'ємним, нульовим або позитивним.

$\begin{aligned} f(-3)&=6 &\color{Cerulean}{Positive \:f(x)>0} \\ f(-2)&=0 &\color{Cerulean}{Zero \:f(x)\:=0} \\f(-1)&=-4 &\color{Cerulean}{Negative \:f(x)<0} \end{aligned}$

Значення в області функції, що відокремлюють області, що дають позитивні або негативні результати, називаються критичними числами ¹⁶. У випадку квадратичної функції критичними числами є коріння, іноді звані нулями. Наприклад,$f (x) = x^{2} − x − 6 = (x + 2) (x − 3)$ має коріння$−2$ і$3$. Ці значення пов'язують області, де функція є додатною (над$x$ віссю -) або від'ємною (нижче$x$ -осі).

Малюнок$\PageIndex{2}$

Тому$x^{2} − x − 6 ≤ 0$ має рішення де$−2 ≤ x ≤ 3$, використовуючи інтервальні позначення$[−2, 3]$. Крім того,$x^{2} − x − 6 ≥ 0$ має рішення де$x ≤ −2$ або$x ≥ 3$, використовуючи інтервальні позначення$(−∞, −2] ∪ [−3, ∞)$.

Приклад$\PageIndex{2}$:

За даними графіка$f$ визначають розв'язки для$f(x)>0$:

Малюнок$\PageIndex{4}$

Через сувору нерівність набір розв'язків затінюється відкритою крапкою на кожній з меж. Це вказує на те, що ці критичні числа фактично не включені в набір рішень. Цей набір рішень може бути виражений двома способами,

$\begin{aligned}\{x |-4<&x<2\} &\color{Cerulean} { Set\: Notation } \\ (-4,&2) &\color{Cerulean} { Interval\: Notation }\end{aligned}$

У цьому підручнику ми продовжимо подавати відповіді в інтервальних позначеннях.

Відповідь:

$(-4,2)$

Вправа$\PageIndex{1}$

За даними графіка$f$ визначають розв'язки для$f (x) < 0$:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Відповідь

$(-\infty,-4) \cup(2, \infty)$

www.youtube.com/В/ККБАОМ8Бубо

Розв'язування квадратичних нерівностей

Далі ми окреслимо техніку, яка використовується для розв'язання квадратичних нерівностей без графіків параболи. Для цього ми використовуємо знакову діаграму ¹⁷, яка моделює функцію, використовуючи числову лінію, яка представляє$x$ -вісь та знаки,$(+$ або$−)$ для вказівки, де функція є позитивною чи негативною. Наприклад,

Малюнок$\PageIndex{6}$

Знаки плюса вказують на те, що функція позитивна на регіон. Негативні ознаки вказують на те, що функція негативна на регіон. Межами виступають критичні числа,$−2$ і$3$ в даному випадку. Знакові діаграми корисні, коли детальне зображення графіка не потрібно і широко використовуються в математиці вищого рівня. Етапи розв'язання квадратичної нерівності з однією змінною викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Вирішити:$-x^{2}+6 x+7 \geq 0$.

Рішення

Важливо відзначити, що ця квадратична нерівність знаходиться в стандартній формі, з нулем на одній стороні нерівності.

Крок 1: Визначте критичні цифри. Для квадратичної нерівності в стандартній формі критичні числа є корінням. Тому встановіть функцію рівну нулю і вирішуйте.

$-x^{2}+6 x+7=0$
$-\left(x^{2}-6 x-7\right)=0$
$-(x+1)(x-7)=0$

$\begin{aligned}x+1&=0 \:\:\:\:\text { or } &x-7=0 \\ x&=-1 &x=7\end{aligned}$

Критичними числами є$-1$ і$7$.

Крок 2: Створіть діаграму знаків. Оскільки критичні числа пов'язують області, де функція є позитивною або від'ємною, нам потрібно перевірити лише одне значення в кожній області. У цьому випадку критичні числа розділяють числовий рядок на три області, і ми вибираємо тестові значення$x = −3, x = 0$, і$x = 10$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Значення тесту можуть відрізнятися. Насправді нам потрібно лише визначити ознаку$(+$ або$−)$ результат при оцінці$f (x) = −x^{2} + 6x + 7 = − (x + 1) (x − 7)$. Тут ми оцінюємо за допомогою факторної форми.

$\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}&=-(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{-}7) =-(-2)(-10)&=-\color{Cerulean} {Negative} \\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}&=-(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{-}7) =-(1)(-7)&=+\color{Cerulean} { Positive } \\ f(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{)}&=-(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{-}7) =-(11)(3)&=-\color{Cerulean} {Negative} \end{aligned}$

Оскільки результат оцінки для$−3$ був негативним, ми ставимо негативні знаки вище першого регіону. Результат оцінки для$0$ був позитивним, тому ми розміщуємо позитивні знаки вище середньої області. Нарешті, результат оцінки для$10$ був негативним, тому ми розміщуємо негативні знаки над останньою областю, і діаграма знаків завершена.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Крок 3: Використовуйте діаграму знаків, щоб відповісти на питання. У цьому випадку нас просять визначити де$f (x) ≥ 0$, або де функція додатна або нуль. З діаграми знаків ми бачимо, що це відбувається, коли$x$ -значення включені між$−1$ і$7$.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Використовуючи інтервальне позначення, затінена область виражається як$[−1, 7]$. Графік не обов'язковий, однак для повноти він наведений нижче.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Дійсно функція більше або дорівнює нулю, вище або на$x$ -осі, для$x$ -значень в заданому інтервалі.

Відповідь:

$[-1,7]$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Вирішити:$2 x^{2}-7 x+3>0$.

Рішення

Почніть з знаходження критичних чисел, в даному випадку коренів$f(x)=2 x^{2}-7 x+3$.

$\begin{aligned}2 x^{2}-7 x+3&=0 \\ (2 x-1)(x-3)&=0\end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 x-1 &=0 \:\:\:\:\:\text { or }& x-3=0 \\ 2 x &=1 \quad &x=3 \\ x &=\frac{1}{2} \end{aligned}$

Критичними числами є$\frac{1}{2}$ і$3$. Через сувору нерівність > ми будемо використовувати відкриті точки.

Малюнок$\PageIndex{11}$

Далі вибираємо тестове значення в кожному регіоні і визначаємо знак після оцінки$f (x) = 2x^{2} − 7x + 3 = (2x − 1) (x − 3)$. Тут вибираємо тестові значення$−1, 2$, і$5$.

$\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=[2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}-1](\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{-}3)&=(-)(-)=+\\ f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)} &=[2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}-1](\color{OliveGreen}{2}\color{black}{-}3)&=(+)(-)=-\\ f(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)} &=[2(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)}-1](\color{OliveGreen}{5}\color{black}{-}3)&=(+)(+)=+\end{aligned}$

І ми можемо заповнити таблицю знаків.

Малюнок$\PageIndex{12}$

Питання просить нас знайти$x$ -значення, які дають позитивні результати (більше нуля). Тому затінюйте в регіонах з$+$ над ними. Це набір рішень.

Малюнок$\PageIndex{13}$

Відповідь:

$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup(3, \infty)$

Іноді квадратична функція не фактор. У цьому випадку ми можемо скористатися квадратичною формулою.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішити:$x^{2}-2 x-11 \leq 0$

Рішення

Знайдіть критичні цифри.

$x^{2}-2 x-11=0$

Визначте$a, b$, і$c$ для використання в квадратичній формулі. Ось$a = 1, b = −2$, і$c = −11$. Підставте відповідні значення в квадратичну формулу, а потім спростіть.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-11}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 4 \sqrt{3}}{2} \\ &=1 \pm 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

Тому критичними числами є$1-2 \sqrt{3} \approx-2.5$ і$1+2 \sqrt{3} \approx 4.5$. Використовуйте замкнуту крапку на цифрі, щоб вказати, що ці значення будуть включені до набору розв'язків.

Малюнок$\PageIndex{14}$

Тут ми будемо використовувати тестові значення$−5, 0$, і$7$.

$\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}-11 =25+10-11&=+\\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}-11 =0+0-11&=-\\ f(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}-11 =49-14-11&=+\end{aligned}$

Після завершення знакової діаграми затінюйте значення, де функція від'ємна, як зазначено в питанні$(f (x) ≤ 0)$.

Малюнок$\PageIndex{15}$

Відповідь:

$[1-2 \sqrt{3}, 1+2 \sqrt{3}]$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити:$9-x^{2}>0$.

Відповідь

$(-3,3)$

www.youtube.com/В/7ГМ8 Гуваса

Може бути так, що критичних цифр немає.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Вирішити:$x^{2}-2 x+3>0$.

Рішення

Щоб знайти критичні числа вирішувати,

$x^{2}-2 x+3=0$

Підставляємо$a = 1, b = −2$, а$c = 3$ в квадратичну формулу і потім спрощуємо.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2} \\ &=1+i \sqrt{2} \end{aligned}$

Оскільки рішення не є реальними, ми робимо висновок, що реальних коренів немає; отже, немає критичних чисел. Коли це так, графік не має$x$ -перехоплює і повністю знаходиться вище або нижче$x$ -осі. Ми можемо протестувати будь-яке значення, щоб створити діаграму знаків. Тут вибираємо$x = 0$.

$f(0)=(0)^{2}-2(0)+3=+$

Оскільки тестове значення дало позитивний результат, діаграма знаків виглядає наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{16}$

Шукаємо значення де$f (x) > 0$; знакова діаграма означає, що будь-яке дійсне число для$x$ задовольнить цю умову.

Малюнок$\PageIndex{17}$

Відповідь:

$(-\infty, \infty)$

Функція в попередньому прикладі наведена на графіку нижче.

Малюнок$\PageIndex{18}$

Ми бачимо, що він не має$x$ -перехоплює і завжди вище$x$ -осі (позитивний). Якби питання було вирішувати$x^{2} − 2x + 3 < 0$, то відповідь не була б рішенням. Функція ніколи не буває негативною.

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити:$9 x^{2}-12 x+4 \leq 0$

Відповідь

Одне рішення,$\frac{2}{3}$.

www.youtube.com/В/Е7ВВВВВ_ДС

Приклад$\PageIndex{7}$:

Знайдіть домен:$f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$.

Рішення

Нагадаємо, що аргумент функції квадратного кореня повинен бути невід'ємним. Тому домен складається з усіх дійсних чисел для$x$ таких, що$x^{2} − 4$ більше або дорівнює нулю.

$x^{2}-4 \geq 0$

Повинно бути зрозуміло, що$x^{2} − 4 = 0$ має два рішення$x = ±2$; це критичні значення. Виберіть тестові значення в кожному інтервалі та оцінюйте$f (x) = x^{2} − 4$.

$\begin{aligned} f(-3) &=(-3)^{2}-4=9-4=+\\ f(0) &=(0)^{2}-4=0-4=-\\ f(3) &=(3)^{2}-4=9-4=+\end{aligned}$

Затінення в$x$ -значеннях, які дають позитивні результати.

Малюнок$\PageIndex{19}$

Відповідь:

Домен:$(-\infty,-2] \cup[2, \infty)$

Ключові винос

• Квадратичні нерівності можуть мати нескінченно багато розв'язків, одне рішення або відсутність рішення.
• Ми можемо розв'язати квадратичні нерівності графічно, спочатку переписуючи нерівність у стандартній формі, з нулем на одній стороні. Графік квадратичної функції і визначте, де вона знаходиться вище або нижче$x$ -осі. Якщо нерівність передбачає «менше ніж», то визначте$x$ -значення, де функція знаходиться нижче$x$ -осі. Якщо нерівність передбачає «більше ніж», то визначте$x$ -значення, де функція знаходиться над$x$ віссю -.
• Ми можемо впорядкувати процес розв'язання квадратичних нерівностей, використовуючи знакову діаграму. Діаграма знаків дає нам візуальну довідку, яка вказує, де функція знаходиться над$x$ осі -за допомогою позитивних знаків або нижче$x$ -осі за допомогою негативних знаків. Затінення у відповідних значеннях x залежно від вихідної нерівності.
• Щоб скласти діаграму знаків, використовуйте функції та тестові значення в кожному регіоні, обмеженому корінням. Ми стурбовані лише тим, якщо функція позитивна чи негативна, і, таким чином, повний розрахунок не потрібен.

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є дане значення рішенням.

1. $x^{2}-x+1<0 ; x=-1$
2. $x^{2}+x-1>0 ; x=-2$
3. $4 x^{2}-12 x+9 \leq 0 ; x=\frac{3}{2}$
4. $5 x^{2}-8 x-4<0 ; x=-\frac{2}{5}$
5. $3 x^{2}-x-2 \geq 0 ; x=0$
6. $4 x^{2}-x+3 \leq 0 ; x=-1$
7. $2-4 x-x^{2}<0 ; x=\frac{1}{2}$
8. $5-2 x-x^{2}>0 ; x=0$
9. $-x^{2}-x-9<0 ; x=-3$
10. $-x^{2}+x-6 \geq 0 ; x=6$

Відповідь

1. Ні

3. Так

5. Ні

7. Так

9. Так

Вправа$\PageIndex{5}$

Дано графік$f$ визначення множини розв'язків.

1. $f(x) \leq 0$;

Малюнок$\PageIndex{20}$

2. $f(x) \geq 0$;

Малюнок$\PageIndex{21}$

3. $f(x) \geq 0$;

Малюнок$\PageIndex{22}$

4. $f(x) \leq 0$;

Малюнок$\PageIndex{23}$

5. $f(x)>0$;

Малюнок$\PageIndex{24}$

6. $f(x)<0$;

Малюнок$\PageIndex{25}$

7. $f(x)>0$;

Малюнок$\PageIndex{26}$

8. $f(x)<0$;

Малюнок$\PageIndex{27}$

9. $f(x) \geq 0$;

Малюнок$\PageIndex{28}$

10. $f(x)<0$;

Малюнок$\PageIndex{29}$

Відповідь

1. $[-4,2]$

3. $[-1,3]$

5. $(-\infty, \infty)$

7. $(-\infty, 4) \cup(8, \infty)$

9. $\{-10\}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Скористайтеся перетвореннями для побудови графіків, а потім визначте набір розв'язків.

1. $x^{2}-1>0$
2. $x^{2}+2>0$
3. $(x-1)^{2}>0$
4. $(x+2)^{2} \leq 0$
5. $(x+2)^{2}-1 \leq 0$
6. $(x+3)^{2}-4>0$
7. $-x^{2}+4 \geq 0$
8. $-(x+2)^{2}>0$
9. $-(x+3)^{2}+1<0$
10. $-(x-4)^{2}+9>0$

Відповідь

1. $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$

Малюнок$\PageIndex{30}$

3. $(-\infty, 1) \cup(1, \infty)$

Малюнок$\PageIndex{31}$

5. $[-3,-1]$

Малюнок$\PageIndex{32}$

7. $[-2,2]$

Малюнок$\PageIndex{33}$

9. $(-\infty,-4) \cup(-2, \infty)$

Малюнок$\PageIndex{34}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Використовуйте діаграму знаків для вирішення та графіку набору рішень. Представте відповіді за допомогою інтервальних позначень.

1. $x^{2}-x-12>0$
2. $x^{2}-10 x+16>0$
3. $x^{2}+2 x-24<0$
4. $x^{2}+15 x+54<0$
5. $x^{2}-23 x-24 \leq 0$
6. $x^{2}-12 x+20 \leq 0$
7. $2 x^{2}-11 x-6 \geq 0$
8. $3 x^{2}+17 x-6 \geq 0$
9. $8 x^{2}-18 x-5<0$
10. $10 x^{2}+17 x+6>0$
11. $9 x^{2}+30 x+25 \leq 0$
12. $16 x^{2}-40 x+25 \leq 0$
13. $4 x^{2}-4 x+1>0$
14. $9 x^{2}+12 x+4>0$
15. $-x^{2}-x+30 \geq 0$
16. $-x^{2}-6 x+27 \leq 0$
17. $x^{2}-64<0$
18. $x^{2}-81 \geq 0$
19. $4 x^{2}-9 \geq 0$
20. $16 x^{2}-25<0$
21. $25-4 x^{2} \geq 0$
22. $1-49 x^{2}<0$
23. $x^{2}-8>0$
24. $x^{2}-75 \leq 0$
25. $2 x^{2}+1>0$
26. $4 x^{2}+3<0$
27. $x-x^{2}>0$
28. $3 x-x^{2} \leq 0$
29. $x^{2}-x+1<0$
30. $x^{2}+x-1>0$
31. $4 x^{2}-12 x+9 \leq 0$
32. $5 x^{2}-8 x-4<0$
33. $3 x^{2}-x-2 \geq 0$
34. $4 x^{2}-x+3 \leq 0$
35. $2-4 x-x^{2}<0$
36. $5-2 x-x^{2}>0$
37. $-x^{2}-x-9<0$
38. $-x^{2}+x-6 \geq 0$
39. $-2 x^{2}+4 x-1 \geq 0$
40. $-3 x^{2}-x+1 \leq 0$

Відповідь

1. $(-\infty,-3) \cup(4, \infty)$

3. $(-6,4)$

5. $[-1,24]$

7. $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup[6, \infty)$

9. $\left(-\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right)$

11. $-\frac{5}{3}$

13. $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, \infty\right)$

15. $[-6,5]$

17. $(-8,8)$

19. $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$

21. $\left[-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right]$

23. $(-\infty,-2 \sqrt{2}) \cup(2 \sqrt{2}, \infty)$

25. $(-\infty, \infty)$

27. $(0,1)$

29. $\emptyset$

31. $\frac{3}{2}$

33. $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right] \cup[1, \infty)$

35. $(-\infty,-2-\sqrt{6}) \cup(-2+\sqrt{6}, \infty)$

37. $(-\infty, \infty)$

39. $\left[\frac{2-\sqrt{2}}{2}, \frac{2+\sqrt{2}}{2}\right]$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть домен функції.

1. $f(x)=\sqrt{x^{2}-25}$
2. $f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x}$
3. $g(x)=\sqrt{3 x^{2}-x-2}$
4. $g(x)=\sqrt{12 x^{2}-9 x-3}$
5. $h(x)=\sqrt{16-x^{2}}$
6. $h(x)=\sqrt{3-2 x-x^{2}}$
7. $f(x)=\sqrt{x^{2}+10}$
8. $f(x)=\sqrt{9+x^{2}}$
9. Компанія з виробництва робототехніки визначила, що її щотижневий прибуток у тисячах доларів моделюється тим,$P (n) = −n^{2} + 30n − 200$ де$n$ представляє кількість одиниць, які вона виробляє та продає. Скільки одиниць компанія повинна виробляти і продавати для підтримки прибутковості. (Підказка: Прибутковість виникає, коли прибуток перевищує нуль.)
10. Висота в ногах снаряда, пострілу прямо в повітря, задається тим,$h (t) = −16t^{2} + 400t$ де$t$ представляє час у секундах після його вистрілу. В які часові проміжки знаходиться снаряд під$1,000$ ногами? Округлити до найближчої десятої частки секунди.

Відповідь

1. $(-\infty,-5] \cup[5, \infty)$

3. $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right] \cup[1, \infty)$

5. $[-4,4]$

7. $(-\infty, \infty)$

9. Компанія повинна виробляти і продавати більше$10$ одиниць і менше$20$ одиниць щотижня.

Вправа$\PageIndex{9}$

1. Чи завжди чергується таблиця знаків для будь-якої заданої квадратичної функції? Поясніть і проілюструйте свою відповідь деякими прикладами.
2. Досліджуйте та обговоріть інші методи розв'язання квадратичної нерівності.
3. Поясніть різницю між квадратним рівнянням і квадратичною нерівністю. Як ми можемо визначити і вирішити кожен? Яка геометрична інтерпретація кожного?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁵ Математичне твердження, яке пов'язує квадратичний вираз як менший або більший за інший.

¹⁶ Значення в області функції, що розділяють області, які дають позитивні або негативні результати.

¹⁷ Модель функції з використанням числового рядка і знаків$(+$ або$−)$ для позначення областей в області, де функція позитивна або негативна.