Глава 10 Огляд вправ

Глава 10 Огляд вправ

10.1 Розв'язування квадратних рівнянь за допомогою властивості квадратного кореня

У наступних вправах вирішуйте, використовуючи властивість Square Root.

Вправа$\PageIndex{1}$

$x^2=100$

Відповідь

$x=\pm10$

Вправа$\PageIndex{2}$

$y^2=144$

Вправа$\PageIndex{3}$

$m^2−40=0$

Відповідь

$m=\pm2\sqrt{10}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$n^2−80=0$

Вправа$\PageIndex{5}$

$4a^2=100$

Відповідь

$a=\pm5$

Приклад$\PageIndex{6}$

$2b^2=72$

Вправа$\PageIndex{7}$

$r^2+32=0$

Відповідь

немає рішення

Вправа$\PageIndex{8}$

$t^2+18=0$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\frac{4}{3}v^2+4=28$

Відповідь

$v=\pm3\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\frac{2}{3}w^2−20=30$

Вправа$\PageIndex{11}$

$5c^2+3=19$

Відповідь

$c=\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$3d^2−6=43$

У наступних вправах вирішуйте, використовуючи властивість Square Root.

Вправа$\PageIndex{13}$

$(p−5)^2+3=19$

Відповідь

p=1, 9

Вправа$\PageIndex{14}$

$(q+4)^2=9$

Вправа$\PageIndex{15}$

$(u+1)^2=45$

Відповідь

$u=−1\pm3\sqrt{5}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$(z−5)^2=50$

Вправа$\PageIndex{17}$

$(x−\frac{1}{4})^2=\frac{3}{16}$

Відповідь

$x=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{3}}{4}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$(y−\frac{2}{3})^2=\frac{2}{9}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$(m−7)^2+6=30$

Відповідь

$m=7\pm2\sqrt{6}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$(n−4)^2−50=150$

Вправа$\PageIndex{21}$

$(5c+3)^2=−20$

Відповідь

немає рішення

Вправа$\PageIndex{22}$

$(4c−1)^2=−18$

Вправа$\PageIndex{23}$

$m^2−6m+9=48$

Відповідь

$m=3\pm4\sqrt{3}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$n^2+10n+25=12$

Вправа$\PageIndex{25}$

$64a^2+48a+9=81$

Відповідь

a=−32, 34

Вправа$\PageIndex{26}$

$4b^2−28b+49=25$

10.2 Розв'язувати квадратні рівняння за допомогою завершення квадрата

У наступних вправах завершіть квадрат, щоб зробити ідеальний квадратний триноміал. Потім запишіть результат у вигляді біноміального квадрата.

Вправа$\PageIndex{26}$

$x^2+22x$

Відповідь

$(x+11)^2$

Вправа$\PageIndex{27}$

$y^2+6y$

Вправа$\PageIndex{28}$

$m^2−8m$

Відповідь

$(m−4)^2$

Вправа$\PageIndex{29}$

$n^2−10n$

Вправа$\PageIndex{30}$

$a^2−3a$

Відповідь

$(a−\frac{3}{2})^2$

Вправа$\PageIndex{31}$

$b^2+13b$

Вправа$\PageIndex{32}$

$p^2+\frac{4}{5}p$

Відповідь

$(p+\frac{2}{5})^2$

Вправа$\PageIndex{33}$

$q^2−13q$

У наступних вправах вирішуйте, виконавши квадрат.

Вправа$\PageIndex{34}$

$c^2+20c=21$

Відповідь

с=1, −21

Вправа$\PageIndex{35}$

$d^2+14d=−13$

Вправа$\PageIndex{36}$

$x^2−4x=32$

Відповідь

x=−4, 8

Вправа$\PageIndex{37}$

$y^2−16y=36$

Вправа$\PageIndex{38}$

$r^2+6r=−100$

Відповідь

немає рішення

Вправа$\PageIndex{39}$

$t^2−12t=−40$

Вправа$\PageIndex{40}$

$v^2−14v=−31$

Відповідь

$v=7\pm3\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{41}$

$w^2−20w=100$

Вправа$\PageIndex{42}$

$m^2+10m−4=−13$

Відповідь

$m=−9,−1$

Вправа$\PageIndex{43}$

$n^2−6n+11=34$

Вправа$\PageIndex{44}$

$a^2=3a+8$

Відповідь

$a=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{41}}{2}$

Вправа$\PageIndex{45}$

$b^2=11b−5$

Вправа$\PageIndex{46}$

$(u+8)(u+4)=14$

Відповідь

$u=−6\pm2\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{47}$

$(z−10)(z+2)=28$

Вправа$\PageIndex{48}$

$3p^2−18p+15=15$

Відповідь

p=0, 6

Вправа$\PageIndex{49}$

$5q^2+70q+20=0$

Вправа$\PageIndex{50}$

$4y^2−6y=4$

Відповідь

$y=−\frac{1}{2}, 2$

Вправа$\PageIndex{51}$

$2x^2+2x=4$

Вправа$\PageIndex{52}$

$3c^2+2c=9$

Відповідь

$c=−\frac{1}{3}\pm\frac{2\sqrt{7}}{3}$

Вправа$\PageIndex{53}$

$4d^2−2d=8$

10.3 Розв'язування квадратних рівнянь за квадратичною формулою

У наступних вправах вирішуйте за допомогою квадратичної формули.

Вправа$\PageIndex{54}$

$4x^2−5x+1=0$

Відповідь

$x=14, 1$

Вправа$\PageIndex{55}$

$7y^2+4y−3=0$

Вправа$\PageIndex{56}$

$r^2−r−42=0$

Відповідь

$r=−6, 7$

Вправа$\PageIndex{57}$

$t^2+13t+22=0$

Вправа$\PageIndex{58}$

$4v^2+v−5=0$

Відповідь

$v=−\frac{5}{4}, 1$

Вправа$\PageIndex{59}$

$2w^2+9w+2=0$

Вправа$\PageIndex{60}$

$3m^2+8m+2=0$

Відповідь

$m=\frac{−4\pm\sqrt{10}}{3}$

Вправа$\PageIndex{61}$

$5n^2+2n−1=0$

Вправа$\PageIndex{62}$

$6a^2−5a+2=0$

Відповідь

немає реального рішення

Вправа$\PageIndex{63}$

$4b^2−b+8=0$

Вправа$\PageIndex{64}$

$u(u−10)+3=0$

Відповідь

$u=5\pm2\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{65}$

$5z(z−2)=3$

Вправа$\PageIndex{66}$

$\frac{1}{8}p^2−\frac{1}{5}p=−\frac{1}{20}$

Відповідь

$p=\frac{4\pm\sqrt{6}}{5}$

Вправа$\PageIndex{67}$

$\frac{2}{5}q^2+\frac{3}{10}q=\frac{1}{10}$

Вправа$\PageIndex{68}$

$4c^2+4c+1=0$

Відповідь

$c=−\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{69}$

$9d^2−12d=−4$

У наступних вправах визначте кількість розв'язків кожного квадратного рівняння.

Вправа$\PageIndex{70}$

1. $9x^2−6x+1=0$
2. $3y^2−8y+1=0$
3. $7m^2+12m+4=0$
4. $5n^2−n+1=0$

Відповідь

1. 1
2. 2
3. 2
4. жоден

Вправа$\PageIndex{71}$

1. $5x^2−7x−8=0$
2. $7x^2−10x+5=0$
3. $25x^2−90x+81=0$
4. $15x^2−8x+4=0$

У наступних вправах визначте найбільш підходящий метод (Факторинг, Квадратний корінь або Квадратна формула), який слід використовувати для вирішення кожного квадратного рівняння.

Вправа$\PageIndex{72}$

1. $16r^2−8r+1=0$
2. $5t^2−8t+3=9$$3(c+2)^2=15$

Відповідь

1. фактор
2. Квадратична формула
3. квадратний корінь

Вправа$\PageIndex{73}$

1. $4d^2+10d−5=21$
2. $25x^2−60x+36=0$
3. $6(5v−7)^2=150$

10.4 Розв'язуйте програми, змодельовані квадратними рівняннями

У наступних вправах вирішуйте за допомогою методів факторингу, принципу квадратного кореня або квадратної формули.

Вправа$\PageIndex{74}$

Знайдіть два послідовних непарних числа, твір яких дорівнює 323.

Відповідь

Два послідовних непарних числа, добуток яких дорівнює 323, є 17 і 19, і −17 і −19.

Вправа$\PageIndex{75}$

Знайдіть два послідовних парних числа, твір яких дорівнює 624.

Вправа$\PageIndex{76}$

Трикутний банер має площу 351 квадратний сантиметр. Довжина підстави на два сантиметри довше, ніж в чотири рази більше висоти. Знайдіть висоту і довжину підстави.

Відповідь

Висота банера - 13 см, а довжина бортика - 54 см.

Вправа$\PageIndex{77}$

Юлій побудував трикутну вітрину для своєї колекції монет. Висота вітрини на шість дюймів менше, ніж в два рази більше ширини підстави. Площа задньої частини корпусу становить 70 квадратних дюймів. Знайдіть висоту і ширину корпусу.

Вправа$\PageIndex{78}$

Плиткова мозаїка у формі прямокутного трикутника використовується як кут прямокутної доріжки. Гіпотенуза мозаїки становить 5 футів. Одна сторона мозаїки в два рази довше, ніж інша сторона. Які довжини сторін? Округлити до найближчої десятої.

Відповідь

Довжини сторін мозаїки - 2,2 і 4,4 фута.

Вправа$\PageIndex{79}$

Прямокутний шматок фанери має діагональ, яка вимірює на два фути більше ширини. Довжина фанери в два рази більше ширини. Яка довжина діагоналі фанери? Округлити до найближчої десятої.

Вправа$\PageIndex{80}$

Парадна прогулянка від вулиці до будинку Пем займає площу 250 квадратних футів. Його довжина в два менше, ніж в чотири рази більше ширини. Знайдіть довжину і ширину тротуару. Округлити до найближчої десятої.

Відповідь

Ширина передньої ходьби становить 8,1 фута, а її довжина - 30,8 футів.

Вправа$\PageIndex{81}$

Для випускного вечора Софії кілька столів однакової ширини будуть розташовані впритул, щоб дати сервірувальний стіл загальною площею 75 квадратних футів. Загальна довжина столів буде в два більше, ніж в три рази більше ширини. Знайдіть довжину і ширину сервірувального столу, щоб Софія могла придбати скатертину правильного розміру. Круглий відповідь до найближчої десятої.

Вправа$\PageIndex{82}$

Куля кидається вертикально в повітря зі швидкістю 160 футів/сек. Використовуйте формулу,$h=−16t^2+v_{0}t$ щоб визначити, коли м'яч буде знаходитися на відстані 384 футів від землі. Округлити до найближчої десятої.

Відповідь

М'яч досягне 384 футів на шляху вгору за 4 секунди, а на шляху вниз за 6 секунд.

Вправа$\PageIndex{83}$

Куля вистрілюється прямо вгору з землі зі швидкістю 320 футів/сек. Використовуйте формулу,$h=−16t^2+v_{0}t$ щоб визначити, коли куля досягне 800 футів. Округлити до найближчої десятої.

10.5 Графік квадратичних рівнянь у двох змінних

У наступних вправах граф за допомогою побудови точки.

Вправа$\PageIndex{84}$

Графік$y=x^2−2$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{85}$

Графік$y=−x^2+3$

У наступних вправах визначте, чи відкриваються наступні параболи вгору або вниз.

Вправа$\PageIndex{86}$

$y=−3x^2+3x−1$

Відповідь

вниз

Вправа$\PageIndex{87}$

$y=5x^2+6x+3$

Вправа$\PageIndex{88}$

$y=x^2+8x−1$

Відповідь

вгору

Вправа$\PageIndex{89}$

А$y=−4x^2−7x+1$

У наступних вправах знайдіть

1. осі симетрії і,
2. вершина.

Вправа$\PageIndex{90}$

$y=−x^2+6x+8$

Відповідь

1. х=3
2. (3,17)

Вправа$\PageIndex{91}$

$y=2x^2−8x+1$

У наступних вправах знайдіть x - і y -перехоплення.

Вправа$\PageIndex{92}$

$y=x^2−4x+5$

Відповідь

y: (0,5); х: (5,0), (−1,0)

Вправа$\PageIndex{93}$

$y=x^2−8x+15$

Вправа$\PageIndex{94}$

$y=x^2−4x+10$

Відповідь

y: (0,10); х: немає

Вправа$\PageIndex{95}$

$y=−5x^2−30x−46$

Вправа$\PageIndex{96}$

$y=16x^2−8x+1$

Відповідь

у: (0,1); х: (14,0)

Вправа$\PageIndex{97}$

$y=x^2+16x+64$

У наступних вправах граф за допомогою перехоплень, вершини та осі симетрії.

Вправа$\PageIndex{98}$

$y=x^2+8x+15$

Відповідь

y: (0,15); x: (−3,0), (−5,0);
вісь: x = −4; вершина :( −4, −1)

Вправа$\PageIndex{99}$

$y=x^2−2x−3$

Вправа$\PageIndex{100}$

$y=−x^2+8x−16$

Відповідь

y: (0, −16); x: (4,0);
вісь: x = 4; вершина :( 4,0)

Вправа$\PageIndex{101}$

$y=4x^2−4x+1$

Вправа$\PageIndex{102}$

$y=x^2+6x+13$

Відповідь

y: (0,13); x: немає;
вісь: x = −3; вершина :( −3,4)

Вправа$\PageIndex{103}$

$y=−2x^2−8x−12$

Вправа$\PageIndex{104}$

$y=−4x^2+16x−11$

Відповідь

y: (0, −11); x: (3.1,0), (0,9,0);
вісь: x = 2; вершина :( 2,5)

Вправа$\PageIndex{105}$

$y=x^2+8x+10$

У наступних вправах знайдіть мінімальне або максимальне значення.

Вправа$\PageIndex{106}$

$y=7x^2+14x+6$

Відповідь

Мінімальним значенням є −1, коли$x=−1$.

Вправа$\PageIndex{107}$

$y=−3x^2+12x−10$

У наступних вправах вирішуйте. Округлення відповідей до найближчої десятої.

Вправа$\PageIndex{108}$

М'яч кидається вгору від землі з початковою швидкістю 112 футів/сек. Використовуйте квадратне рівняння,$h=−16t^2+112t$ щоб знайти, скільки часу потрібно м'ячу, щоб досягти максимальної висоти, а потім знайти максимальну висоту.

Відповідь

За 3,5 секунди м'яч знаходиться на максимальній висоті 196 футів.

Вправа$\PageIndex{109}$

Дитячий садок огороджує прямокутну ділянку уздовж своєї будівлі, щоб діти могли грати на відкритому повітрі. Вони повинні максимізувати площу, використовуючи 180 футів огорожі з трьох сторін двору. Квадратне рівняння$A=−2x^2+180x$ дає площу, A, двору для довжини, х, будівлі, яка буде межувати з двір. Знайдіть довжину будівлі, яка повинна межувати з двір, щоб максимально збільшити площу, а потім знайти максимальну площу.

Практика Тест

Вправа$\PageIndex{110}$

Використовуйте властивість квадратного кореня для вирішення квадратного рівняння:$3(w+5)^2=27$.

Відповідь

w=−2, −8

Вправа$\PageIndex{111}$

Використовуйте «Завершення квадрата» для вирішення квадратного рівняння:$a^2−8a+7=23$

Вправа$\PageIndex{112}$

Використовуйте квадратну формулу для вирішення квадратного рівняння:$2m^2−5m+3=0$.

Відповідь

м=1, 32

Розв'яжіть наступні квадратні рівняння. Використовуйте будь-який метод.

Вправа$\PageIndex{113}$

$8v^2+3=35$

Вправа$\PageIndex{114}$

$3n^2+8n+3=0$

Відповідь

$n=\frac{−4\pm\sqrt{7}}{3}$

Вправа$\PageIndex{115}$

$2b^2+6b−8=0$

Вправа$\PageIndex{116}$

$x(x+3)+12=0$

Відповідь

немає реального рішення

Вправа$\PageIndex{117}$

$\frac{4}{3}y^2−4y+3=0$

Використовуйте дискримінант для визначення кількості розв'язків кожного квадратного рівняння.

Вправа$\PageIndex{118}$

$6p^2−13p+7=0$

Відповідь

2

Вправа$\PageIndex{119}$

$3q^2−10q+12=0$

Вирішіть за допомогою факторингу, властивості квадратного кореня або квадратної формули.

Вправа$\PageIndex{120}$

Знайдіть два послідовних парних числа, твір яких дорівнює 360.

Відповідь

Два послідовних парних числа: −20 і −18 і 18 і 20.

Вправа$\PageIndex{121}$

Довжина діагоналі прямокутника на три більше ширини. Довжина прямокутника в три рази більше ширини. Знайдіть довжину діагоналі. (Округлення до найближчої десятої.)

Для кожної параболи знайдіть

1. якими шляхами вона відкриває,
2. вісь симетрії,
3. вершина,
4. x - і y -перехоплює, і
5. максимальне або мінімальне значення.

Вправа$\PageIndex{122}$

$y=3x^2+6x+8$

Відповідь

1. вгору
2. $x=−1$
3. (−1,5)
4. y: (0,8); х: немає; у: (0,8)
5. мінімальне значення 5 при$x=−1$.

Вправа$\PageIndex{123}$

$y=x^2−4$

Вправа$\PageIndex{124}$

$y=x^2+10x+24$

Відповідь

1. вгору
2. $x=−5$
3. (−5, −1)
4. y: (0,24); x: (−6,0), (−4,0)
5. мінімальне значення −5 при$x=−1$

Вправа$\PageIndex{125}$

$y=−3x^2+12x−8$

Вправа$\PageIndex{126}$

$y=−x^2−8x+16$

Відповідь

1. вниз
2. $x=−4$
3. (−4,32)
4. у; (0,16); х: (−9,7,0), (1,7,0)
5. максимальне значення 32 при$x=−4$

Графік наступних парабол, використовуючи перехоплення, вершину і вісь симетрії.

Вправа$\PageIndex{127}$

$y=2x^2+6x+2$

Вправа$\PageIndex{128}$

$y=16x^2+24x+9$

Відповідь

y: (0,9); x: (−34,0)
вісь:$x=−\frac{3}{4}$; вершина:$(−\frac{3}{4},0)$

Вирішити.

Вправа$\PageIndex{129}$

Водний балон запускається вгору зі швидкістю 86 футів/сек. Використовуючи формулу h=−16t^2+86t, знайдіть, скільки часу знадобиться повітряній кулі, щоб досягти максимальної висоти, а потім знайдіть максимальну висоту. Округлити до найближчої десятої.