9.8: Раціональні показники
- Page ID
- 58705
До кінця цього розділу ви зможете:
- Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{1}{n}}\)
- Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{m}{n}}\)
- Використовуйте закони експонентів для простих виразів з раціональними показниками
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Додати:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Спростити:\((4x^{2}y^{5})^3\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Спростити:\(5^{−3}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{1}{n}}\)
Раціональні експоненти - ще один спосіб написання виразів радикалами. Коли ми використовуємо раціональні показники, ми можемо застосувати властивості експонентів для спрощення виразів.
Влада властивість для експонентів говорить, що\((a^m)^n=a^{m·n}\) коли m і n є цілими числами. Припустимо, що тепер ми не обмежені цілими числами.
Припустимо, ми хочемо знайти число р такі, що\((8^p)^3=8\). Ми будемо використовувати властивість Power of Exponents, щоб знайти значення p.
\[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]
Але ми також знаємо\((\sqrt[3]{8})^3=8\). Тоді це повинно бути так\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)
Ця ж логіка може бути використана для будь-якого додатного цілого показника n, щоб показати це\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
Якщо\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом і\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
Будуть випадки, коли робота з виразами буде простіше, якщо використовувати раціональні показники і часи, коли буде простіше, якщо ви використовуєте радикали. У перших кількох прикладах ви будете практикувати перетворення виразів між цими двома позначеннями.
Напишіть як радикальний вираз:
- \(x^{\frac{1}{2}}\)
- \(y^{\frac{1}{3}}\)
- \(z^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
Ми хочемо написати кожен вираз у вигляді\(\sqrt[n]{a}\).
1. \(x^{\frac{1}{2}}\) Знаменник показника дорівнює 2, тому індекс радикала дорівнює 2. Ми не показуємо індекс, коли він дорівнює 2. \(\sqrt{x}\) 2. \(y^{\frac{1}{3}}\) Знаменник показника дорівнює 3, тому індекс дорівнює 3. \(\sqrt[3]{y}\) 3. \(z^\frac{1}{4}}\) Знаменником показника є 4, томуіндекс дорівнює 4. \(\sqrt[4]{z}\)
Напишіть як радикальний вираз:
- \(t^{\frac{1}{2}}\)
- \(m^{\frac{1}{3}}\)
- \(r^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
- \(\sqrt{t}\)
- \(\sqrt[3]{m}\)
- \(\sqrt[4]{r}\)
Напишіть як радикальний вираз:
- \(b^{\frac{1}{2}}\)
- \(z^{\frac{1}{3}}\)
- \(p^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
- \(\sqrt{b}\)
- \(\sqrt[3]{z}\)
- \(\sqrt[4]{p}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{x}\)
- \(\sqrt[3]{y}\)
- \(\sqrt[4]{z}\).
- Відповідь
-
Ми хочемо написати кожен радикал у формі\(a^{\frac{1}{n}}\).
1. \(\sqrt{x}\) Індекс не відображається, тому він дорівнює 2. Знаменником показника буде 2. \(x^{\frac{1}{2}}\) 2. \(\sqrt[3]{y}\) Індекс дорівнює 3, тому знаменник показника дорівнює 3. \(y^{\frac{1}{3}}\) 3. \(\sqrt[4]{z}\) Індекс дорівнює 4, тому знаменник показника дорівнює 4. \(z^{\frac{1}{4}}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{s}\)
- \(\sqrt[3]{x}\)
- \(\sqrt[4]{b}\).
- Відповідь
-
- \(s^{\frac{1}{2}}\)
- \(x^{\frac{1}{3}}\)
- \ (b^ {\ гідророзриву {1} {4}}\
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{v}\)
- \(\sqrt[3]{p}\)
- \(\sqrt[4]{p}\).
- Відповідь
-
- \(v^{\frac{1}{2}}\)
- \(p^{\frac{1}{3}}\)
- \(p^{\frac{1}{4}}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{5y}\)
- \(\sqrt[3]{4x}\)
- \(3\sqrt[4]{5z}\).
- Відповідь
-
1. \(\sqrt{5y}\) Індекс не відображається, тому він дорівнює 2. Знаменником показника буде 2. \((5y)^{\frac{1}{2}}\) 2. \(\sqrt[3]{4x}\) Індекс дорівнює 3, тому знаменник показника дорівнює 3. \((4x)^{\frac{1}{3}}\) 3. \(3\sqrt[4]{5z}\) Індекс дорівнює 4, тому знаменник показника дорівнює 4. \(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{10m}\)
- \(\sqrt[5]{3n}\)
- \(3\sqrt[4]{6y}\).
- Відповідь
-
- \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
- \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
- \((486y)^{\frac{1}{4}}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt[7]{3k}\)
- \(\sqrt[4]{5j}\)
- \(\sqrt[3]{82a}\).
- Відповідь
-
- \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
- \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
- \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)
У наступному прикладі вам може бути простіше спростити вирази, якщо спочатку переписати їх як радикали.
Спростити:
- \(25^{\frac{1}{2}}\)
- \(64^{\frac{1}{3}}\)
- \(256^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
1. \(25^{\frac{1}{2}}\) Перепишіть як квадратний корінь. \(\sqrt{25}\) Спростити. 5 2. \(64^{\frac{1}{3}}\) Перепишіть як кубічний корінь. \(\sqrt[3]{64}\) Розпізнати 64 є ідеальним кубом. \(\sqrt[3]{4^3}\) Спростити. 4 3. \(256^{\frac{1}{4}}\) Перепишіть як четвертий корінь. \(\sqrt[4]{256}\) Розпізнати 256 - це ідеальна четверта потужність. \(\sqrt[4]{4^4}\) Спростити. 4
Спростити:
- \(36^{\frac{1}{2}}\)
- \(8^{\frac{1}{3}}\)
- \(16^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
- 6
- 2
- 2
Спростити:
- \(100^{\frac{1}{2}}\)
- \(27^{\frac{1}{3}}\)
- \(81^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
- 10
- 3
- 3
Будьте уважні до розміщення негативних знаків в наступному прикладі. Нам потрібно буде використовувати властивість\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) в одному випадку.
Спростити:
- \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
- \(−64^{\frac{1}{3}}\)
- \((64)^{−\frac{1}{3}}\).
- Відповідь
-
1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\) Перепишіть як кубічний корінь. \(\sqrt[3]{−64}\) Перепишіть −64 як ідеальний куб. \(\sqrt[3]{(−4)^3}\) Спростити. −4 2. \(−64^{\frac{1}{3}}\) Показник застосовується лише до 64. \(−(64^{\frac{1}{3}})\) Перепишіть як кубічний корінь. \(−\sqrt[3]{64}\) Перепишіть 64 як\(4^3\). \(−\sqrt[3]{4^3}\) Спростити. −4 3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\) Перепишіть як дріб з додатним показником, використовуючи властивість,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).
Запишіть як кубічний корінь.
\(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\) Перепишіть 64 як\(4^3\). \(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\) Спростити. \(\frac{1}{4}\)
Спростити:
- \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
- \(−125^{\frac{1}{3}}\)
- \((125)^{−\frac{1}{3}}\).
- Відповідь
-
- −5
- −5
- \(\frac{1}{5}\)
Спростити:
- \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
- \(−32^{\frac{1}{5}}\)
- \((32)^{−\frac{1}{5}}\).
- Відповідь
-
- −2
- −2
- \(\frac{1}{2}\)
Спростити:
- \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
- \(−16^{\frac{1}{4}}\)
- \((16)^{−\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\) Перепишіть як четвертий корінь. \(\sqrt[4]{−16}\) Немає дійсного числа, четвертий ступінь якого дорівнює −16. 2. \(−16^{\frac{1}{4}}\) Показник застосовується лише до 16. \(−(16^{\frac{1}{4}})\) Перепишіть як четвертий корінь. \(−\sqrt[4]{16}\) Перепишіть 16 як\(2^4\) \(−\sqrt[4]{2^4}\) Спростити. −2 3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\) Перепишіть як дріб з додатним показником, використовуючи властивість,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).
\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\) Перепишіть як четвертий корінь. \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\) Перепишіть 16 як\(2^4\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\) Спростити. \(\frac{1}{2}\)
Спростити:
- \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
- \(−64^{\frac{1}{2}}\)
- \((64)^{−\frac{1}{2}}\).
- Відповідь
-
- −8
- −8
- \(\frac{1}{8}\)
Спростити:
- \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
- \(−256^{\frac{1}{4}}\)
- \((256)^{−\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
- −4
- −4
- \(\frac{1}{4}\)
Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{m}{n}}\)
Давайте ще попрацюємо з властивістю влади для експонентів.
Припустимо\(a^{\frac{1}{n}}\), ми піднімаємо на потужність m.
\[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
Тепер припустимо, ми приймемо\(a^m\) до\(\frac{1}{n}\) влади.
\[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
Яку форму ми використовуємо для спрощення виразу? Зазвичай ми спочатку беремо корінь - таким чином ми тримаємо числа в радикалі і менших.
Для будь-яких натуральних чисел m та n
\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)
\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{y^3}\)
- \(\sqrt[3]{x^2}\)
- \(\sqrt[4]{z^3}\)
- Відповідь
-
Ми хочемо використовувати,\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) щоб написати кожен радикал у формі\(a^{\frac{m}{n}}\).
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt{x^5}\)
- \(\sqrt[4]{z^3}\)
- \(\sqrt[5]{y^2}\).
- Відповідь
-
- \(x^{\frac{5}{2}}\)
- \(z^{\frac{3}{4}}\)
- \(y^{\frac{2}{5}}\)
Пишіть з раціональним показником:
- \(\sqrt[5]{a^2}\)
- \(\sqrt[3]{b^7}\)
- \(\sqrt[4]{m^5}\).
- Відповідь
-
- \(a^{\frac{2}{5}}\)
- \(b^{\frac{7}{3}}\)
- \(m^{\frac{5}{4}}\)
Спростити:
- \(9^{\frac{3}{2}}\)
- \(125^{\frac{2}{3}}\)
- \(81^{\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
Ми перепишемо кожен вираз як радикальне спочатку використовуючи властивість,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Ця форма дозволяє нам спочатку взяти корінь, і тому ми тримаємо числа в радикалі менше, ніж якщо б ми використовували іншу форму.
1. \(9^{\frac{3}{2}}\) Міць радикала - чисельник показника, 3. Так як знаменник показника дорівнює 2, то це квадратний корінь. \((\sqrt{9})^3\) Спростити. \(3^3\) 27 2. \(125^{\frac{2}{3}}\) Міць радикала - чисельник показника, 2. Так як знаменник показника дорівнює 3, то це квадратний корінь. \((\sqrt[3]{125})^2\) Спростити. \(5^2\) 25 3. \(81^{\frac{3}{4}}\) Міць радикала - чисельник показника, 2. Так як знаменник показника дорівнює 3, то це квадратний корінь. \((\sqrt[4]{81})^3\) Спростити. \(3^3\) 27
Спростити:
- \(4^{\frac{3}{2}}\)
- \(27^{\frac{2}{3}}\)
- \(625^{\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
- 8
- 9
- 125
Спростити:
- \(8^{\frac{5}{3}}\)
- \(81^{\frac{3}{2}}\)
- \(16^{\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
- 32
- 729
- 8
Пам'ятайте про це\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). Негативний знак в показнику не змінює знак виразу.
Спростити:
- \(16^{−\frac{3}{2}}\)
- \(32^{−\frac{2}{5}}\)
- \(4^{−\frac{5}{2}}\)
- Відповідь
-
Ми перепишемо кожен вираз спочатку, використовуючи,\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) а потім змінимо на радикальну форму.
1. \(16^{−\frac{3}{2}}\) Перепишіть за допомогою\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\) Зміна до радикальної форми. Міць радикала - чисельник показника, 3. Індекс - знаменник показника, 2. \(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\) Спростити. \(\frac{1}{4^3}\) \(\frac{1}{64}\) 2. \(32^{−\frac{2}{5}}\) Перепишіть за допомогою\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\) Зміна до радикальної форми. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\) Перепишіть радиканд як силу. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\) Спростити. \(\frac{1}{2^2}\) \(\frac{1}{4}\) 3. \(4^{−\frac{5}{2}}\) Перепишіть за допомогою\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\) Зміна до радикальної форми. \(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\) Спростити. \(\frac{1}{2^5}\) \(\frac{1}{32}\)
Спростити:
- \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
- \(81^{−\frac{3}{2}}\)
- \(16^{−\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
- \(\frac{1}{32}\)
- \(\frac{1}{729}\)
- \(\frac{1}{8}\)
Спростити:
- \(4^{−\frac{3}{2}}\)
- \(27^{−\frac{2}{3}}\)
- \(625^{−\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{1}{9}\)
- \(\frac{1}{125}\)
Спростити:
- \(−25^{\frac{3}{2}}\)
- \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
- Відповідь
-
1. \(−25^{\frac{3}{2}}\) Рерайт в радикальній формі. \(−(\sqrt{25})^3\) Спростити радикальний \(−5^3\) Спростити. −125 2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\) Перепишіть за допомогою\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\) Рерайт в радикальній формі. \(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\) Спростити радикал. \(−(\frac{1}{5^3})\) Спростити. \(−\frac{1}{125}\) 3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\). Рерайт в радикальній формі. \((\sqrt{−25})^3\) Не існує дійсного числа, квадратний корінь якого дорівнює −25. Чи не дійсне число.
Спростити:
- \(−16^{\frac{3}{2}}\)
- \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).
- Відповідь
-
- −64
- \(−\frac{1}{64}\)
- не дійсне число
Спростити:
- \(−81^{\frac{3}{2}}\)
- \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).
- Відповідь
-
- −729
- \(−\frac{1}{729}\)
- не дійсне число
Використовуйте закони експонентів для спрощення виразів з раціональними показниками
Ті самі закони експонентів, які ми вже використовували, застосовуються і до раціональних показників. Ми перерахуємо властивості експоненти тут, щоб мати їх для довідки, оскільки ми спрощуємо вирази.
Якщо a, b - дійсні числа, а m, n - раціональні числа, то
\[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]
Коли ми множимо одну і ту ж базу, ми додаємо показники.
Спростити:
- \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
- \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
- \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).
- Відповідь
-
1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\) Бази однакові, тому ми додаємо експоненти. \(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\) Додайте дроби. \(2^{\frac{6}{2}}\) Спрощення показника. \(2^3\) Спростити. 8 2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\) Бази однакові, тому ми додаємо експоненти. \(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\) Додайте дроби. \(x^{\frac{6}{3}}\) Спростити. \(x^2\) 3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\) Бази однакові, тому ми додаємо експоненти. \(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\) Додайте дроби. \(z^{\frac{8}{4}}\) Спростити. \(z^2\)
Спростити:
- \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
- \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
- \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).
- Відповідь
-
- 9
- \(y^3\)
- м
Спростити:
- \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
- \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
- \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).
- Відповідь
-
- 25
- z
- п
У наступному прикладі ми будемо використовувати властивість Power.
Спростити:
- \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
- \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
- \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).
- Відповідь
-
1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \(x^{4·\frac{1}{2}}\) Спростити. \(x^2\) 2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \(y^{6·\frac{1}{3}}\) Спростити. \(y^2\) 3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \(z^{9·\frac{2}{3}}\) Спростити. \(z^6\)
Спростити:
- \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
- \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
- \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)
- Відповідь
-
- \(p^\)
- \(q^6\)
- \(x^8\)
Спростити:
- \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
- \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
- \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)
- Відповідь
-
- \(r^{10}\)
- \(s^9\)
- \(m^2\)
Коефіцієнтна властивість говорить нам, що коли ми ділимо з тією ж базою, ми віднімаємо показники.
Спростити:
- \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
- \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
- \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).
- Відповідь
-
1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\) Для поділу з однаковою базою віднімаємо показники. \(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\) Спростити. х 2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\) Для поділу з однаковою базою віднімаємо показники. \(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\) Спростити. \(y^{\frac{1}{2}}\) 3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\) Для поділу з однаковою базою віднімаємо показники. \(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\) Перепишіть без негативного показника. \(\frac{1}{z}\)
Спростити:
- \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
- \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
- \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).
- Відповідь
-
- у
- \(v^{\frac{1}{5}}\)
- \(\frac{1}{x}\)
Спростити:
- \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
- \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
- \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).
- Відповідь
-
- \(c^2\)
- \(\frac{1}{m}\)
- \(\frac{1}{d}\)
Іноді нам потрібно використовувати більше одного властивості. У наступних двох прикладах ми будемо використовувати як Product to a Power Property, а потім Power Property.
Спростити:
- \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
- \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
- Відповідь
-
1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property. \((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) Перепишіть 27 як силу 3. \((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\) Спростити. \(9u^{\frac{1}{3}}\) 2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\). Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property. \((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\) Перепишіть 8 як потужність 2. \((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\) Спростити. \(4v^{\frac{1}{6}}\)
Спростити:
- \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
- \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).
- Відповідь
-
- \(8x^{\frac{1}{5}}\)
- \(4y^{\frac{2}{9}}\)
Спростити:
- \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
- \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).
- Відповідь
-
- \(64m^{\frac{1}{2}}\)
- \(729n^{\frac{3}{5}}\)
Спростити:
- \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
- \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).
- Відповідь
-
1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\) Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property. \((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \(mn^3\) 2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\) Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property. \((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\) Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники. \(pq^2\)
У наступному прикладі ми будемо використовувати як Product, так і Quotient Properties.
Спростити:
- \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
- \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).
- Відповідь
-
1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\) Використовуйте Product Property в чисельнику, додайте показники. \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\) Використовуйте властивість Коефіцієнт, відніміть показники. \(x^{\frac{8}{4}}\) Спростити. \(x^2\) 2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\) Використовуйте Product Property в чисельнику, додайте показники. \(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\) Використовуйте властивість Коефіцієнт, відніміть показники. \(y^{\frac{9}{3}}\) Спростити. \(y^3\)
Спростити:
- \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
- \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).
- Відповідь
-
- \(m^2\)
- \(n^3\)
Спростити:
- \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
- \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).
- Відповідь
-
- \(u^3\)
- \(v^5\)
Ключові поняття
- Резюме властивостей експоненти
- Якщо a, b - дійсні числа, а m, n - раціональні числа, то
- Властивість продукту\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
- Власне майно\((a^m)^n=a^{m·n}\)
- Продукт до влади\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
- Частота власності:
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)
\(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)
- Визначення нульового показника\(a^0=1, a \ne 0\)
- Коефіцієнт до власності влади\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)
Глосарій
- раціональні показники
-
- Якщо\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом і\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
- Для будь-яких натуральних чисел m та n,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) і\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)