5.2: Розв'язувати системи рівнянь шляхом заміщення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58692

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Вирішити систему рівнянь шляхом підстановки
Розв'язування додатків систем рівнянь шляхом підстановки

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Спростити −5 (3−x).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.10.43.
Спростити 4−2 (n+5).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.10.41.
Вирішити для y. 8y−8=32−2y
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 2.3.22.
Вирішити для x. 3x−9y=−3
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 2.6.22.

Розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою графіків є хорошим способом візуалізації типів рішень, які можуть бути результатом. Однак є багато випадків, коли рішення системи за допомогою графіків є незручним або неточним. Якщо графіки виходять за межі маленької сітки з x та y між −10 та 10, графічне виконання рядків може бути громіздким. І якщо рішення системи не є цілими числами, важко прочитати їх значення точно з графіка.

У цьому розділі ми будемо вирішувати системи лінійних рівнянь методом підстановки.

Розв'язувати систему рівнянь шляхом заміщення

Ми будемо використовувати ту саму систему, яку ми використовували спочатку для графіків.

$\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{array}\right.$

Спочатку ми вирішимо одне з рівнянь для x або y. Ми можемо вибрати будь-яке рівняння і вирішити для будь-якої змінної, але ми спробуємо зробити вибір, який полегшить роботу.

Потім ми підставляємо цей вираз в інше рівняння. Результатом є рівняння лише з однією змінною - і ми знаємо, як їх вирішити!

Після того, як ми знайдемо значення однієї змінної, ми підставимо це значення в одне з вихідних рівнянь і вирішимо для іншої змінної. Нарешті, ми перевіряємо наше рішення і переконуємося, що воно робить обидва рівняння істинними.

Ми заповнимо всі ці кроки зараз у Вправи$\PageIndex{1}$.

Вправа$\PageIndex{1}$: How to Solve a System of Equations by Substitution

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{array}\right.$

Відповідь: $Ця цифра має три стовпчики і шість рядків. Перший ряд говорить: «Крок 1. Розв'яжіть одне з рівнянь для будь-якої змінної.» Праворуч від цього, середній рядок читає: «Ми вирішимо перше рівняння для y». Третій стовпець показує два рівняння: 2x + y = 7 і x — 2y = 6. Це показує, що 2x + y = 7 стає y = 7 - 2x.$ $Другий ряд говорить: «Крок 2. Підставте вираз з кроку 1 в інше рівняння». Потім «Замінюємо y у другому рівнянні виразом 7 — 2x». Потім він показує х - 2y = 6 стає х - 2 (7 - 2x) = 6.$ $Третій ряд говорить: «Крок 3: Розв'яжіть отримане рівняння». Тоді «Тепер у нас є рівняння лише з 1 змінною. МИ знаємо, як це вирішити!» Потім він показує, що х - 2 (7 - 2x) = 6 стає х - 14 + 4x = 6, який стає 5x = 20. Таким чином х = 4.$ $Четвертий ряд говорить: «Крок 4. Замініть рішення на кроці 3 на одну з оригінальних quaitons, щоб знайти іншу змінну.» Потім «Ми використаємо перше рівняння і замінимо x на 4.» Потім він показує, що 2x + y = 7 стає 2 (4) + y = 7. Це стає 8 + y = 7, і, таким чином, y = −1.$ $П'ятий ряд говорить: «Крок 5. Напишіть рішення як впорядковану пару». Потім «Впорядкований повітря - (x, y)». Потім (4, −1).$ $Шостий ряд говорить: «Крок 6. Переконайтеся, що пара порядку є рішенням обох вихідних рівнянь». Потім «Замініть (4, −1) в обидва рівняння і переконайтеся, що вони обидва істинні.» Потім він показує, що 2x+ y = 7 стає 2 (4) + −1 = 7, і таким чином 7 = 7. Це також показує, що x — 2y = 6 стає 4 — 2 (−1) = 6, а отже 6−6. Він також стверджує: «Обидва рівняння є істинними. (4, −1) є розв'язком системи».$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{-2 x+y=-11} \\ {x+3 y=9}\end{array}\right.$

Відповідь: (6,1)

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x+3 y=10} \\ {4 x+y=18}\end{array}\right.$

Відповідь: (4,2)

ВИРІШИТИ СИСТЕМУ РІВНЯНЬ ШЛЯХОМ ПІДМІЩЕННЯ.

Розв'яжіть одне з рівнянь для будь-якої змінної.
Підставте вираз з кроку 1 в інше рівняння.
Вирішити отримане рівняння.
Підставте рішення на кроці 3 в одне з вихідних рівнянь, щоб знайти іншу змінну.
Запишіть рішення як впорядковану пару.
Переконайтеся, що впорядкована пара є розв'язком обох вихідних рівнянь.

Якщо одне з рівнянь у системі задано у формі нахилу—перехоплення, крок 1 вже зроблений! Ми побачимо це в Вправи$\PageIndex{4}$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1} \\ {y=x+5}\end{array}\right.$

Відповідь

Друге рівняння вже вирішено для y. Ми підставимо вираз замість y в першому рівнянні.

	$.$
Друге рівняння вже вирішено для y. Ми підставимо в перше рівняння.
Замініть y на x + 5.	$.$
Розв'яжіть отримане рівняння для x.	$.$
	$.$
	$.$
Заставте x = −3 на y = x + 5, щоб знайти y.	$.$
	$.$
Впорядкована пара дорівнює (−3, 2).	$.$
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях: $\begin{array} {rllrll} x+y &=&-1 & y&=&x+5\\-3+2 &\stackrel{?}{=}&-1 &2& \stackrel{?}{=} & -3 + 5\\-1 &=&-1\checkmark &2 &=&2\checkmark \end{array}$
	Розв'язок є (−3, 2).

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x+y=6} \\ {y=3 x-2}\end{array}\right.$

Відповідь: (2,4)

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{2 x-y=1} \\ {y=-3 x-6}\end{array}\right.$

Відповідь: (−1, −3)

Якщо рівняння наведені в стандартному вигляді, нам потрібно буде почати з розв'язання однієї зі змінних. У наступному прикладі ми вирішимо перше рівняння для y.

Вправа$\PageIndex{7}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{3 x+y=5} \\ {2 x+4 y=-10}\end{array}\right.$

Відповідь

Нам потрібно вирішити одне рівняння для однієї змінної. Тоді ми підставимо цей вираз в інше рівняння.

Вирішити для y. Підставляємо в інше рівняння.	$.$
Замініть y на −3 x + 5.	$.$
Розв'яжіть отримане рівняння для x.	$.$
	$.$ $.$
Підставте x = 3 на 3 x + y = 5, щоб знайти y.	$Приклад 5.15.jpg$
	$.$ $.$
Впорядкована пара дорівнює (3, −4).	$.$
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях: $\begin{array} {rllrll} 3x+y &=&5 & 2x+4y&=&-10\\3\cdot3+(-4) &\stackrel{?}{=}&5 &2\cdot3 + 4(-4)& \stackrel{?}{=} & -10\\9-4&\stackrel{?}{=}&5 &6-16& \stackrel{?}{=} & -10\\5 &=&5\checkmark &-10&=&-10\checkmark \end{array}$
	Розв'язок є (3, −4).

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{4 x+y=2} \\ {3 x+2 y=-1}\end{array}\right.$

Відповідь: (1, −2)

Вправа$\PageIndex{9}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{-x+y=4} \\ {4 x-y=2}\end{array}\right.$

Відповідь: (2,6)

У Вправі$\PageIndex{7}$ було найпростіше вирішити для y в першому рівнянні, оскільки воно мало коефіцієнт 1. У Вправі$\PageIndex{10}$ це буде легше вирішити для х.

Вправа$\PageIndex{10}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x-2 y=-2} \\ {3 x+2 y=34}\end{array}\right.$

Відповідь

Ми вирішимо перше рівняння для xx, а потім підставимо вираз у друге рівняння.

	$.$
Вирішити для х. Підставляємо в інше рівняння.	$.$
Замініть x на 2 y − 2.	$.$
Розв'яжіть отримане рівняння для y.	$.$
Заставте y = 5 на x − 2 y = −2, щоб знайти x.	$.$ $.$ $.$ $.$ $.$ $.$
Впорядкована пара - (8, 5).
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях: $\begin{array} {rllrll} x-2y &=&-2 & 3x+2y&=&34\\8-2\cdot 5 &\stackrel{?}{=}&-2 &3\cdot8 + 2\cdot5& \stackrel{?}{=} & 34\\8-10&\stackrel{?}{=}&-2 &24+10& \stackrel{?}{=} & 34\\-2 &=&-2\checkmark &34&=&34\checkmark \end{array}$
	Рішення таке (8, 5).

Вправа$\PageIndex{11}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x-5 y=13} \\ {4 x-3 y=1}\end{array}\right.$

Відповідь: (−2, −3)

Вправа$\PageIndex{12}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x-6 y=-6} \\ {2 x-4 y=4}\end{array}\right.$

Відповідь: (6,2)

Коли обидва рівняння вже вирішені для однієї і тієї ж змінної, її легко замінити!

Вправа$\PageIndex{13}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {y=\frac{1}{2} x}\end{array}\right.$

Відповідь

Оскільки обидва рівняння вирішуються для y, ми можемо підставити одне в інше.

$\frac{1}{2}x$Замініть y в першому рівнянні.	$.$
Замініть y на$\frac{1}{2}x$	$.$
Вирішити отримане рівняння. Почніть з очищення дробу.	$.$
Вирішити для х.	$.$
	$.$
Заставте x = 2 в$y = \frac{1}{2}x$, щоб знайти y.	$.$ $.$ $.$
Впорядкована пара становить (2,1).
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях: $\begin{array} {rllrll} y &=&\frac{1}{2}x & y&=&-2x+5\\1 &\stackrel{?}{=}&\frac{1}{2}\cdot2 &1& \stackrel{?}{=} & -2\cdot2+5\\1 &=&1\checkmark &1 &=&-4+5\\ &&&1&=&1\checkmark \end{array}$
	Рішення таке (2,1).

Вправа$\PageIndex{14}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{y=3 x-16} \\ {y=\frac{1}{3} x}\end{array}\right.$

Відповідь: (6,2)

Вправа$\PageIndex{15}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{y=-x+10} \\ {y=\frac{1}{4} x}\end{array}\right.$

Відповідь: (8,2)

Будьте дуже обережні з ознаками в наступному прикладі.

Вправа$\PageIndex{16}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{4 x+2 y=4} \\ {6 x-y=8}\end{array}\right.$

Відповідь

Нам потрібно вирішити одне рівняння для однієї змінної. Вирішимо перше рівняння для y.

	$.$
Розв'яжіть перше рівняння для y.	$.$
Замініть −2 x + 2 для y у другому рівнянні.	$.$
Замініть y на −2 x + 2.	$.$
Розв'яжіть рівняння для x.	$.$
	$.$ $.$
$x = \frac{5}{4}$Підставте на 4 х + 2 y = 4, щоб знайти y.	$.$ $.$ $.$ $.$ $.$
Впорядкована пара є$(\frac{5}{4},−\frac{1}{2})$.
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях. $\begin{array} {rllrll} 4x+2y &=&4& 6x-y&=&8\\4(\frac{5}{4}) +2(-\frac{1}{2})&\stackrel{?}{=}&4 &6(\frac{5}{4}) - (-\frac{1}{2})& \stackrel{?}{=} & 8\\5-1&\stackrel{?}{=}&4 &\frac{15}{4} - (-\frac{1}{2}) &\stackrel{?}{=} & 8\\4 &=&4\checkmark &\frac{16}{2} &\stackrel{?}{=}&8\\ &&&8&=&8\checkmark \end{array}$
	Розв'язок є (54, −12).

Вправа$\PageIndex{17}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{x-4 y=-4} \\ {-3 x+4 y=0}\end{array}\right.$

Відповідь: $(2,\frac{3}{2})$

Вправа$\PageIndex{18}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{4 x-y=0} \\ {2 x-3 y=5}\end{array}\right.$

Відповідь: $(−\frac{1}{2},−2)$

У прикладі знадобиться трохи більше роботи, щоб вирішити одне рівняння для x або y.

Вправа$\PageIndex{19}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=6} \\ {15 y-20 x=-30}\end{array}\right.$

Відповідь

Нам потрібно вирішити одне рівняння для однієї змінної. Ми вирішимо перше рівняння для x.

	$.$
Розв'яжіть перше рівняння для x.	$.$
$\frac{3}{4} y+\frac{3}{2}$Замініть x у другому рівнянні.	$.$
Замініть x на$\frac{3}{4} y+\frac{3}{2}$	$.$
Вирішити для y.	$.$
	$.$
	$.$

Оскільки 0 = 0 є істинним твердженням, система послідовна. Рівняння залежні. Графіки цих двох рівнянь дали б одну і ту ж лінію. Система має нескінченно багато рішень.

Вправа$\PageIndex{20}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{2 x-3 y=12} \\ {-12 y+8 x=48}\end{array}\right.$

Відповідь: нескінченно багато рішень

Вправа$\PageIndex{21}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{5 x+2 y=12} \\ {-4 y-10 x=-24}\end{array}\right.$

Відповідь: нескінченно багато рішень

Подивіться назад на рівняння у вправі$\PageIndex{22}$. Чи є спосіб визнати, що вони є однією лінією?

Давайте подивимося, що відбувається в наступному прикладі.

Вправа$\PageIndex{22}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{5 x-2 y=-10} \\ {y=\frac{5}{2} x}\end{array}\right.$

Відповідь

Друге рівняння вже вирішено для y, тому ми можемо замінити y в першому рівнянні.

Замініть x на y у першому рівнянні.	$.$
Замініть y на$\frac{5}{2}x$.	$.$
Вирішити для х.	$.$
	$.$

Оскільки 0 = −10 є помилковим твердженням, рівняння несумісні. Графіки двох рівнянь були б паралельними лініями. Система не має рішень.

Вправа$\PageIndex{23}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=9} \\ {y=-\frac{3}{2} x+1}\end{array}\right.$

Відповідь: немає рішення

Вправа$\PageIndex{24}$

Вирішити систему шляхом підміни. $\left\{\begin{array}{l}{5 x-3 y=2} \\ {y=\frac{5}{3} x-4}\end{array}\right.$

Відповідь: немає рішення

Розв'язування застосувань систем рівнянь заміщенням

Тут ми скопіюємо стратегію розв'язання задач, яку ми використовували в розділі Розв'язування систем рівнянь методом графіків для розв'язування систем рівнянь. Тепер, коли ми знаємо, як вирішити системи шляхом підміни, це те, що ми і зробимо в кроці 5.

ЯК ВИКОРИСТОВУВАТИ СТРАТЕГІЮ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

Прочитайте проблему. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.
Визначте, що ми шукаємо.
Назвіть те, що ми шукаємо. Виберіть змінні для представлення цих величин.
Перевести в систему рівнянь.
Розв'яжіть систему рівнянь, використовуючи методи хорошої алгебри.
Перевірте відповідь в проблемі і переконайтеся, що це має сенс.
Відповісти на питання повним реченням.

Деякі люди вважають, що налаштування проблем зі словами з двома змінними простіше, ніж налаштування їх лише за допомогою однієї змінної. Вибір імен змінних простіше, коли все, що вам потрібно зробити, це записати дві літери. Подумайте про це в наступному прикладі - як би ви зробили це лише з однією змінною?

Вправа$\PageIndex{25}$

Сума двох чисел дорівнює нулю. Одне число на дев'ять менше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь

Крок 1. Прочитайте проблему.
Крок 2. Визначте, що ми шукаємо.	Шукаємо два числа.
Крок 3. Назвіть те, що ми шукаємо.	Нехай n = перше число Нехай m = друге число
Крок 4. Перевести в систему рівнянь.	Сума двох чисел дорівнює нулю.
	$.$
	Одне число на дев'ять менше іншого.
	$.$
Система являє собою:	$.$
Крок 5. Розв'яжіть систему рівнянь. Ми будемо використовувати підстановку, оскільки друге рівняння вирішується для n.
Замініть m − 9 для n у першому рівнянні.	$.$
Вирішити для м.	$.$
	$.$
	$.$
$m=\frac{9}{2}$Підставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо для n.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Крок 6. Перевірте відповідь в проблемі.	Чи мають ці цифри сенс у проблемі? Ми залишимо це вам!
Крок 7. Дайте відповідь на питання.	Цифри -$\frac{9}{2}$ і$-\frac{9}{2}$.

Вправа$\PageIndex{26}$

Сума двох чисел дорівнює 10. Одне число на 4 менше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь: Цифри - 3 і 7.

Вправа$\PageIndex{27}$

Сума двох чисел дорівнює −6. Одне число на 10 менше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь: Числа: 2 та −8.

У$\PageIndex{28}$ вправі ми будемо використовувати формулу периметра прямокутника, P = 2 L + 2 W.

Вправа$\PageIndex{28}$

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

Крок 1. Прочитайте проблему.	$.$
Крок 2. Визначте, що ви шукаєте.	Шукаємо довжину і ширину.
Крок 3. Назвіть те, що ми шукаємо.	Нехай L = довжина W= ширина
Крок 4. Перевести в систему рівнянь.	Периметр прямокутника дорівнює 88.
	2 Л + 2 Ш = П $.$
	Довжина на п'ять більше, ніж в два рази більше ширини.
	$.$
Система являє собою:	$.$
Крок 5. Розв'яжіть систему рівнянь. Ми будемо використовувати підстановку, оскільки друге рівняння вирішується для L. У першому рівнянні підставити 2 W + 5 на L.	$.$
Вирішити для W.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Підставте W = 13 у друге рівняння, а потім вирішіть для L.	$.$
	$.$
	$.$
Крок 6. Перевірте відповідь в проблемі.	Чи має прямокутник довжиною 31 і шириною 13 периметр 88? Так.
Крок 7. Дайте відповідь на рівняння.	Довжина 31, а ширина - 13.

Вправа$\PageIndex{29}$

Периметр прямокутника дорівнює 40. Довжина на 4 більше ширини. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

Відповідь: Довжина - 12, а ширина - 8.

Вправа$\PageIndex{30}$

Периметр прямокутника - 58. Довжина в 5 більше, ніж в три рази більше ширини. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

Відповідь: Довжина - 23, а ширина - 6.

Для вправи$\PageIndex{31}$ нам потрібно пам'ятати, що сума мір кутів трикутника становить 180 градусів і що прямокутний трикутник має один кут 90 градусів.

Вправа$\PageIndex{31}$

Міра одного з малих кутів прямокутного трикутника в десять більше трьох разів перевищує міру іншого маленького кута. Знайдіть міри обох кутів.

Відповідь

Намалюємо і позначимо фігуру.

Крок 1. Прочитайте проблему.	$.$
Крок 2. Визначте, що ви шукаєте.	Шукаємо мірки кутів.
Крок 3. Назвіть те, що ми шукаємо.	Нехай a= міра ^1-го кута b= міра ^2-го кута
Крок 4. Перевести в систему рівнянь.	Міра одного з малих кутів прямокутного трикутника в десять більше трьох разів перевищує міру іншого маленького кута.
	$.$
	Сума мір кутів трикутника дорівнює 180.
	$.$
Система являє собою:	$.$
Крок 5. Розв'яжіть систему рівнянь. Ми будемо використовувати підстановку, оскільки перше рівняння вирішується для a.	$.$
У другому рівнянні підставити 3 b + 10 для a.	$.$
Вирішити для б.	$.$
	$.$
	$.$
Заставте b = 20 в перше рівняння, а потім вирішіть для a.	$.$ $.$
Крок 6. Перевірте відповідь в проблемі.	Ми залишимо це вам!
Крок 7. Дайте відповідь на питання.	Міри малих кутів - 20 і 70.

Вправа$\PageIndex{32}$

Міра одного з малих кутів прямокутного трикутника в 2 більше, ніж в 3 рази більше, ніж міра іншого малого кута. Знайдіть міру обох кутів.

Відповідь: Міра кутів - 22 градуси і 68 градусів.

Вправа$\PageIndex{33}$

Міра одного з малих кутів прямокутного трикутника на 18 менше, ніж в два рази більше, ніж міра іншого малого кута. Знайдіть міру обох кутів.

Відповідь: Міра кутів - 36 градусів і 54 градуси.

Вправа$\PageIndex{34}$

Хізер було запропоновано два варіанти її зарплати в якості тренера в тренажерному залі. Варіант А заплатив би їй 25 000 доларів плюс 15 доларів за кожне тренування. Варіант B заплатив би їй $10000 + $40 за кожне тренування. Скільки навчальних занять зробить варіанти заробітної плати рівними?

Відповідь

Крок 1. Прочитайте проблему.
Крок 2. Визначте, що ви шукаєте.	Ми шукаємо кількість тренувань , які б зробили оплату рівною.
Крок 3. Назвіть те, що ми шукаємо.	Нехай s= зарплата Хізер. n= кількість навчальних занять
Крок 4. Перевести в систему рівнянь.	Варіант А заплатив би їй 25 000 доларів плюс 15 доларів за кожне тренування.
	$.$
	Варіант B заплатив би їй $10000 + $40 за кожне тренування
	$.$
Система являє собою:	$.$
Крок 5. Розв'яжіть систему рівнянь. Будемо використовувати підміну.	$.$
У другому рівнянні підставити 25 000 + 15 n для s.	$.$
Вирішити для п.	$.$
	$.$
	$.$
Крок 6. Перевірте відповідь.	Чи є розумними 600 тренувань на рік? Чи однакові два варіанти, коли n = 600?
Крок 7. Дайте відповідь на питання.	Варіанти заробітної плати дорівнювали б 600 навчальних занять.

Вправа$\PageIndex{35}$

Джеральдін запропонувала позиції двома страховими компаніями. Перша компанія виплачує зарплату в розмірі 12 000 доларів плюс комісію в розмірі 100 доларів за кожен проданий поліс. Другий платить зарплату в розмірі 20 000 доларів плюс комісія в розмірі 50 доларів за кожен проданий поліс. Скільки полісів потрібно було б продати, щоб загальна оплата була однаковою?

Відповідь: Там потрібно було б 160 полісів продати, щоб загальна оплата була однаковою.

Вправа$\PageIndex{36}$

В даний час Кеннет продає костюми для компанії А із зарплатою 22 000 доларів плюс комісія в розмірі 10 доларів США за кожен проданий костюм. Компанія B пропонує йому посаду із зарплатою 28 000 доларів плюс комісія в розмірі 4 доларів за кожен проданий костюм. Скільки костюмів потрібно було б продати Кеннету, щоб варіанти були рівними?

Відповідь: Кеннету потрібно було б продати 1000 костюмів.

Примітка

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для отримання додаткових інструкцій та практики з розв'язуванням систем рівнянь шляхом підстановки.

Ключові концепції

Вирішити систему рівнянь шляхом підстановки
1. Розв'яжіть одне з рівнянь для будь-якої змінної.
2. Підставте вираз з кроку 1 в інше рівняння.
3. Вирішити отримане рівняння.
4. Підставте рішення на кроці 3 в одне з вихідних рівнянь, щоб знайти іншу змінну.
5. Запишіть рішення як впорядковану пару.
6. Переконайтеся, що впорядкована пара є розв'язком обох вихідних рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{1}\): How to Solve a System of Equations by Substitution

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

ВИРІШИТИ СИСТЕМУ РІВНЯНЬ ШЛЯХОМ ПІДМІЩЕННЯ.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

ЯК ВИКОРИСТОВУВАТИ СТРАТЕГІЮ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

Вправа\(\PageIndex{28}\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

Вправа\(\PageIndex{30}\)

Вправа\(\PageIndex{31}\)

Вправа\(\PageIndex{32}\)

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Вправа\(\PageIndex{34}\)

Вправа\(\PageIndex{35}\)

Вправа\(\PageIndex{36}\)

Примітка

\(\frac{1}{2}x\)Замініть y в першому рівнянні.	$.$
Замініть y на\(\frac{1}{2}x\)	$.$
Вирішити отримане рівняння. Почніть з очищення дробу.	$.$
Вирішити для х.	$.$
	$.$
Заставте x = 2 в\(y = \frac{1}{2}x\), щоб знайти y.	$.$ $.$ $.$
Впорядкована пара становить (2,1).
Перевірте впорядковану пару в обох рівняннях: \(\begin{array} {rllrll} y &=&\frac{1}{2}x & y&=&-2x+5\\1 &\stackrel{?}{=}&\frac{1}{2}\cdot2 &1& \stackrel{?}{=} & -2\cdot2+5\\1 &=&1\checkmark &1 &=&-4+5\\ &&&1&=&1\checkmark \end{array}\)
	Рішення таке (2,1).

	$.$
Розв'яжіть перше рівняння для x.	$.$
\(\frac{3}{4} y+\frac{3}{2}\)Замініть x у другому рівнянні.	$.$
Замініть x на\(\frac{3}{4} y+\frac{3}{2}\)	$.$
Вирішити для y.	$.$
	$.$
	$.$

Замініть x на y у першому рівнянні.	$.$
Замініть y на\(\frac{5}{2}x\).	$.$
Вирішити для х.	$.$
	$.$