3.6: Розв'язуйте програми з лінійними нерівностями

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Розв'язуйте програми з лінійними нерівностями

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Запишіть як нерівність: x дорівнює не менше 30.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 2.7.34.
2. Вирішити\(8−3y<41\).
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 2.7.22.

Розв'язуйте програми з лінійними нерівностями

Багато реальних життєвих ситуацій вимагають від нас вирішення нерівностей. Насправді, додатки нерівності настільки поширені, що ми часто навіть не усвідомлюємо, що робимо алгебру. Наприклад, скільки галонів газу можна покласти в машину за 20 доларів? Чи доступна оренда на квартиру? Чи достатньо часу перед заняттям, щоб піти обідати, з'їсти його та повернутися? Скільки грошей повинен коштувати святковий подарунок кожного члена сім'ї, не переходячи бюджет?

Метод, який ми будемо використовувати для вирішення додатків з лінійними нерівностями, дуже схожий на той, який ми використовували, коли ми вирішували додатки з рівняннями. Ми прочитаємо проблему і переконаємося, що всі слова зрозумілі. Далі ми визначимо, що ми шукаємо, і присвоїмо змінну для її представлення. Ми повторюємо проблему в одному реченні, щоб її було легко перевести в нерівність. Тоді ми вирішимо нерівність.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Емма влаштувалася на нову роботу і доведеться переїжджати. Її щомісячний дохід складе $5265. Щоб претендувати на оренду квартири, щомісячний дохід Емми повинен бути щонайменше в три рази більше, ніж орендна плата. На яку найвищу орендну плату Емма буде претендувати?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Алан завантажує піддон ящиками, кожен з яких важить 45 фунтів. Піддон може спокійно витримати не більше 900 фунтів. Скільки ящиків він може спокійно завантажити на піддон?

Відповідь

Коробків може бути не більше 20.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

На ліфті в житловому будинку Єхіра є табличка, на якій написано, що максимальна вага становить 2100 фунтів. Якщо середня вага однієї людини становить 150 фунтів, скільки людей можуть спокійно їздити на ліфті?

Відповідь

Максимум 14 осіб можуть спокійно їздити в ліфті.

Іноді додаток вимагає, щоб рішення було цілим числом, але алгебраїчне рішення нерівності не є цілим числом. У такому випадку ми повинні округлити алгебраїчний розв'язок до цілого числа. Контекст програми визначатиме, округляємо ми вгору чи вниз. Щоб перевірити додатки, як це, ми округлимо нашу відповідь на число, яке легко обчислити з і переконайтеся, що число робить нерівність істинним.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Dawn виграла міні-грант у розмірі 4000 доларів на придбання планшетних комп'ютерів для свого класу. Планшети, які вона хотіла б придбати, коштують $254,12 кожен, включаючи податок та доставку. Яку максимальну кількість планшетів Dawn можна купити?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Енджі має 20 доларів, щоб витратити на коробки для соку для дошкільного пікніка її сина. Кожна упаковка коробок для соку коштує $2,63. Яку максимальну кількість пачок вона може купити?

Відповідь

сім пачок

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Даніель хоче здивувати свою дівчину з днем народження в її улюбленому ресторані. Це буде коштувати $42.75 на людину за вечерю, включаючи чайові та податок. Його бюджет на вечірку становить 500 доларів. Яку максимальну кількість людей може мати Данило на вечірці?

Відповідь

11 осіб

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Піт працює в комп'ютерному магазині. Його щотижнева оплата буде або фіксованою сумою, $925, або $500 плюс 12% від його загального обсягу продажів. Скільки повинен бути його загальний обсяг продажів для його змінної оплати, щоб перевищити фіксовану суму $925?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Тіффані щойно закінчила коледж, і її нова робота буде платити їй $20000 на рік плюс 2% від усіх продажів. Вона хоче заробляти не менше 100000 доларів на рік. За які загальні продажі вона зможе досягти своєї мети?

Відповідь

принаймні $4000000

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Крістіану запропонували нову роботу, яка платить 24000 доларів на рік плюс 3% продажів. За який загальний обсяг продажів ця нова робота буде платити більше, ніж його поточна робота, яка платить $60000?

Відповідь

не менше $1200000

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Серхіо та Лізет мають дуже жорсткий бюджет на відпустку. Вони планують орендувати автомобіль у компанії, яка стягує $75 на тиждень плюс $0.25 за милю. Скільки миль вони можуть подорожувати і все ще тримати в межах свого бюджету $200?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Телефонний план Талейші коштує їй $28,80 на місяць плюс $0.20 за текстове повідомлення. Скільки текстових повідомлень вона може використовувати і тримати її щомісячний телефонний рахунок не більше $50?

Відповідь

не більше 106 текстових повідомлень

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Рамін рахунок за опалення становить $5.42 на місяць плюс $1,08 за терм. Скільки терм може використовувати Рамін, якщо він хоче, щоб його рахунок за опалення становив максимум $87.50?

Відповідь

не більше 76 терм

Спільною метою більшості підприємств є отримання прибутку. Прибуток - це гроші, які залишаються при відніманні витрат з зароблених грошей. У наступному прикладі ми знайдемо кількість завдань, які маленькому бізнесмену потрібно робити щомісяця, щоб отримати певну суму прибутку.

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Елліот має бізнес з обслуговування ландшафту. Його щомісячні витрати складають 1100 доларів. Якщо він стягує 60 доларів за роботу, скільки робочих місць він повинен зробити, щоб отримувати прибуток щонайменше 4000 доларів на місяць?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Калеб має домашню тварину сидячи бізнес. Він стягує 32 долари на годину. Його щомісячні витрати складають $2272. Скільки годин він повинен пропрацювати, щоб отримувати прибуток не менше 800 доларів на місяць?

Відповідь

не менше 96 годин

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Фелісіті має каліграфічний бізнес. Вона стягує $2,50 за запрошення на весілля. Її щомісячні витрати складають 650 доларів. Скільки запрошень вона повинна написати, щоб заробити прибуток не менше 2800 доларів на місяць?

Відповідь

щонайменше 1380 запрошень

Іноді життя ускладнюється! Існує безліч ситуацій, в яких кілька величин сприяють загальному витраті. Ми повинні обов'язково враховувати всі індивідуальні витрати, коли ми вирішуємо подібні проблеми.

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Найкращий друг Бренда має весілля призначення, і подія триватиме 3 дні. Бренда має 500 доларів заощаджень і може заробляти 15 доларів на годину няні. Вона розраховує заплатити 350 доларів авіаквитків, 375 доларів за їжу та розваги та 60 доларів за ніч за свою частку в готельному номері. Скільки годин вона повинна сидіти, щоб мати достатньо грошей, щоб оплатити поїздку?

Відповідь

\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Малік планує 6-денну літню відпустку. У нього 840 доларів заощаджень, і він заробляє 45 доларів на годину на репетиторство. Поїздка обійдеться йому в 525 доларів за авіаквитки, 780 доларів за їжу та визначні пам'ятки та 95 доларів за ніч за готель. Скільки годин повинен репетитор, щоб вистачило грошей на оплату поїздки?

Відповідь

не менше 23 годин

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Josue хоче відправитися в 10-денну дорожню подорож наступної весни. Це обійдеться йому в 180 доларів за газ, 450 доларів за їжу та 49 доларів за ніч за мотель. Він має $520 заощаджень і може заробити $30 за під'їзну дорогу лопати сніг. Скільки під'їзних шляхів він повинен лопати, щоб мати достатньо грошей, щоб оплатити поїздку?

Відповідь

щонайменше 20 під'їзних шляхів

Ключові поняття

• Рішення нерівностей
  1. Прочитайте проблему.
  2. Визначте, що ми шукаємо.
  3. Назвіть те, що ми шукаємо. Виберіть змінну для представлення цієї кількості.
  4. Перекласти. Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. Перевести в нерівність.
  5. Вирішити нерівність.
  6. Перевірте відповідь в проблемі і переконайтеся, що це має сенс.
  7. Відповісти на питання повним реченням.