1.3: Використовуйте мову алгебри

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використання змінних та алгебраїчних символів
• Спрощення виразів за допомогою порядку операцій
• Оцінити вираз
• Визначте та комбінуйте подібні терміни
• Перекласти англійську фразу на алгебраїчний вираз

Використовувати змінні та алгебраїчні символи

Припустимо, цього року Грегу$20$ років, а Алексу -$23$. Ви знаєте, що Алекс на$3$ роки старший за Грега. Коли Грег був$12$, Алекс був$15$. Коли Грег буде$35$, Алекс буде$38$. Незалежно від віку Грега, вік Алекса завжди буде на 3 роки більше, правда? Мовою алгебри ми говоримо, що вік Грега і вік Алекса є змінними і$3$ є постійною. Віки змінюються («змінюються»), але$3$ роки між ними завжди залишаються однаковими («постійними»). Оскільки вік Грега і вік Алекса завжди будуть відрізнятися$3$ роками,$3$ є постійною. В алгебрі ми використовуємо літери алфавіту для представлення змінних. Отже, якщо ми називаємо вік Грега$g$, то ми могли б використовувати$g + 3g + 3$ для представлення віку Алекса. Див$\PageIndex{1}$. Таблицю.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Вік Грега	вік Алекса
$12$	$15$
$20$	$23$
$35$	$38$
$g$	$g+3$

Букви, що використовуються для представлення цих мінливих віків, називаються змінними. Літери, які найчастіше використовуються для змінних, - це$x, y, a, b,$ і$c$.

Визначення: ЗМІННА

Змінна - це буква, яка представляє число, значення якого може змінюватися.

Визначення: КОНСТАНТА

Константа - це число, значення якого завжди залишається однаковим.

Щоб писати алгебраїчно, нам потрібні деякі символи операції, а також числа та змінні. Є кілька типів символів, які ми будемо використовувати.

Існує чотири основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення та ділення. Нижче ми перерахуємо символи, які використовуються для позначення цих операцій (Таблиця$\PageIndex{2}$). Ви, напевно, розпізнаєте деякі з них. $\require{enclose}$

Таблиця$\PageIndex{2}$

Операція	Позначення	Скажіть:	Результат - це...
Додавання	$a+b$	$a$плюс$b$	сума$a$ і$b$
Віднімання	$a−b$	$a$мінус$b$	різниця$a$ і$b$
множення	$a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b)$	$a$раз$b$	продукт$a$ і$b$
Відділ	$a\div{b}, a/b,\dfrac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$	$a$розділений на$b$	частка$a$ і$b$,$a$ називається дивідендом, і$b$ називається дільником

Виконуємо ці операції над двома числами. При перекладі з символічної форми на англійську, або з англійської на символічну форму зверніть увагу на слова «of» і «і».

• Різниця$9$ і$2$ означає віднімати$9$ і$2$, іншими словами,$9$ мінус$2$, який ми пишемо символічно як$9−2$.
• Твір$4$ і$8$ означає множити$4$ і$8$, іншими словами,$4$ раз$8$, які ми пишемо символічно як$4\cdot 8$.

В алгебрі символ хреста не використовується для показу множення$\times$, оскільки цей символ може спричинити плутанину. Чи$3xy$ означає$3\times y$ («тричі$y$») або$3\cdot x \cdot y$ ($x$тричі$y$)? Щоб було зрозуміло, використовуйте$\cdot$ або дужки для множення.

Коли дві величини мають однакове значення, ми говоримо, що вони рівні і з'єднуємо їх знаком рівності.

СИМВОЛ РІВНОСТІ

$a = b$$a$читається «дорівнює$b$»

Символ$“=”$ називається знаком рівності.

На числовому рядку числа стають більшими, коли вони йдуть зліва направо. Числовий рядок може бути використана для пояснення символів$“<”$ і$“>"$.

НЕРІВНІСТЬ

$a<b$$a$читається «менше, ніж$b$»

$a$знаходиться$b$ ліворуч від числового рядка

Малюнок$\PageIndex{1}$

$a>b$$a$читається "більше, ніж$b$»

$a$знаходиться праворуч$b$ від номера рядка

Малюнок$\PageIndex{2}$

Вирази$a < b$ або$a > b$ можуть бути прочитані зліва направо або справа наліво, хоча англійською мовою ми зазвичай читаємо зліва направо Таблиця$\PageIndex{3}$. Загалом,$a < b$ рівнозначний$b > a$. Наприклад,$7 < 11$ еквівалентний$11 > 7$. І$a > b$ рівноцінний$b < a$. Наприклад,$17 > 4$ еквівалентний$4 < 17$.

Таблиця$\PageIndex{3}$

Символи нерівності	Слова
$a \neq b$	$a$не дорівнює$b$
$a < b$	$a$менше$b$
$a \leq b$	$a$менше або дорівнює$b$
$a > b$	$a$більше, ніж$b$
$a \geq b$	$a$більше або не дорівнює$b$

Вправа$\PageIndex{1}$

Перекласти з алгебри на англійську мову:

1. $17 \leq 26$
2. $8 \neq 17 - 3$
3. $12 > 27 \div 3$
4. $y + 7 < 19$

Відповідь

1. $17 \leq 26$$17$, менше або дорівнює$26$
2. $8 \neq 17 - 3$, не$8$ дорівнює$17$ мінус$3$
3. $12 > 27 \div 3$, більше$12$, ніж$27$ розділений на$3$
4. $y + 7 < 19$,$y$ плюс$7$ менше$19$

Вправа$\PageIndex{2}$

Перекласти з алгебри на англійську мову:

1. $14 \leq 27$
2. $19 - 2 \neq 8$
3. $12 > 4 \div 2$
4. $x - 7 < 1$

Відповідь

1. $14$менше або дорівнює$27$
2. $19$$2$мінус не дорівнює$8$
3. $12$більше, ніж$4$ ділиться на$2$
4. $x$$7$мінус менше$1$

Вправа$\PageIndex{3}$

Перекласти з алгебри на англійську мову:

1. $19 \leq 15$
2. $7 = 12 - 5$
3. $15 \div 3 < 8$
4. $y + 3 < 6$

Відповідь

1. $19$більше або дорівнює$15$
2. $7$дорівнює$12$ мінус$5$
3. $15$$3$ділиться на менше$8$
4. $y$плюс$3$ більше, ніж$6$

Угруповання символів в алгебрі багато в чому схожі на коми, двокрапки та інші розділові знаки в англійській мові. Вони допомагають зрозуміти, які вирази слід зберігати разом і відокремлювати від інших виразів. Зараз ми представимо три типи.

УГРУПУВАННЯ СИМВОЛІВ

$$\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}$$

Ось кілька прикладів виразів, які містять символи групування. Ми спростимо такі вирази пізніше в цьому розділі.

$$8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}$$

Яка різниця в англійській мові між фразою і реченням? Фраза виражає єдину думку, яка сама по собі неповна, але речення робить повне твердження. «Біг дуже швидко» - це фраза, але «Футболіст біг дуже швидко» - це речення. У реченні є підмет і дієслово. В алгебрі ми маємо вирази і рівняння.

ВИРАЗ

Вираз - це число, змінна або комбінація чисел і змінних з використанням символів операції.

Вираз схоже на англійську фразу. Ось кілька прикладів виразів:

Таблиця$\PageIndex{4}$

Вираз	Слова	Англійська фраза
$3 + 5$	$3$плюс$5$	сума трьох і п'ять
$n − 1$	$n$мінус один	різниця$n$ і один
$6\cdot 7$	$6$раз$7$	твір шість і сім
$\dfrac{x}{y}$	$x$розділений на$y$	частка$x$ і$y$

Зверніть увагу, що англійські фрази не утворюють повного речення, оскільки фраза не має дієслова. Рівняння - це два вирази, пов'язані зі знаком рівності. Коли ви читаєте слова, які символи представляють у рівнянні, у вас є повне речення англійською мовою. Знак рівності дає дієслово.

Визначення: РІВНЯННЯ

Рівняння - це два вирази, з'єднані знаком рівності.

Ось кілька прикладів рівнянь.

Таблиця$\PageIndex{5}$

Рівняння	Англійське речення
$3+5=8$	сума трьох і п'яти дорівнює восьми
$n−1=14$	$n$мінус один дорівнює чотирнадцяти
$6 \cdot 7=42$	Твір шести і сім дорівнює сороку двом
$x=53$	$x$дорівнює п'ятдесяти трьом
$y+9=2y−3$	$y$плюс дев'ять дорівнює двом$y$ мінус три

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

1. $2(x + 3) = 10$
2. $4(y - 1) + 1$
3. $x \div 25$
4. $y + 8 = 40$

Відповідь

1. $2(x + 3) = 10$. Це рівняння — два вирази пов'язані знаком рівності.
2. $4(y - 1) + 1$. Це вираз — знак рівності немає.
3. $x \div 25$. Це вираз — знак рівності немає.
4. $y + 8 = 40$. Це рівняння — два вирази пов'язані знаком рівності.

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

1. $3(x - 7) = 27$
2. $5(4y - 2) - 7$

Відповідь

1. рівняння
2. вираз

Вправа$\PageIndex{6}$

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

1. $y^{3} \div 14$
2. $4x - 6 = 22$

Відповідь

1. вираз
2. рівняння

Припустимо, нам потрібно помножити на дев'ять множників$2$. Ми могли б написати це як$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Це нудно, і це може бути важко відстежувати всі ці 2s, тому ми використовуємо експоненти. Пишемо$2\cdot 2 \cdot 2$ як$2^{3}$ і$2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ як$2^{9}$. У таких виразах$2^{3}$, як,$2$ називається базовим і$3$ називається експонентою. Показник підказує нам, скільки разів нам потрібно помножити базу.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Читаємо$2^{3}$ як «два до третьої потужності» або «два куба».

Ми говоримо$2^{3}$, що знаходиться в експоненціальному позначенні і$2\cdot 2 \cdot 2$ знаходиться в розширеному позначенні.

ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНЕ ПОЗНАЧЕННЯ

$a^{n}$означає добуток$n$ факторів$a$.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Вираз$a^{n}$$a$ читається$n^{th}$ владі.

Поки ми читаємо$a^{n}$ як «$a$до$n^{th}$ влади», ми зазвичай читаємо:

• $a^{2}$«квадрат»
• $a^{3}$«кубик»

Пізніше ми побачимо, чому$a^{2}$ і$a^{3}$ мають спеціальні імена.

Таблиця$\PageIndex{6}$ показує, як ми читаємо деякі вирази з показниками.

Таблиця$\PageIndex{6}$

Вираз	У словах
$7^{2}$	$7$до другої потужності або в$7$ квадраті
$5^{3}$	$5$до третьої потужності або в$5$ кубі
$9^{4}$	$9$до четвертої влади
$12^{5}$	$12$до п'ятої влади

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростити:$3^{4}$

Відповідь

$$\quad 3^{4}\nonumber$$
\ [\ begin {align*} & Розгорнути вираз & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ text {Множення зліва направо} & 9\ cdot 3\\ cdot 3\\ [5pt]
&\ text {Множення} & 27\ cdot 3\\ [5pt]
&\ текст {Множення} & 81\ end {вирівнювати*}\]

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:

1. $5^{3}$
2. $1^{7}$

Відповідь

1. $125$
2. $1$

Вправа$\PageIndex{9}$

1. $7^{2}$
2. $0^{5}$

Відповідь

1. $49$
2. $0$

Спрощення виразів за допомогою порядку операцій

Спростити вираз означає зробити всі математичні можливості. Наприклад, для спрощення$4\cdot 2 + 1$ ми спочатку помножимо,$4\cdot 2$ щоб отримати,$8$ а потім додати,$1$ щоб отримати$9$. Хороша звичка для розвитку - опрацювати сторінку, записуючи кожен крок процесу нижче попереднього кроку. Щойно описаний приклад виглядатиме наступним чином:

$$4\cdot 2 + 1\nonumber$$

$$8 + 1\nonumber$$

$$9\nonumber$$

Не використовуючи знак рівності при спрощенні виразу, ви можете уникнути плутанини виразів з рівняннями.

СПРОЩЕННЯ ВИРАЗУ

Щоб спростити вираз, виконайте всі операції у виразі.

Ми ввели більшість символів і позначень, що використовуються в алгебрі, але тепер нам потрібно уточнити порядок операцій. В іншому випадку вирази можуть мати різне значення, і вони можуть привести до різних значень. Для прикладу розглянемо вираз:

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Якщо спростити цей вислів, що ви отримаєте?

Деякі студенти кажуть:$49$

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Так як$4+3$ дає$7$.

$$7 \cdot 7\nonumber$$

І$7\cdot 7$ є$49$ $$49\nonumber$$

Інші кажуть:$25$

$$4 + 3\cdot 7\nonumber$$

Так як$3\cdot 7$ є$21$.

$$4 + 21\nonumber$$

І$21 + 4$ робить$25$.

$$25\nonumber$$

Уявіть собі плутанину в нашій банківській системі, якби на кожну проблему було кілька різних правильних відповідей!

Один і той же вираз має дати той же результат. Тож математики на початку встановили деякі орієнтири, які називаються Порядком операцій.

ВИКОНАЙТЕ ПОРЯДОК ОПЕРАЦІЙ.

1. Дужки та інші символи групування
   • Спростіть усі вирази всередині дужок або інших символів групування, спочатку працюючи над самими внутрішніми дужками.
2. Показники
   • Спростити всі вирази з показниками.
3. Множення і ділення
   • Виконайте все множення і ділення по порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.
4. Додавання і віднімання
   • Виконайте всі додавання і віднімання по порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.

Примітка

Виконання діяльності з маніпулятивної математики «Гра 24» дасть вам практику використання порядку операцій.

Студенти часто запитують: «Як я запам'ятаю порядок?» Ось спосіб допомогти вам запам'ятати: Візьміть першу букву кожного ключового слова і підмініть дурну фразу: «Будь ласка, вибачте, моя дорога тітка Саллі».

\ [\ почати {вирівнювати*} &\ textbf {P}\ текст {арантези} &\ textbf {P}\ текст {P}\ текст {пр}\ [5pt]
&\ textbf {E}\ текст {E}\ текст {причина}\\ [5pt]
&\ textbf {M}\ текст {умноження}\ пробіл\ textbf {D}\ текст {поділ} &\ textbf {M}\ текст {y}\ простір\ textbf {D}\ текст {рік}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ текст {доповнення}\ простір\ textbf {S}\ текст {відбиття} &\ textbf {A}\ текст {одиниця}\ пробіл\ textbf {S}\ текст {союзник}\ кінець {вирівнювати*}\]

Добре, що «$\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear}$» йде разом, оскільки це нагадує нам, що моє множення та розділення D мають однаковий пріоритет. Ми не завжди робимо множення перед діленням або завжди робимо ділення перед множенням. Робимо їх по порядку зліва направо.

Так само «$\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}$» йде разом і так нагадує нам, що додавання та віднімання також мають однаковий пріоритет, і ми робимо їх у порядку зліва направо.

Спробуємо приклад.

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити:

1. $4 + 3\cdot 7$
2. $(4 + 3)\cdot 7$

Відповідь

1.

	$4 + 3 \cdot 7$
Чи є арентези p? Ні.
Чи є якісь експоненти? Ні.
Чи є моє множення чи поділ реклами? Так.
Першим помножте.	$4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}$
Додати.	$4+21$
	$25$

2.

	$(4 + 3)\cdot 7$
Чи є арентези p? Так.	${\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7$
Спростити всередині дужок.	$({\color{red}{7}})7$
Чи є якісь експоненти? Ні.
Чи є моє множення чи поділ реклами? Так.
Помножити.	$49$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $12 - 5\cdot 2$
2. $(12 - 5)\cdot 2$

Відповідь

1. $2$
2. $14$

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $8 + 3\cdot 9$
2. $(8 + 3)\cdot 9$

Відповідь

1. $35$
2. $99$

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:$18\div 6 + 4(5 - 2)$

Відповідь

Дужки? Так, спочатку відніміть.	$18\div 6 + 4(5 - 2)$ $18\div 6 + 4(3)$
Експоненти? Ні.
Множення або ділення? Так.	${\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}$
Ділимо спочатку, тому що множимо і ділимо зліва направо.	$3+{\color{red}{4(3)}}$
Будь-яке інше множення або ділення? Так.
Помножити.	$3 + 12$
Будь-яке інше множення або ділення? Ні.
Будь-яке додавання або віднімання? Так.	$15$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:$30\div 5 + 10(3 - 2)$

Відповідь

$16$

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростити:$70\div 10 + 4(6 - 2)$

Відповідь

$23$

Коли є кілька символів групування, ми спочатку спрощуємо внутрішні дужки і працюємо назовні.

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростити:$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$.

Відповідь

	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]$
Чи є дужки (або інший символ групування)? Так.
Зосередьтеся на дужках, які знаходяться всередині дужок.	$5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]$
Відніміть.	$5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]$
Продовжуйте всередині дужок і множте.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]$
Продовжуйте всередині дужок і відніміть.	$5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]$
Вираз всередині дужок не вимагає подальшого спрощення.
Чи є якісь експоненти? Так.	$5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]$
Спрощення показників.	$5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}$
Чи є множення або ділення? Так.
Помножити.	${\color{red}{5 + 8}}+0$
Чи є якесь додавання або віднімання? Так.
Додати.	${\color{red}{13 + 0}}$
Додати.	$13$

Вправа$\PageIndex{17}$

Спростити:$9 + 5^{3} - [4(9 + 3)]$.

Відповідь

$86$

Вправа$\PageIndex{18}$

Спростити:$7^{2} - 2[4(5 + 1)]$.

Відповідь

$1$

Оцінити вираз

В останніх кількох прикладах ми спростили вирази, використовуючи порядок операцій. Тепер ми оцінимо деякі вирази - знову слідуючи порядку операцій. Оцінити вираз означає знайти значення виразу при заміні змінної на задане число.

ОЦІНИТИ ВИРАЗ

Оцінити вираз означає знайти значення виразу при заміні змінної на задане число.

Щоб оцінити вираз, підставити це число для змінної у виразі, а потім спростити вираз.

Вправа$\PageIndex{19}$

Оцініть$7x - 4$, коли

1. $x = 5$
2. $x = 1$

Відповідь

1.

коли$x = {\color{red}{5}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{5}}) - 4$
Помножити.	$35 - 4$
Відніміть.	$31$

2.

коли$x = {\color{red}{1}}$	$7x - 4$
	$7({\color{red}{1}}) - 4$
Помножити.	$7 - 4$
Відніміть.	$3$

Вправа$\PageIndex{20}$

Оцініть$8x - 3$, коли

1. $x = 2$
2. $x = 1$

Відповідь

1. $13$
2. $5$

Вправа$\PageIndex{21}$

Оцініть$4y - 4$, коли

1. $y = 3$
2. $y = 5$

Відповідь

1. $8$
2. $16$

Вправа$\PageIndex{22}$

Оцініть$x = 4$, коли

1. $x^{2}$
2. $3^{x}$

Відповідь

1.

	$x^{2}$
$x$Замінити на${\color{red}{4}}$.	$({\color{red}{4}})^{2}$
Використовуйте визначення показника.	$4\cdot 4$
Спростити.	$16$

2.

	$3^{x}$
$x$Замінити на${\color{red}{4}}$.	\(3^ ParseError: invalid DekiScript (click for details) Callstack: at (Математика/Алгебра/Книга:_Елементарна_алгебра_(OpenStax)/01:_Фундаменти/1.03:_Використовуйте_мову_алгебри), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1 \)
Використовуйте визначення показника.	$3\cdot3\cdot3\cdot3$
Спростити.	$81$

Вправа$\PageIndex{23}$

Оцініть$x = 3$, коли

1. $x^{2}$
2. $4^{x}$

Відповідь

1. $9$
2. $64$

Вправа$\PageIndex{24}$

Оцініть$x = 6$, коли

1. $x^{3}$
2. $2^{x}$

Відповідь

1. $216$
2. $64$

Вправа$\PageIndex{25}$

Оцініть$2x^{2} + 3x + 8$, коли$x = 4$.

Відповідь

	$2x^{2} + 3x + 8$
Замінник$x = {\color{red}{4}}$.	$\small{2x^{2} + 3x + 8}$ $2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8$
Слідкуйте за порядком операцій.	$2(16)+3(4)+8$
	$32+12+8$
	$52$

Вправа$\PageIndex{26}$

Оцініть$3x^{2} + 4x + 1$, коли$x = 3$.

Відповідь

$40$

Вправа$\PageIndex{27}$

Оцініть$6x^{2} - 4x - 7$, коли$x = 2$.

Відповідь

$9$

Визначте та об'єднайте подібні терміни

Алгебраїчні вирази складаються з термінів. Термін - це константа, або добуток константи і однієї або декількох змінних.

ТЕРМІН

Термін - це константа, або добуток константи і однієї або декількох змінних.

Прикладами термінів є$7, y, 5x^{2}, 9a$, і$b^{5}$.

Константа, яка множить змінну, називається коефіцієнтом.

Коефіцієнт

Коефіцієнт члена - це константа, яка множить змінну в термін.

Подумайте про коефіцієнт як число перед змінною. Коефіцієнт терміну$3x$ дорівнює$3$. Коли ми пишемо$x$, коефіцієнт є$1$, так як$x=1\cdot x$.

Вправа$\PageIndex{28}$

Визначте коефіцієнт кожного члена:

1. $14y$
2. $15x^{2}$
3. $a$

Відповідь

1. Коефіцієнт$14y$ становить$14$
2. Коефіцієнт$15x^{2}$ становить$15$
3. Коефіцієнт$a$ є$1$ з тих пір$a=1a$.

Вправа$\PageIndex{29}$

Визначте коефіцієнт кожного члена:

1. $17x$
2. $41b^{2}$
3. $z$

Відповідь

1. $14$
2. $41$
3. $1$

Вправа$\PageIndex{30}$

Визначте коефіцієнт кожного члена:

1. $9p$
2. $13a^{2}$
3. $y^{3}$

Відповідь

1. $9$
2. $13$
3. $1$

Деякі терміни мають спільні риси. Подивіться на наступні 6 термінів. Які з них, здається, мають спільні риси?

$$5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber$$

$7$І є$4$ обома постійними термінами.

$5x$І$3x$ обидва терміни с$x$.

$n^{2}$І$9n^{2}$ обидва терміни с$n^{2}$.

Коли два члени є константами або мають однакову змінну та експоненту, ми говоримо, що вони схожі на терміни.

• $7$і$4$ схожі на терміни.
• $5x$і$3x$ схожі на терміни.
• $x^{2}$і$9x^{2}$ схожі на терміни.

ПОДОБАЮТЬСЯ ТЕРМІНИ

Терміни, які є або константами, або мають однакові змінні, підняті до одних і тих же повноважень, називаються як терміни.

Вправа$\PageIndex{31}$

Визначте подібні терміни:$y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}$.

Відповідь

$y^{3}$і$4y^{3}$ схожі на терміни, тому що обидва мають$y^{3}$; змінна і показник відповідності.

$7x^{2}$і$5x^{2}$ схожі на терміни, тому що обидва мають$x^{2}$; змінна і показник відповідності.

$14$і$23$ схожі на терміни, тому що обидва є константами.

Іншого терміна на кшталт немає$9x$.

Вправа$\PageIndex{32}$

Визначте подібні терміни:$9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}$.

Відповідь

$9$і$15$,$y^{2}$ і$11y^{2}$,$2x^{3}$ і$8x^{3}$

Вправа$\PageIndex{33}$

Визначте подібні терміни:$4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}$.

Відповідь

$19$і$24$,$8x^{2}$ і$3x^{2}$,$4x^{3}$ і$6x^{3}$

Додавання або віднімання термінів утворює вираз. У виразі$2x^{2} + 3x + 8$, з Прикладу, три члени є$2x^{2}$$3x$, і$8$.

Вправа$\PageIndex{34}$

Визначте терміни в кожному виразі.

1. $9x^{2}+7x+12$
2. $8x+3y$

Відповідь

1. Умови$9x^{2}+7x+12$ є$9x^{2}, 7x$, і$12$.
2. Умови$8x+3y$ становлять$8x$ і$3y$.

Вправа$\PageIndex{35}$

Визначте терміни у виразі$4x^{2}+5x+17$.

Відповідь

$4x^{2}, 5x, 17$

Вправа$\PageIndex{36}$

Визначте терміни у виразі$5x+2y$.

Відповідь

$5x, 2y$

Якщо в виразі є подібні терміни, ви можете спростити вираз, об'єднавши подібні терміни. Як ви думаєте, що$4x+7x+x$ спростило б? Якби ви думали$12x$, ви б мали рацію!

$$\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}$$

Складіть коефіцієнти і збережіть ту ж змінну. Неважливо, що х - якщо у вас є 4 чогось і додайте ще 7 того ж, а потім додайте ще 1, результат 12 з них. Наприклад, 4 апельсина плюс 7 апельсинів плюс 1 апельсин - це 12 апельсинів. Математичні властивості, що стоять за цим, ми обговоримо пізніше.

Спростити:$4x+7x+x$

Складіть коефіцієнти. $12x$

Вправа$\PageIndex{37}$: How To Combine Like Terms

Спростити:$2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{38}$

Спростити:$3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8$.

Відповідь

$10x^{2}+16x+17$

Вправа$\PageIndex{39}$

Спростити:$4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5$.

Відповідь

$12y^{2}+9y+7$

ПОЄДНУЙТЕ ПОДІБНІ ТЕРМІНИ.

1. Визначте подібні терміни.
2. Перевпорядкуйте вираз так, як терміни разом.
3. Додайте або відніміть коефіцієнти і зберігайте однакову змінну для кожної групи подібних термінів.

Перекласти англійську фразу на алгебраїчний вираз

В останньому розділі ми перерахували багато символів операцій, які використовуються в алгебрі, потім ми перевели вирази і рівняння на англійські фрази і пропозиції. Тепер ми звернемо процес назад. Ми переведемо англійські фрази в алгебраїчні вирази. Символи та змінні, про які ми говорили, допоможуть нам це зробити. Таблиця їх$\PageIndex{7}$ підсумовує.

Таблиця$\PageIndex{7}$

Операція	Фраза	Вираз
Додавання	$a$плюс$b$ сума$a$ і$b$ $a$ збільшена на$b$ $b$ більше, ніж$a$ загальна$a$ і$b$ $b$додано до$a$	$$a+b$$
Віднімання	$a$мінус$b$ різниця$a$ і$b$ $a$ зменшилася на$b$ $b$ меншу, ніж$a$ $b$ віднімається від$a$	$$a−b$$
множення	$a$разів більше$b$ продукту$a$ і в$b$ два рази$a$	$$a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)$$ $$2a$$
Відділ	$a$розділений$b$ на частку$a$ і$b$ співвідношення$a$ і$b$ $b$ розділений на$a$	$$a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}$$

Подивіться уважно на ці фрази, використовуючи чотири операції:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Кожна фраза говорить нам оперувати двома числами. Шукайте слова і і, щоб знайти цифри.

Вправа$\PageIndex{40}$

Переведіть кожну англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. різниця$17x$ і$5$
2. частка$10x^{2}$ і$7$.

Відповідь

1. Ключове слово - різниця, яка говорить нам, що операція - віднімання. Шукайте слова і t o знайти числа для віднімання.
   
2. Ключове слово - «частка», що говорить нам, що операція - це поділ.

Це також може бути написано$10x^{2}/7$ або$\dfrac{10x^{2}}{7}$.

Вправа$\PageIndex{41}$

Переведіть кожну англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. різниця$14x^{2}$ і$13$
2. частка$12x$ і$2$.

Відповідь

1. $14x^{2} - 13$
2. $12x \div 2$

Вправа$\PageIndex{42}$

Переведіть кожну англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. сума$17y^{2}$ і$19$
2. продукт$7$ і$y$.

Відповідь

1. $17y^{2} + 19$
2. $7y$

Скільки вам років буде через вісім років? Який вік на вісім років більше, ніж ваш вік зараз? Ви додали 8 до свого теперішнього віку? Вісім «більше» означає 8 доданих до вашого теперішнього віку. Скільки років тобі було сім років тому? Це на 7 років менше, ніж ваш вік зараз. Ви віднімаєте 7 від вашого теперішнього віку. Сім «менше» означає, що 7 віднімається від вашого теперішнього віку.

Вправа$\PageIndex{43}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. Сімнадцять більше$y$
2. На дев'ять менше$9x^{2}$.

Відповідь

1. Ключових слів більше, ніж. Вони кажуть нам, що операція є доповненням. Більше, ніж означає «додано до».

   $\begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}$

2. Ключових слів менше, ніж. Вони кажуть нам відняти. Менше, ніж означає «віднімається з».

   $\begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}$

Вправа$\PageIndex{44}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. Одинадцять більше х
2. Чотирнадцять менше$11a$.

Відповідь

1. $x+11$
2. $11a−14$

Вправа$\PageIndex{45}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. $13$більше$z$
2. $18$менше, ніж$8x$.

Відповідь

1. $z+13$
2. $8x−18$

Вправа$\PageIndex{46}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. п'ять разів перевищує суму$m$ і$n$
2. сума в п'ять разів$m$ і$n$.

Відповідь

Є два операції words— раз говорить нам помножити і сума говорить нам, щоб додати.
1. Тому що ми$5$ множимо на суму нам потрібні дужки навколо суми$m$ і$n$,$(m+n)$. Це змушує спочатку визначити суму. (Запам'ятайте порядок операцій.)

$$\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}$$

2. Щоб взяти суму, шукаємо слова «з» і «і», щоб побачити, що додається. Тут ми беремо суму п'ять разів$m$ і\ (n\.)

$$\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}$$

Вправа$\PageIndex{47}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. в чотири рази більше суми$p$ і$q$
2. сума в чотири рази$p$ і$q$.

Відповідь

1. $4(p+q)$
2. $4p+q$

Вправа$\PageIndex{48}$

Перекладіть англійську фразу в алгебраїчний вираз:

1. різниця в два рази х і$8$,
2. в два рази різниця х і$8$.

Відповідь

1. $2x−8$
2. $2(x−8)$

Пізніше в цьому курсі ми будемо застосовувати наші навички алгебри для вирішення додатків. Першим кроком буде переклад англійської фрази на алгебраїчний вираз. Ми побачимо, як це зробити в наступних двох прикладах.

Вправа$\PageIndex{49}$

Довжина прямокутника$6$ менше ширини. $w$Дозволяти представляти ширину прямокутника. Напишіть вираз для довжини прямокутника.

Відповідь

$$\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}$$

Вправа$\PageIndex{50}$

Довжина прямокутника$7$ менше ширини. $w$Дозволяти представляти ширину прямокутника. Напишіть вираз для довжини прямокутника.

Відповідь

$w - 7$

Вправа$\PageIndex{51}$

Ширина прямокутника$6$ менше довжини. $l$Дозволяти представляти довжину прямокутника. Напишіть вираз для ширини прямокутника.

Відповідь

$l - 6$

Вправа$\PageIndex{52}$

У Джун в сумочці є копейки і чверті. Кількість копій в три менше, ніж в чотири рази перевищує кількість чвертей. $q$Дозволяти представляти кількість чвертей. Напишіть вираз для кількості копій.

Відповідь

$$\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}$$

Вправа$\PageIndex{53}$

Джеффрі має копійки і чверті в кишені. Кількість копій у вісім менше, ніж в чотири рази перевищує кількість чвертей. $q$Дозволяти представляти кількість чвертей. Напишіть вираз для кількості копій.

Відповідь

$4q - 8$

Вправа$\PageIndex{54}$

Лорен має копійки і нікельси в сумочці. Кількість копій в три більше семи разів перевищує кількість нікелів. $n$Дозволяти представляти кількість нікелів. Напишіть вираз для кількості копій.

Відповідь

$7n + 3$

Ключові концепції

• Позначення Результат - це...
  $\begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}$
• Нерівність
  $\begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}$
• Нерівність Символи Слова
  $\begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}$
• Угруповання символів
  • Дужки ()
  • Кронштейни [...]
  • Брекети {}
• Експоненціальне позначення
  • $a^{n}$означає добуток$n$ факторів$a$. Вираз$a^{n}$$a$ читається$n^{th}$ владі.
• Порядок операцій: При спрощенні математичних виразів виконуйте операції в наступному порядку:
  1. Дужки та інші символи групування: Спростіть усі вирази всередині дужок або інших символів групування, спочатку працюючи над самими внутрішніми дужками.
  2. Показники: спростити всі вирази з експонентами.
  3. Множення і ділення: Виконайте все множення і ділення в порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.
  4. Додавання та віднімання: Виконайте всі додавання та віднімання в порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.
• Поєднуйте як терміни
  1. Визначте подібні терміни.
  2. Перевпорядкуйте вираз так, як терміни разом.
  3. Додайте або відніміть коефіцієнти і зберігайте однакову змінну для кожної групи подібних термінів.

Глосарій

коефіцієнт

Коефіцієнт члена - це константа, яка множить змінну в термін.

постійний

Константа - це число, значення якого завжди залишається однаковим.

символ рівності

Символ «$=$» називається знаком рівності. Читаємо$a=b$ як «$a$дорівнює»$b$.

рівняння

Рівняння - це два вирази, з'єднані знаком рівності.

оцінювати вираз

Оцінити вираз означає знайти значення виразу при заміні змінної на задане число.

вираз

Вираз - це число, змінна або комбінація чисел і змінних з використанням символів операції.

як терміни

Терміни, які є або константами, або мають однакові змінні, підняті до одних і тих же повноважень, називаються як терміни.

спростити вираз

Щоб спростити вираз, виконайте всі операції у виразі.

термін

Термін - це константа або добуток константи і однієї або декількох змінних.

змінна

Змінна - це буква, яка представляє число, значення якого може змінюватися.