2.6: Нерівність
У главі 1 ми ввели натуральні числаN={1,2,3,…}W={0,1,2,3,…}, цілі числа та цілі числаZ={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Пізніше в розділі ми ввели раціональні числа, числа видуp/q, деp іq є цілими числами. Ми зазначили, що як кінцеві, так і повторювані десяткові числа є раціональними числами. Кожне з цих чисел має унікальну позицію на числовому рядку (див. Рис.2.6.1).

Натуральні числа, цілі числа та цілі числа також є раціональними числами, оскільки кожне може бути виражено у виглядіpq, деp іq є цілими числами. Наприклад,0=012,4=41, і−3=−124. Дійсно, раціональні числа містять всі числа, які ми вивчали до цього моменту в курсі. Однак не всі числа є раціональними числами. Наприклад, розглянемо десяткове число−3.10110111011110…, яке ні закінчується, ні повторюється. Число√2=1.414213562373095… також дорівнює десятковому числу, яке ніколи не закінчується і ніколи не повторюється. Аналогічне твердження можна зробити і щодо числаπ=3.141592653589793… Кожне з цих ірраціональних (нераціональних) чисел також має унікальну позицію на числовому рядку (див. Рис.2.6.2).

Два інших ірраціональних числа, з якими ви можете зіткнутися в математичних дослідженнях, - цеe (константа Ейлера), яка приблизно дорівнюєe≈2.71828182845904…, іϕ (вимовляється «фі»), зване золотим перетином, яке дорівнюєϕ=1+√52. Числоe виникає в додатках, що стосуються складних відсотків, ймовірності та інших областей математики. Числоϕ використовується на фінансових ринках, а також, можливо, співвідношення краси в мистецтві та архітектурі.
Реальні числа
Якщо об'єднати всі раціональні і ірраціональні числа в одну колекцію, то маємо набір чисел, який називається безліччю дійсних чисел. Безліч дійсних чисел позначається символомR.
Кожна точка на числовому рядку пов'язана з унікальним дійсним числом. І навпаки, кожне дійсне число пов'язане з унікальною позицією на числовому рядку. Замість такої відповідності числовий рядок зазвичай називають реальною лінією.
Замовлення дійсних чисел
Дійсні числа впорядковуються на дійсному рядку таким чином, як ми впорядкували цілі числа на числовому рядку в Розділі 1 глави 1.
Замовлення на Real Line
Припустимо, щоa іb є дійсними числами, розташованими на дійсній лінії, як показано нижче.
- Тому щоa брехня «зліва»b, ми говоримо, щоa це «менше, ніж»b, або в математичних символах,a<b. Символ нерівності< читається «менше ніж».
- По черзіb брехня «праворуч»a, тому ми також можемо сказати, щоb це «більше, ніж»a, або в математичних символахb>a. Символ нерівності> читається «більше ніж».
Ось ще два символи нерівності, які ми будемо використовувати в цьому розділі.
Менше або дорівнює
Якщо ми хочемо сказати, щоa брехня «зліва»b, або розділяє ту ж позицію, що іb, то ми говоримо, щоa «менше або дорівнює»b і пишемоa≤b. Символ нерівності≤ вимовляється «менше або дорівнює».
Більше або дорівнює
Якщо ми хочемо сказати, щоb брехня на «право»a, або розділяє ту ж позиціюa, що і, то ми говоримо, щоb «більше або дорівнює»a і пишемоb≥a. Символ нерівності≥ вимовляється «більше або дорівнює».
Позначення Set-Builder
Математики використовують конструкцію, яка називається нотацією set-builder для опису множин або колекцій чисел. Загальна форма позначення set-builder виглядає наступним чином:{x: some statement about x} Наприклад, припустимо, що ми хочемо описати множину «всіх дійсних чисел, які менше»2. Ми могли б використовувати такі позначення:A={x:x<2}
Це читається вголос наступним чином: «Aдорівнює набору всьогоx такого,x що менше»2. Деякі вважають за краще використовувати вертикальну смугу замість двокрапки. A={x|x<2}У цьому тексті ми використовуємо двокрапку в позначеннях set-builder, але не соромтеся використовувати вертикальну смугу замість цього. Вони означають одне і те ж. Можна ще заперечити, що позначення трохи{x:x<2} розпливчасті. Одне заперечення може бути «Який тип цифрx ви маєте на увазі? Ви хочете цілі числа, які менше двох або ви хочете дійсні числа, які менше двох?» Як бачите, це дійсне заперечення. Одним із способів вирішення цього заперечення є написання:A={x∈R:x<2} or A={x∈N:x<2} ПершийA читається «це набір усіхx,R що менше двох», тоді як другийA читається «- це набір усіхxN, що менше двох».
Set-будівельник Припущення
У цьому тексті, якщо немає конкретної посилання на набір бажаних чисел, ми будемо вважати,{x:x<2} що позначення просять набір всіх дійсних чисел менше2.
На малюнку2.6.3 ми затінювали набір дійсних чисел{x:x<2}. Тому що

«менше, ніж» - це те саме, що сказати «зліва», ми затінювали (червоним кольором) всі точки на реальній лінії, які лежать ліворуч від числа два. Зверніть увагу, що під номером два є «порожнє коло». Точка, що представляє число два, не затінена, тому що нас попросили лише затінювати числа, які строго менше двох.
Хоча затінення на малюнку2.6.3 цілком дійсне, значна частина інформації, наданої на малюнку,2.6.3 є непотрібною (і, можливо, відволікаючою). Нам потрібно лише позначити кінцеву точку та затінювати дійсні числа зліва від двох, як ми зробили при побудові малюнка2.6.4.

Для контрасту, припустимо замість цього, що нас попросять затінювати набір дійсних чисел{x:x≤2}. Це означає, що ми повинні затінювати всі дійсні числа.

які є «менше або дорівнює2» або «ліворуч і включно»2. Отриманий набір розтушовують на рис2.6.5.
Зверніть увагу на різницю між цифрами2.6.4 і2.6.45. На малюнках2.6.4 ми затінюємо набір{x:x<2},2 тому число залишається незаштрихованим (порожня точка). На2.6.5 малюнках ми затінюємо набір{x:x≤2},2 тому число затінено (заповнена крапка).
Приклад2.6.1
Заштрихуйте набір{x:x≥−3} на реальну лінію.
Рішення
Позначення{x:x≥−3} вимовляється «множина всіх дійсних чиселx таких, щоx більше або дорівнює»−3. Таким чином, нам потрібно затінювати число−3 і всі дійсні числа праворуч від−3.
Вправа2.6.1
Тінь{x:x≤4} на реальній лінії.
- Відповідь
-
Приклад2.6.2
Використовуйте позначення set-builder, щоб описати набір дійсних чисел, які затінені на числовому рядку нижче.
Рішення
Число−1 не затінюється. Затінені лише−1 цифри зліва від. Це множина всіх дійсних чисел,x таких,x що «менше ніж»−1. Таким чином, ми опишемо цей набір наступними позначеннями set-builder:{x:x<−1}
Вправа2.6.2
Використовуйте позначення set-builder для опису наступного набору дійсних чисел:
- Відповідь
-
{x:x>−10}
Інтервальні позначення
У Прикладах2.6.1 і2.6.2 ми використовували позначення set-builder для опису множини дійсних чисел більше або рівних−3 і другий набір дійсних чисел менше−1. Існує ще одна математична символіка, звана інтервальними позначеннями, яка може бути використана для опису цих множин дійсних чисел. Розглянемо перший набір чисел з Приклад2.6.1,{x:x≥−3}.
Помітаючи очі «зліва направо», ми використовуємо[−3,∞) для опису цей набір дійсних чисел. Деякі зауваження по порядку:
- Кронштейн на лівому кінці означає, що−3 входить в комплект.
- Коли ви рухаєтеся до правого кінця реального рядка, числа ростуть без обмежень. Отже,∞ символ (позитивна нескінченність) використовується для позначення того, що ми включаємо всі дійсні числа праворуч від−3. Однак насправді∞ це не число, тому ми використовуємо дужки, щоб вказати, що ми «не включаючи» цю вигадану точку.
Набір чисел з Прикладу2.6.1 є{x:x<−1}.
Помітаючи очі «зліва направо», цей набір дійсних чисел описується с(−∞,−1). Знову ж, коментарі по порядку:
- Номер не−1 входить в цей набір. Щоб вказати, що він не включений, використовуємо дужку.
- Коли ви рухаєтеся до лівого кінця реального рядка, числа зменшуються без обмежень. Отже,−∞ символ (негативна нескінченність) використовується для позначення того, що ми включаємо всі дійсні числа зліва від−1. Знову ж таки,−∞ це не фактичне число, тому ми використовуємо дужки, щоб вказати, що ми не включаємо цю «вигадану» точку.
Змітайте очі «зліва направо»
Якщо ви хочете застрахувати, що ви правильно використовуєте інтервальні позначення, розмістіть числа у вашому інтервальному позначенні в тому ж порядку, в якому вони зустрічаються, коли ви змітаєте очі «зліва направо» на реальному рядку.
Приємне резюме set-builder і інтервальне позначення представлено в таблиці2.6.1 в кінці розділу.
Еквівалентні нерівності
Як і рівняння, дві нерівності еквівалентні, якщо вони мають однакові набори розв'язків.
Додавання або віднімання однакової величини з обох сторін нерівності
abДозволяти і бути дійсними числами зa<b
Ifc є будь-яке дійсне число, тоa+c<b+c іa−c<b−c Тобто, додавання або віднімання однакової суми з обох сторін нерівності виробляє еквівалентну нерівність (не змінює рішення).
Приклад2.6.3
Вирішити дляx:x−2≤7. Намалюйте рішення на реальній лінії, а потім використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису вашого рішення.
Рішення
Щоб «скасувати» віднімання2, ми додаємо2 до обох сторін нерівності.
x−2≤7 Original inequality. x−2+2≤7+2 Add 2 to both sides. x≤9 Simplify both sides.
Щоб затінювати дійсні числа менше або рівні9, ми затінюємо число9 і всі дійсні числа зліва від9.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x≤9}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−∞,9].
Вправа2.6.3
Використовуйте інтервальні позначення для опису рішення:x−7<−8.
- Відповідь
-
(−∞,−1)
Якщо ми помножимо або ділимо обидві сторони нерівності на додатне число, ми маємо еквівалентну нерівність.
Множення або ділення на додатне число
bДозволятиa і бути дійсними числами сa<b. Якщоc є дійсним додатним числом, тоac<bc іac<bc
Приклад2.6.4
Вирішіть дляx:3x≤−9 Sketch рішення на реальній лінії, а потім використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису вашого рішення.
Рішення
Щоб «скасувати» множення на3, розділіть обидві сторони нерівності на3. Оскільки ми ділимо обидві сторони на додатне число, ми не змінюємо знак нерівності.
3x≤−9 Original inequality. 3x3≤−93 Divide both sides by 3.x≤−3 Simplify both sides.
Затіньте дійсні числа, менші або рівні−3.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x≤−3}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−∞,−3].
Вправа2.6.4
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:2x>−8
- Відповідь
-
(−4,∞)
Повернення знака нерівності
До цього моменту здається, що техніка розв'язання нерівностей в значній мірі ідентична техніці, яка використовується для вирішення рівнянь. Однак у цьому розділі ми зіткнемося з одним винятком.
Припустимо, ми починаємо з дійсної нерівності−2<5, потім множимо обидві сторони на23, і4.
−2<5−2<5−2<52(−2)<2(5)3(−2)<3(5)4(−2)<4(5)−4<10−6<15−8<20
Зверніть увагу, що в кожному випадку отримана нерівність залишається дійсною.
Caution! We’re about to make an error!
Почніть знову з−2<5, але на цей раз помножте обидві сторони на−2−3, і−4.
−2<5−2<5−2<5−2(−2)<−2(5)−3(−2)<−3(5)−4(−2)<−4(5)4<−106<−158<−20
У кожному з результуючих нерівностей символ нерівності вказує неправильний шлях!
Коли ви множите обидві сторони нерівності на негативне число, ви повинні змінити знак нерівності. Починаючи з−2<5, помножте обидві сторони на−2−3, і−4, але навпаки символ нерівності.
Деякі читачі можуть віддати перевагу більш формальній причині, чому ми змінюємо нерівність, коли ми множимо обидві сторони на негативне число. Припустимо, щоa<b. Потім, відніманняb з обох сторін дає результатa−b<0. Це означає, щоa−b є від'ємним числом. Тепер,c якщо негативне число, то продукт(a−b)c позитивний. Потім:
(a−b)c>0ac−bc>0ac−bc+bc>0+bcac>bc
Таким чином, якщо почати зa<b іc<0, тоac>bc.
Множення або ділення на від'ємне число
bДозволятиa і бути дійсними числами сa<b. Якщоc є дійсним від'ємним числом, тоac>bc іac>bc Тобто при множенні або діленні обох сторін нерівності на від'ємне число необхідно повернути знак нерівності.
Приклад2.6.5
Вирішити дляx:−2x<4. Намалюйте рішення на реальній лінії, а потім використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису вашого рішення.
Рішення
Щоб «скасувати» множення на−2, розділіть обидві сторони на−2. Оскільки ми ділимо обидві сторони на негативне число, ми змінюємо знак нерівності.
−2x<4 Original inequality. −2x−2>4−2 Divide both sides by −2x>−2 Reverse the inequality sign. x>−2 Simplify both sides.
Затіньте дійсні числа більше−2.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x>−2}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−2,∞).
Вправа2.6.5
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:−3x≥−6
- Відповідь
-
(−∞,2]
Кілька кроків
Іноді потрібно виконати послідовність кроків, щоб прийти до рішення.
Приклад2.6.6
Вирішити дляx:2x+5>−7. Намалюйте рішення на реальній лінії, а потім використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису вашого рішення.
Рішення
Щоб «скасувати» додавання5, відніміть5 з обох сторін нерівності.
2x+5>−7 Original inequality. 2x+5−5>−7−5 Subtract 5 from both sides. 2x>−12 Simplify both sides.
Щоб «скасувати» множення на2, розділіть обидві сторони на2. Оскільки ми ділимо обидві сторони на додатне число, ми не змінюємо знак нерівності.
2x2>−122 Divide both sides by 2x>−6 Simplify both sides.
Затіньте дійсні числа більше−6.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x>−6}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−6,∞).
Вправа2.6.6
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:3x−2≤4
- Відповідь
-
(−∞,2]
Приклад2.6.7
Вирішити дляx:3−5x≤2x+17. Намалюйте рішення на реальній лінії, а потім використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису вашого рішення.
Рішення
Потрібно виділити терміни, що містять з одногоx боку нерівність. Почніть з віднімання2x з обох сторін нерівності.
3−5x≤2x+17 Original inequality. 3−5x−2x≤2x+17−2x Subtract 2x from both sides. 3−7x≤17 Simplify both sides.
Продовжуємо виділяти терміни, що містять з одногоx боку нерівність. Відніміть3 з обох сторін.
3−7x−3≤17−3 Subtract 3 from both sides. −7x≤14 Simplify both sides.
Щоб «скасувати» множення на−7, розділіть обидві сторони на−7. Оскільки ми ділимо обидві сторони на негативне число, ми змінюємо знак нерівності.
−7x−7≥14−7 Divide both sides by −7x≥−2 Simplify both sides.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x≥−2}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є[−2,∞).
Вправа2.6.7
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:4−x>2x+1
- Відповідь
-
(−∞,1)
Очищаємо дроби від нерівності звичайним способом, множивши обидві сторони на найменш спільний знаменник.
Приклад2.6.8
Вирішити дляx:34−x12>13.
Рішення
Спочатку очистіть дроби від нерівності, помноживши обидві сторони на найменш спільний знаменник, який в даному випадку є12.
34−x12>13 Original inequality. 12[34−x12]>[13]12 Multiply both sides by 12.12[34]−12[x12]>[13]12 Distribute the 12.9−x>4 Cancel and Multiply.
Щоб «скасувати» додавання9, відніміть9 з обох сторін.
9−x−9>4−9 Subtract 9 from both sides. −x>−5 Simplify both sides.
Ми могли б розділити обидві сторони на−1, але множення обох сторін на також−1 зробить роботу. Оскільки ми множимо обидві сторони на негативне число, ми змінюємо знак нерівності.
(−1)(−x)<(−5)(−1) Multiply both sides by −1. Reverse the inequality sign. x<5 Simplify both sides.
Затіньте дійсні числа менше, ніж5.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x<5}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−∞,5).
Вправа2.6.8
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:2x3−34≥−32
- Відповідь
-
[−98,∞)
Очищаємо десяткові числа від нерівності звичайним способом, множивши обидві сторони на відповідну ступінь десять.
Приклад2.6.9
Вирішити дляx:3.25−1.2x>4.6.
Рішення
Спочатку очистіть десяткові числа від нерівності, множивши обидві сторони на100, що переміщує кожну десяткову крапку на два розряди вправо.
3.25−1.2x>4.6 Original inequality. 325−120x>460 Multiply both sides by 100.325−120x−325>460−325 Subtract 325 from both sides. −120x>135 Simplify both sides. −120x−120<135−120 Divide both sides by −120. Reverse the inequality sign.x<−2724Reduce to lowest terms.
Затіньте дійсні числа менше, ніж−27/24.
Використовуючи нотації set-builder, рішення є{x:x<−27/24}. Використовуючи інтервальні позначення, рішення є(−∞,−27/24).
Вправа2.6.9
Використовуйте інтервальне позначення для опису рішення:2.3x−5.62≥−1.4
- Відповідь
-
[211115,∞)
Зведена таблиця Set-Builder та інтервальне позначення
Зведена таблиця множника і інтервальних позначень представлена в табл2.6.1.
Затінення на реальній лінії | Набір будівельник | Інтервал |
---|---|---|
![]() |
{x:x>−5} | (−5,∞) |
![]() |
{x:x≥−5} | [−5,∞) |
![]() |
{x:x<−5} | (−∞,−5) |
![]() |
{x:x≤−5} | (−∞,−5] |