1.9: Раціональні рівняння

1.9 Раціональні рівняння
Ми також можемо використовувати навички, які ми розглянули в попередніх розділах, для вирішення рівнянь, що включають раціональні вирази. Існує три основні методи вирішення, які будуть вивчені в цьому розділі - множення з обох сторін для очищення знаменника, перехресне множення та створення спільних знаменників. Кожен з цих прийомів насправді є одним і тим же процесом, але наближається з дещо іншої точки зору.
Очищення знаменника

Часто, якщо знаменник є єдиною змінною, можна легко і прямо помножити з обох сторін на знаменник, щоб скасувати його.

Приклад
Вирішити для\(x\)
\ [
x+\ frac {4} {x} =7
\]
Якщо ми помножимо з обох сторін на\(x\), це очистить змінну від знаменника:
\ [
\ begin {array} {c}
x+\ frac {4} {x } =7\\
x *\ left (x+\ frac {4} {x}\ праворуч) =( 7) * x\ quad\ text {Помножте з обох сторін на} x
\ end {масив}
\]
\ [
x* x+x *\ frac {4} {x} =7 x\ quad\ text {Розподілити} x
\]\ [

\ begin {масив} { c}
x^ {2} +4=7 x\\
x^ {2} -7 x+4=0
\ end {масив}\ квадратний\ текст {стандартна форма}
\]
\ [
х\ приблизно 0,628,6.372
\]

Якщо задачу викладено просто як рівність двох дробів, перехресне множення може бути корисним методом розв'язання.

Приклад
розв'язання для\(x\)

\ [\ begin {вирівнювання}
\ розриву {x} {2 x+3} =\ розриву {7} {x-4}
\\ розриву {x} {2 x+3} &=\ frac {7} {x-4}\
x (x-4) &=7 (2 x+3)\\
x^ {2} -4 х = 14 x+21\ x
^ {2} - 18 x-21 &=0\\
x &\ приблизно 19.100, -1.100
\ end {вирівняний}
\]
Перехресне множення насправді просто короткий метод очищення знаменників шляхом множення з обох сторін на обидва знаменники:
\ [
\ begin { вирівняні}
\ розрив {x} {2 x+3} &=\ гідророзриву {7} {x-4}\\
(x-4) (2 x+3) * &\ розрив {x} {2 x+3} =\ розрив {7} {x-4} * (x-4) (2 x+3)\ (x-4)\
(x-4)\ (x-4)\ скасувати {(2 x+3)} * &\ frac {x} {\ cancel {2 x+3}} =\ розрив {7} {\ cancel {x-4}} *\ cancel {(x-4)} (2 x+3)\
x (x-4) &=7 (2 x+3)
\ end {
aligned}\]
Тоді рівняння готове до розв'язання, як показано вище - але шляхом перехресного множення ми перейдемо безпосередньо до розв'язку частини задачі.

Іноді корисно створити спільний знаменник, щоб налаштувати ситуацію, коли можна використовувати перехресне множення.

Приклад
розв'язання для\(x\)

\ [\ begin {вирівнювання}
\ розриву {1} {x+6} +\ гідророзриву {4} {x-2} =\ гідророзриву {3} {x+1} &
\\ гідророзриву {1} {x+6} +\ frac {4} {x-2} =\ гідророзриву {3} {x+1}
\\ гідророзриву {1} {x+6} * {frac {x-2} {x-2} +\ розрив {4} {x-2} *\ розрив {x+6} {x+6} =\ гідророзрив {3} {x+1}\
\ гідророзриву {1 (x-2) +4 (x+6)} {(x+6) (x-2)} =&\ розрив {3} {x+1}\
\ гідророзриву {x-2+4 x+24} {(x+6) (x-2)} =&\ розрив {3} {x+1}\
\ гідророзриву {5 x+22} {(x+6) (x-2)} =&\ розрив {3} {x+1}\
(5 x+22) (x+1) =3 (x+6) (x-2) =3\ ліворуч (x^ {2} +4 х-12\ праворуч) &\\
5 x^ {2} +27 x+22 = 3 x^ {2} +12 х-36 &\\
2 x^ {2} +15 х+58 &= 0\\
x\ приблизно 3.75\ пм 3.865 i &
\ кінець {вирівняний}
\]

Приклад
розв'язання для\(x\)

\ [\ begin {масив} {c}
\ розриву {2} {x-2} +\ гідророзриву {x} {2 x-1} =4
\\ гідророзриву {2} {x-2} +\\ гідророзриву {2} {x-2} *
\ frac {2} *\ frac {2 x-1} {2 x-1} +\ frac {x} {2 x-1} *\ гідророзриву {x-2} {x-2} =4\\
\ розрив {2 (2 x-1) +x (x-2)} {(x-2) (2 х-1)} =4\
\ гідророзриву {4 х-2+х^ {2} -2 x} {(x-2) (2 x-1)}} =4\
\ розрив {x^ {2} +2 x-2} {(x-2) (2 x-1)}} =\ frac {4} {1}\\
1\ ліворуч (x^ {2} +2 x-2\ праворуч) =4 (x-2) (2 x-1) =4\ ліворуч (2 x ^ {2} -5 x+2\ праворуч)\\
x^ {2} +2 x-2 = 8 x^ {2} -20 x+8\\
\ qquad\ почати {вирівняний}
\ розрив {2} {x} &=7 x^ {2} -22 x+10\
x &=2.592,0.551
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {масив}
\]

У деяких ситуаціях ми можемо створити єдиний спільний знаменник для кожного дробу задачі, а потім очистити їх відразу.

Приклад
розв'язання для\(x\)

\ [\ begin {вирівнювання}
\ розриву {2} {x+3} -\ гідророзриву {4} {3 x-1} =\ гідророзриву {x} {3 x^ {2} {3 x-1} {3 x-1} {3} &=\ frac {x} {3 x} {3 x-1} &=\ frac {x} {3 x^ {2} +8 3}\
\ гідророзриву {2} {x+3} *\ розрив {3 x-1} {3 x-1}
-\ гідророзрив {4} {3 x-1} *\ розрив {x+3} {x+3} &=\ розрив {x} {3 x^ {2} +8 x-3}\
\ гідророзриву {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1)} &=\ гідророзриву {x} {(x+3)\
2 (3 x-1) -4 (x+3) &=x
\ end {aligned}
\]
Відсутнім кроком вище є очищення обох знаменники:
\ [
(x+3) (3 x-1) *\ frac {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1)} =\ розрив {x} {(x+3)} * (x+3) (3 x-1)
\]
\ [\ почати {вирівняний}

\ скасувати {(x+3)}\ скасувати {x+3)} 1)} *\ розрив {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {\ cancel {(x+3)}\ скасувати {(3 x-1)}} & amp; =\ розрив {x} {\ скасувати {(x+3)}\ скасувати {(3 x-1)}} *\ скасувати {(x+3)}\ скасувати {(3 x-1)}\\
& 2 (3 x-1) -4 (x+3) =x
\ кінець {вирівняний}
\]

Як і в процесі перехресного множення, не потрібно фактично скасовувати знаменники при завершенні завдання.
\ [
\ почати {вирівняний}
\ гідророзрив {2} {x+3} -\ розрив {4} {3 x-1} &=\ гідророзриву {x} {3 x^ {2} +8 x-3}
\\ гідророзриву {2} {x+3} *\ розрив {3 x-1} {3 x-1} -\ гідророзрив {4} {3 x-1}} {x+3} &=\ розрив {x} {3 x^ {2} +8 х-3}\
\ гідророзриву {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1)} &=\ розрив {x} {( x+3) (3 х-1)}\\
2 (3 х-1) -4 (х+3) &= х\\
6 х-2-4 х-12 &= х\\
2 х-14 &= х\\
x &= 14
\ кінець {вирівняний}
\]

Вправи 1.9
1)\(\quad x+\frac{5}{x}=-6\)
2)\(\quad x+\frac{6}{x}=-7\)
3)\(\quad y-\frac{5}{y}=2\)
4)\(\quad \frac{7}{a}+1=a\)
5)\(\quad \frac{9}{2 y+4}=\frac{3}{y}\)
6)\(\quad \frac{4}{3 n+7}=\frac{1}{2}\)
7)\(\quad \frac{x}{x+3}=\frac{8}{x+6}\)
8)\(\quad \frac{y-2}{2}=\frac{5}{y-5}\)
9)\(\quad \frac{2}{n}=\frac{n}{5 n+12}\)
10) \(\quad \frac{x}{4-x}=\frac{2}{x}\)
11)\(\quad \frac{5 x}{14 x+3}=\frac{1}{x}\)
12)\(\quad \frac{a}{8 a+3}=\frac{1}{3 a}\)
13)\(\quad \frac{9}{x-1}-\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x+2}\)
14)\(\quad \frac{1}{x-2}+\frac{4}{x+5}=\frac{1}{x-3}\)
15)\(\quad \frac{5}{3 x+2}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{x+2}\)
16)\(\quad \frac{1}{y-2}-\frac{4}{2 y+5}=\frac{6}{y-1}\)
17)\(\quad \frac{5}{x+1}+\frac{1}{x+2}=3\)
18)\(\quad \frac{1}{2 x-1}-\frac{2}{x+7}=1\)
19)\(\quad \frac{6}{y-4}-\frac{1}{y+2}=3\)
20)\(\quad \frac{10}{a+1}+\frac{3}{a-2}=2\)
21)\(\quad \frac{3 a}{a^{2}-2 a-15}-\frac{a}{a+3}=\frac{2 a}{a-5}\)
22)\(\quad \frac{u^{2}+2}{u^{2}+u-2}-\frac{3 u}{u+2}=\frac{-2 u-1}{u-1}\)
23)\(\quad \frac{4}{2 x-1}+\frac{2}{x+3}=\frac{5}{2 x^{2}+5 x-3}\)
24)\(\quad \frac{5}{x+5}-\frac{2}{x^{2}+2 x-15}=\frac{2}{x-3}\)
25)\(\quad \frac{5}{y-2}-\frac{3}{2 y-1}=\frac{4}{2 y^{2}-5 y+2}\)
26)\(\quad \frac{x+2}{x-1}+\frac{x+4}{x}=\frac{2 x+1}{x^{2}-x}\)
27)\(\quad \frac{x}{x+2}+\frac{x+1}{x^{2}-7 x-18}=\frac{5}{x-9}\)
28)\(\quad \frac{2 a}{a+7}-\frac{a}{a+3}=\frac{5}{a^{2}+10 a+21}\)
29)\(\quad \frac{x-1}{2 x+1}-\frac{2 x-3}{x+3}=\frac{3}{2 x^{2}+7 x+3}\)
30)\(\quad \frac{y}{y+4}+\frac{6}{y+1}=\frac{y^{2}+4}{y^{2}+5 y+4}\)

Додаток - Слово Проблеми
Далі є добірка проблем слів - деякі з давніх часів, деякі з епохи Відродження та Просвітництва, а деякі з 19-го і 20-го століття.
1) Викладач погодився працювати 9 місяців для\(\$ 562.50\) і ради ради. Після закінчення терміну, на рахунок двомісячної відсутності, викликаної хворобою, він отримував тільки\(\$ 409.50\) за свою семимісячну роботу. Якщо вчитель використовував усі дев'ять місяців своєї ради протягом терміну, якою була його дошка на місяць? (Американський 1892)

2) Слузі обіцяють\(\$ 100\) плюс плащ в якості заробітної плати за рік. Через сім місяців він йде і отримує\(\$ 20\) плюс плащ. Скільки коштує плащ? (Клавій, німецький 1608)

3) Податок з продажу одягу\(\frac{1}{20}\) становить їх вартість. Певний чоловік купує 42 одягу, розплачуючись мідними монетами. Два одягу та 10 мідних монет сплачуються як податок. Яка ціна одягу, я дізнався один? (Стародавня Індія)

4) Двоє торговців вином в'їжджають в Париж, один з них з 64 бочками вина, інший з 20 бочками (всі однакової вартості). так як у них не вистачає грошей для оплати митних зборів, перший платить 5 бочок вина і 40 франків, а другий платить 2 бочки вина і отримує 40 франків здачі. Яка ціна кожної бочки вина і яка мито на кожну бочку? (Чуке, французька 1484 р.)

5) Один з двох чоловіків мав 12 риб, а інший мав 13 риб, і вся риба була однаковою ціною. У першого чоловіка митний агент забрав 1 рибу і
12 денаріїв для оплати. Від іншого чоловіка він взяв 2 риби і дав йому назад 7 денарій як зміна. Знайдіть митний збір та ціну кожної риби. (Фібоначчі, італійська 1202)

6) Двоє торговців, що перевозять овчини, наближаються до кордону своєї країни. Перший трейдер має 100 овчин, а прикордонник бере 10 овечих шкур плюс в\(\$ 25\) якості тарифу. Другий трейдер має 42 овчини і за тариф прикордонник бере 7 овчин, але повертає\(\$ 14\) здачу. Який тариф на овчину і яка вартість кожної овчини?

7) Двоє людей мають певну суму грошей. Перший говорить до другого: «Якщо ви дасте мені 5 денарій, Я буду мати 7 разів, що у вас залишилося». Другий говорить до першого, «Якщо ви дасте мені 7 денарій, Я буду мати 5 разів, що у вас залишилося». Скільки грошей кожен має? Округлити до найближчого 10 го. (Леонардо, італійський c. 1500)

8) Два різних сценарії з Стародавньої Греції:
Двоє друзів гуляли. Один сказав іншому: «Якби у мене було ще 10 монет, у мене було б в 3 рази більше грошей, ніж у вас». Інший сказав: «Якби у мене було ще 10 монет, у мене було б у п'ять разів більше, ніж у вас». Скільки монет кожен має?

Двоє друзів гуляли. Один сказав іншому: «Якщо ви дасте мені 10 своїх монет, у мене буде в 3 рази більше грошей, ніж у вас». Інший сказав: «Якщо ви дасте мені 10 своїх монет, я б мав у п'ять разів більше, ніж ви». Скільки монет кожен має?

9) Енді і Бетті разом мають\(\$ 6\) менше, ніж Крістін. Якщо Бетті\(\$ 5\) віддає Енді, то у Енді буде вдвічі менше, ніж у Крістін. Якщо замість цього Енді\(\$ 5\) віддає Бетті, то Енді матиме на третину стільки ж, скільки Бетті. З чого кожна людина повинна почати?

10)\((\mathrm{A}, \mathrm{B} \text { and } \mathrm{C})\) Троє друзів мають певну суму грошей. А каже: «У мене стільки ж, скільки Б плюс одна третина стільки ж, скільки C». Б каже: «У мене стільки ж, скільки С плюс одна третина стільки ж, скільки А». Каже: «У мене 10 більше третини B.» Скільки має кожна людина? (Стародавня Греція)

11) На тест здали ще 39 учнів, ніж провалили. На наступному тесті 7, які здали перший тест, провалилися, а третина тих, хто провалив перший тест, пройшли другий. В результаті другий тест пройшов ще 31, ніж провалив його. Яким був рекорд проходження та невдачі на першому тесті?

12) На двох станціях, А і В, в шести милі один від одного на залізниці, ціни на вугілля вказані\(\$ 20\) за тонну і\(\$ 24\) за тонну відповідно. Норми перевезення вугілля\(\$ 2.00\) за тонну на милю від А і\(\$ 3.00\) за тонну на милю від Б. У будинку певного замовника, на залізниці від\(\mathrm{A}\) до\(\mathrm{B}\), вартість вугілля однакова, чи доставляється з А або Б. Знайти відстань до цього будинку від А.

13) У поїзді було на три чверті стільки жінок, скільки чоловіків. На наступній станції шість чоловіків і вісім жінок зійшли з поїзда, а дванадцять чоловіків і п'ять жінок сіли. Тоді в поїзді було на три п'ятих стільки жінок, скільки чоловіків. Скільки чоловіків і скільки жінок спочатку було в поїзді?

14) Якби театр міг поставити ще 5 місць поспіль, йому потрібно було б на 20 рядів менше, але якби в кожному ряду було на 3 менше місць, потрібно було б на 20 рядів більше, щоб посадити таку ж кількість. Скільки людей він буде сидіти?

15) Аудиторія з 450 чоловік сидить рядами, з однаковою кількістю людей в кожному ряду. Знадобилося б на 5 рядів менше, якби в кожному ряду сиділи ще 3 людини. У скільки рядів сидять люди?

16) Якщо вічнозелені рослини посаджені на 4 фути ближче один до одного, знадобиться ще 44 дерева для певного шматка дороги, але якщо їх посадити на 6 футів далі, для такої ж довжини дороги знадобиться 44 менше дерев. Скільки миль коштує шматок дороги? (використання\(5280 \text { feet }=1 \text { mile })\)

17) Власник кінотеатру виявив, що, підвищивши ціну кожного квитка
\(\$ 1.00,200\) меншою кількістю людей, і вона зламалася навіть, але якщо вона знизила ціну на\(\$ 1.00\) людину, відвідали 550 людей, і вона збільшила свої квитанції на
\(\$ 1000 .\) Яка звичайна ставка за людина?

18) Труби розсолу в штучному хокейному ковзанці шириною 84 футів однаково розташовані. Якби простір між кожною парою труб було збільшено на 1 дюйм, то знадобиться на 84 менше відрізків труби. Яке відстань між трубами зараз?

19) Полиця для вітальні має довжину 36 дюймів і містить певну кількість книг однакової ширини. Якби кожна книга була на півтора дюйма вужчою, полиця вмістила б ще шість книг. Скільки книг більш широкого розмаїття вона вміщує?

20) Я нахабний лев; носики мої два очі, рот мій і плоска правої ноги. Моє праве око заповнює баночку за два дні, ліве око через три, а моя нога - за чотири. Мій рот здатний заповнити його за шість годин. Скажіть, скільки часу піде всі чотири разом, щоб заповнити його. (Стародавня Греція)

21) Чоловік бажає мати 500 рублів зерна меленого. Він йде на млин, який має п'ять каменів. Перший камінь подрібнює 7 руб зерна за годину, другий подрібнює 5 рубіни за годину, третій 4 рубіни за годину, четвертий подрібнює 3 рубіни на годину, а п'ятий подрібнює 1 рубій на годину. Як довго буде подрібнюватися зерно і скільки робиться кожним каменем? (Клавій, німецький 1583)

22) Якщо двоє чоловіків і троє хлопчиків можуть орати акр за одну шосту частину дня, як довго потрібно було б троє чоловіків і два хлопчики, щоб орати його? (Едвард Брукс, американець 1873)
23) Шовник може розрізати шкіру для десяти пар взуття за один день. Він може закінчити 5 пар взуття за один день. Скільки пар взуття він може як вирізати, так і закінчити за один день? (Стародавній Єгипет)

24) Чотири водорозливу наповнюють резервуар. З чотирьох носиків один може заповнити бак за один день, другий займає два дні, третій займає три дні, а четвертий займає чотири дні. Скільки часу знадобиться всі чотири носики, що працюють разом, щоб заповнити бак? (Стародавня Греція)

25) Якщо за один день людина може зробити 30 стріл або злітати [надіти пір'я] 20 стріл, скільки стріл може ця людина як зробити, так і злітати за один день? (Стародавній Китай)

26) Один військовий кінь і один звичайний кінь можуть тягнути вантаж 40 дан. Дві звичайні коні і один неповноцінний кінь можуть тягнути такий же вантаж 40 дан, як і три неповноцінні коні і один військовий кінь. Скільки кожен кінь може тягнути окремо? (Стародавній Китай)

27) Бочка з водою має в ній кілька отворів. Перший отвір спорожняє повний стовбур через 3 дні. Другий отвір спорожняє повну бочку за 5 днів. Третій отвір спорожняє повний стовбур за 20 годин, а останній отвір спорожнює повний стовбур за 12 годин. Коли всі отвори відкриті, скільки часу знадобиться, щоб спорожнити бочку? (Леві бен Гершон, французька 1321)

28) Якийсь лев міг з'їсти вівцю за 4 години; леопард міг це зробити за 5 годин; а ведмідь за 6 годин. Скільки годин знадобилося б всім трьом тваринам, щоб пожирати вівцю, якби її кинули серед них? (Фібоначчі, італійська 1202)

29) Два кораблі знаходяться на деякій відстані один від одного, подорож яких перший може завершити за 5 днів, а інший за 7 днів - шукають у скільки днів вони зустрінуться, якщо почнуть подорож одночасно. (Фібоначчі, італійська 1202)

30) Сара, одна, може пофарбувати гараж за 24 години, її сестра Дженні, одна, може пофарбувати той же гараж за 12 годин. За допомогою матері утрьох можна пофарбувати гараж за 4 години. Скільки часу знадобилося б мати, працюючи одна, щоб пофарбувати гараж?

31) Знадобилося 75 робітників 38 днів, щоб побудувати набережну, яка буде використовуватися для боротьби з повенями. Якби 18 робітників були виведені на іншу роботу на самому початку роботи, скільки часу пішло б на будівництво набережної?

32) Марку, одному, потрібно 6 годин, щоб пофарбувати паркан, однак йому допомагає його молодший брат, який один зміг це зробити за 9 годин. Якщо вони починають роботу о 8:30 ранку, в який час вони повинні закінчити роботу?

33) Група вирішує побудувати кабіну разом. Роботу можуть виконати 3 кваліфікованих робітника за 4 дні або 5 аматорів за 6 днів. Скільки часу займе, якби всі вони працювали разом?

34) Якщо для будівництва шматка дороги потрібно 18 робітників 50 днів, на скільки днів раніше це було б зроблено, якби на початку операцій було найнято ще 7 працівників?

35) Підрядник підрахував, що певну роботу виконають 9 теслярів за 8 годин або 16 аматорів за 9 годин. Підрядник бажає виконати роботу якомога швидше і використовує як професійних теслярів, так і любителів на одній роботі. Четверо теслярів і 4 любителя починають роботу о 6 ранку. Дозволяючи 45 хвилин на обід, в який час вони повинні закінчити роботу?

36) Місіс Елліс одна може виконати роботу за 6 днів. Її старша дочка займає 2 дні довше, молодша дочка займає вдвічі більше часу, ніж її мати. Скільки часу знадобиться, щоб завершити роботу, якщо всі три працюватимуть разом?

37) Якщо 5 чоловіків та 2 хлопчика працюють разом, частина роботи може бути виконана за один день, а якщо 3 чоловіки та 6 хлопчиків працюють разом, її можна виконати за один день. Скільки часу займе хлопчик, щоб зробити роботу самостійно?

38) Вугільна компанія може заповнити певне замовлення з однієї шахти за 3 тижні і з другої шахти за 5 тижнів. Скільки тижнів потрібно для заповнення замовлення, якби використовувалися обидві міни?

39) Якщо 25 кваліфікованих робітників працюють протягом 8 днів, вони можуть завершити будівництво бетонної греблі; 12 кваліфікованих робітників та 15 непідготовлених робітників разом можуть завершити дамбу за 10 днів. Скільки часу займе нетренований працівник самостійно, щоб завершити роботу на греблі?

40)\(A\) і\(B\) працюючи разом, можна завершити частину роботи за 30 днів. Після того, як вони обидва відпрацювали 18 днів, однак,\(A\) залишає і\(B\) закінчує роботу самостійно ще через 20 днів. Знайдіть час, в який кожен зможе виконати роботу самостійно.

41) Візок для звалища може перевозити достатню кількість гравію, щоб заповнити яму за 6 днів. Вантажівка може виконати ту ж роботу за 2 дні. Скільки часу знадобилося б два самоскиди та одна вантажівка, що працюють разом, щоб заповнити яму?