1.8: Складні фракції

1.8 Складні дроби
Складні дроби передбачають спрощення раціонального виразу, який має складний чисельник та/або знаменник
Приклад
Simplify.
\ [
\ frac {3+\ frac {x} {x+2}} {1-\ frac {x+3} {x-1}}
\]
Існує безліч способів підходу до цієї проблеми. Одним з найбільш простих способів спростити вираз вище є створення спільних знаменників для чисельника і знаменника таким чином, щоб кожен з них був єдиним дробовим виразом:
\ [
\ begin {aligned}
\ frac {3+\ frac {x} {x+2}} {1-\ frac {x+3} {x-1}} &=\ frac {\\ гідророзриву {3} {1} *\ гідророзриву {x+2} {x+2} +\ гідророзриву {x} {x+2}} {\ гідророзриву {1} *\ гідророзриву {x-1} {x-1} -\ гідророзриву {x-1}}\\
&=\ гідророзриву {\ лівий (\ frac {3 x+6+x} {x+2}} праворуч)} {\ ліворуч (\ frac {x-1- (x+3)} {x-1}\ праворуч)}
\ end {вирівняний}
\]
\(=\frac{\left(\frac{4 x+6}{x+2}\right)}{\left(\frac{-4}{x-1}\right)} \quad\) (Тепер це проблема поділу)
\ [
\ begin {масив} {l}
=\ розрив {4 x+6} {x+2} *\ розрив {x-1} {-4} =\ гідророзриву {2 (2 x+3)} {x+2} *\ frac {-4}\
=\ frac {\ скасувати {2} (2 x+3)} {x+2} *\ frac {x-1} {\ скасувати {-4} (-2)} =\ розрив {(2 x+3) (x-1)} {-2 (x+2)}
\ end {масив}
\]

Спрощення складних дробів використовує всі попередні поняття про раціональні вирази, які ми розглянули в цьому розділі.
Приклад
спрощення.
\ [
\ frac {x-\ frac {x} {x+3}} {1+\ frac {2} {x}}
\]
\(\frac{x-\frac{x}{x+3}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{\frac{x}{1} * \frac{x+3}{x+3}-\frac{x}{x+3}}{\frac{1}{1} * \frac{x}{x}+\frac{2}{x}} \quad\) створення спільних знаменників
\ [
\ begin {масив} {l}
=\ frac {\ frac {x (x+3) -x} {x+3}\ праворуч)} {\ лівий (\ frac {x+2} {x}\ праворуч)}\\
=\ гідророзриву {\ ліворуч ( \ розрив {x^ {2} +3 x-x} {x+3}\ праворуч)} {\ лівий (\ frac {x+2} {x}\ праворуч)} =\ frac {\ лівий (\ frac {x^ {2} +2} +2 x} {x+3}\ праворуч)} {\ лівий (\ frac {x+2} {x}\ праворуч)}\ текст {ділення дробів}\
=\ розрив {x^ {2} +2 x} {x+3} *\ гідророзрив {x} {x+2} =\ розрив {x (x+2)} {x+3} *\ гідророзриву {x} {x+2}
\ end {масив}
\]
\(=\frac{x\cancel{(x+2)}}{x+3} * \frac{x}{\cancel{x+2}} \quad\)коефіцієнт і скасування для зменшення до найнижчих
показників\ [
=\ frac {x^ {2}} {x+3}
\]

Вправи 1.8
Спростити кожен складний дріб. Висловіть свою відповідь в найнижчих вираженнях.
1)\(\frac{1}{\left(x+\frac{y}{2}\right)}\)
2)\(\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}{\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)}\)
3)\(\frac{\left(1+\frac{m}{n}\right)}{\left(1-\frac{n^{2}}{m^{2}}\right)}\)
4)\(\frac{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)}{\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}\right)}\)
5)\(\frac{\left(\frac{x}{y}-\frac{x-y}{x+y}\right)}{\left(\frac{y}{x}+\frac{x-y}{x+y}\right)}\)
6)\(\frac{\left(\frac{7}{a+1}-\frac{3}{a}\right)}{\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{a-1}\right)}\)
7)\(\frac{\left(x-\frac{1}{2 x+1}\right)}{\left(1-\frac{2}{2 x+1}\right)}\)
8)\(\frac{\left(\frac{1}{2 x-2}-\frac{1}{x}\right)}{\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x-1}\right)}\)
9)\(\frac{\left(x+\frac{4}{x+4}\right)}{\left(x-\frac{4 x+4}{x+4}\right)}\)
10)\(\frac{\left(x-\frac{x+6}{x+2}\right)}{\left(x-\frac{4 x+15}{x+2}\right)}\)
11)\(\frac{\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-3}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^{2}-x-6}\right)}\)
\(\frac{\left(1-\frac{1}{x+1}\right)}{\left(1+\frac{1}{x-1}\right)}\)
13)\(\frac{\left(\frac{1}{a-b}-\frac{3}{a+b}\right)}{\left(\frac{2}{b-a}+\frac{4}{b+a}\right)}\)
14)\(\frac{\left(\frac{3}{y^{2}-4}\right)}{\left(\frac{1}{y+2}-\frac{1}{y-2}\right)}\)
\(\frac{\left(n+2-\frac{5}{n-2}\right)}{\left(1-\frac{1}{(n-2)^{2}}\right)}\)
16)\(\frac{\left(4+\frac{1}{x+1}\right)}{\left(16-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)}\)
17)\(\frac{\left(2+\frac{x-2}{1-x^{2}}\right)}{\left(2-\frac{3}{x+1}\right)}\)
18)\(\frac{\left(\frac{1}{2 x-1}-\frac{1}{2 x+1}\right)}{\left(4-\frac{1}{x^{2}}\right)}\)