6.4: Найбільший загальний фактор
- Page ID
- 58490
Метод факторингу
В останніх двох типах проблем ми знали один із факторів і змогли визначити інший фактор через поділ. Припустимо, тепер ми отримали продукт без будь-яких факторів. Наша проблема полягає в тому, щоб знайти фактори, якщо це можливо. Ця процедура і дві попередні процедури засновані на розподільному майні.
Ми будемо використовувати розподільну властивість в зворотному порядку.
\(\underbrace{a b+a c}_{\text {product }}=\underbrace{a(b+c)}_{\text {factors }}\)
Ми помічаємо, що в продукті,\(a\) є загальним для обох термінів. (Насправді,\(a\) є загальним фактором обох термінів.) Оскільки\(a\) є спільним для обох термінів, ми будемо враховувати його і написати
\(a ()\)
Тепер потрібно визначити, що помістити всередині дужок. Це процедура попереднього розділу. Розділіть кожен член твору на відомий фактор\(a\).
\(\dfrac{ab}{a} = b\)і\(\dfrac{ac}{a} = c\)
Таким чином,\(b\) і\(c\) є обов'язковими термінами інший фактор. Отже,
\(ab + ac = a(b+c)\)
При факторингу монома з полінома ми шукаємо фактори, які є не тільки загальними для кожного члена многочлена, але й фактори, які мають ці властивості:
- Чисельні коефіцієнти є найбільшими загальними числовими коефіцієнтами.
- Змінні мають найбільші показники, загальні для всіх змінних.
Найбільший загальний фактор
Мономіальний фактор, який відповідає двом вищезазначеним вимогам, називається найбільшим загальним фактором многочлена.
Набір зразків A
Фактор\(3x - 18\)
Найбільшим поширеним фактором є\(3\).
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
3x-18&=&3\ cdot x - 3\ cdot 6&\ text {Фактор} 3\
3x-18&=&3 () &\ текст {Розділити кожен термін продукту на} 3\\
&&&\ dfrac {3x} {3} = x\ текст {і}\ dfrac {-18} {3} = x\ текст {і}\ dfrac {-18} {3} = -6\\
&&&\ текст {( Спробуйте виконати цей поділ подумки.} \\
3x-18&=&3 (x-6)
\ кінець {масив}\)
Фактор\(9x^3+18x^2+27x\)
Зверніть увагу, що\(9x\) це найбільший загальний фактор.
\(9x^3 + 18x^2 + 27x = 9x \cdot x^2 + 9x \cdot 2x + 9x \cdot 3\). Фактор out\(9x\)
\(9x^3 + 18x^2 + 27x = 9x()\) Подумки\(9x\) розділити на кожен термін продукту\)
\(9x^3 + 18x^2 + 27x = 9x(x^2+2x+3)\)
Фактор\(10x^2y^3 - 20xy^4 - 35y^5\).
Зверніть увагу, що\(5y^3\) це найбільший загальний фактор. Фактор вихід\(5y^3\).
\(10x^2y^3-20xy^4-35y^5 = 5y^3()\)
Подумки\(5y^3\) розділіть на кожен член твору і помістіть отримані частки всередині ().
\(10x^2y^3-20xy^4-35y^5=5y^3(2x^2-4xy-7y^2)\)
Фактор\(-12x^5 + 8x^3 - 4x^2\).
Ми бачимо, що найбільшим загальним фактором є\(-4x^2\).
\(-12x^5 + 8x^3 - 4x^2 = -4x^2()\)
Подумки\(-4x^2\) розділивши на кожен термін твір, отримуємо
\(-12x^5 + 8x^3 - 4x^2 = -4x^2(3x^3 - 2x + 1\)
Практика Set A
Фактор\(4x−48\).
- Відповідь
-
\(4(x−12)\)
Фактор\(6y^3 + 24y^2 + 36y\)
- Відповідь
-
\(6y(y^2 + 4y + 6)\)
Фактор\(10a^5b^4 - 14a^4b^5-8b^6\)
- Відповідь
-
\(2b^4(5a^5 - 7a^4b - 4b^2\)
Фактор\(-14m^4 + 28m^2 - 7m\)
- Відповідь
-
\(-7m(2m^2 - 4m + 1\)
Розглянемо цю проблему: фактор\(Ax+Ay\). Звичайно,\(Ax+Ay=A(x+y)\). Ми знаємо з самого початку нашого вивчення алгебри, що букви представляють одиничні величини. Ми також знаємо, що кількість, що зустрічається в наборі дужок, слід розглядати як єдину величину. Припустимо,\(A\) що буква представляє кількість\((a+b)\). Тоді у нас є
\(Ax + Ay = A(x+y)\)
\((a+b)x + (a+b)y = (a+b)(x+y)\)
Коли ми спостерігаємо вираз
\((a+b)x + (a+b)y\)
ми помічаємо, що\((a+b)\) є спільним для обох термінів. Оскільки це звичайне явище, ми враховуємо це.
\((a+b)( )\)
Як завжди, визначаємо, що помістити всередині дужок, розділивши кожен член твору на\((a+b)\).
\(\dfrac{(a+b)x}{(a+b)} = x\)і\(\dfrac{(a+b)y}{(a+b)} = y\)
Це є попередником факторингу, який буде здійснено в розділі 5.4.
Набір зразків B
Фактор\((x−7)a+(x−7)b\).
Зверніть увагу, що\((x-7)\) це найбільший загальний фактор. Фактор вихід\((x-7)\).
\((x-7)a + (x-7)b = (x-7)( )\)
Потім,\(\dfrac{(x-7)a}{(x-y)} = a \text{ and } \dfrac{(x-7)b}{(x-7)} = b\)
\((x-7)a+(x-7)b = (x-7)(a+b)\)
Фактор\(3x^2(x+1)-5x(x+1)\).
Зверніть увагу, що\(x\) і\((x+1)\) є загальними для обох термінів. Фактор їх. Ми виконаємо цю факторизацію, дозволяючи\(A = x(x+1)\). Тоді у нас є
\(3xA-5A = A(3x-5)\)
Але\(A = x(x+1)\), так
\(3x^2(x+1)-5x(x+1) = x(x+1)(3x-5)\)
Практика Set B
Фактор\((y+4)a+(y+4)b\).
- Відповідь
-
\((y+4)(a+b)\)
Фактор\(8m^3(n-4) - 6m^2(n-4)\)
- Відповідь
-
\(2m^2(n-4)(4m-3)\)
Вправи
Для наступних задач множник поліномів.
\(9a+18\)
- Відповідь
-
\(9(a+2)\)
\(6a+24\)
\(8b+12\)
- Відповідь
-
\(4(2b+3)\)
\(16x+12\)
\(4x−6\)
- Відповідь
-
\(2(2x−3)\)
\(8x−14\)
\(21y−28\)
- Відповідь
-
\(7(3y−4)\)
\(16f−36\)
\(12x^2 + 18x\)
- Відповідь
-
\(6x(2x+3)\)
\(10y^2 + 15y\)
\(8y^2 + 18\)
- Відповідь
-
\(2(4y^2 + 9)\)
\(7x^2 - 21\)
\(3y^2 - 6\)
- Відповідь
-
\(3(y^2 - 2)\)
\(2x^2-2\)
\(6y^2-6y\)
- Відповідь
-
\(6y(y−1)\)
\(ax^2-a\)
\(by^2 + b\)
- Відповідь
-
\(b(y^2 + 1)\)
\(7by^2 + 14b\)
\(5a^2x^2 + 10x\)
- Відповідь
-
\(5x(a^2x + 2)\)
\(24ax^2 + 28a\)
\(10x^2 + 5x - 15\)
- Відповідь
-
\(5(2x^2 + x - 3)\)
\(12x^2 - 8x - 16\)
\(15y^3 - 24y + 9\)
- Відповідь
-
\(3(5y^3 - 8y + 3)\)
\(ax^2 + ax + a\)
\(by^3 + by^2 + by + b\)
- Відповідь
-
\(b(y^3 + y^2 + y + 1)\)
\(2y^2 + 6y + 4xy\)
\(9x^2 + 6xy + 4x\)
- Відповідь
-
\(x(9x+6y+4)\)
\(30a^2b^2 + 40a^2b^2 + 50a^2b^2\)
\(13x^2y^5c - 26x^2y^5c - 39x^2y^5\)
- Відповідь
-
\(13x^2y^5(-c-3)\)
\(-4x^2-12x-8\)
\(-6y^3 - 8y^2 - 14y + 10\)
- Відповідь
-
\(-2(3y^3 + 4y^2 + 7y - 5)\)
\(Ab+Ac\)
\(Nx+Ny\)
- Відповідь
-
\(N(x+y)\)
\(Qx+Qy\)
\(Ax−Ay\)
- Відповідь
-
\(A(x−y)\)
\((x+4)b+(x+4)c\)
\((x−9)a+(x−9)b\)
- Відповідь
-
\((x−9)(a+b)\)
\((2x+7)a+(2x+7)b\)
\((9a−b)w−(9a−b)x\)
- Відповідь
-
\((9a−b)(w−x)\)
\((5−v)X+(5−v)Y\)
\(3x^5y^4 - 12x^3y^4 + 27x^5y^3 - 6x^2y^6\)
- Відповідь
-
\(3x^2y^3(x^3y - 4xy + 9x^3-2y^3)\)
\(8a^3b^{15} + 24a^2b^{14} + 48a^3b^6 - 20a^3b^7 + 80a^4b^6 - 4a^3b^6 - 4a^3b^7 + 4a^2b\)
\(-8x^3y^2 - 3x^3y^2 + 16x^4y^3 + 2x^2y\)
- Відповідь
-
\(-x^2y(11xy-16x^2y^2-2)\)
Вправи для рецензування
Кількість плюс\(21\)% більше цієї кількості\(26.25\). Яка початкова кількість?
Вирішити рівняння\(6(t−1)=4(5−s)\), якщо\(s=2\).
- Відповідь
-
\(t=3\)
Враховуючи, що\(4a^3\) є фактором\(8a^3 - 12a^2\), знайдіть інший фактор.