23: Теорія Галуа

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 22.8: Вправи шавлії
- 23.1: Польові автоморфізми

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Класичною задачею алгебри є пошук розв'язків поліноміального рівняння. Рішення квадратного рівняння було відомо ще в давнину. Італійські математики знайшли загальні розв'язки загальних кубічних і квартичних рівнянь у шістнадцятому столітті; однак спроби розв'язання загального полінома п'ятого ступеня, або квінтичного, були відбиті протягом наступних трьохсот років. Звичайно, рівняння, такі як $x^5 - 1 = 0$ або $x^6 - x^3 - 6 = 0$ можуть бути розв'язані, але жодного розв'язку, подібного до квадратичної формули, не знайдено для загального квінтика,

$a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0\text{.} \nonumber$

Нарешті, на початку дев'ятнадцятого століття Руффіні та Абель знайшли квінтики, які не могли бути вирішені жодною формулою. Однак саме Галуа надав повне пояснення, показавши, які поліноми можна і не можна вирішувати за формулами. Він виявив зв'язок між групами і розширеннями полів. Теорія Галуа демонструє сильну взаємозалежність теорії груп та полів і мала далекосяжні наслідки за межами своєї початкової мети.

У цьому розділі ми доведемо фундаментальну теорему теорії Галуа. Цей результат буде використаний для встановлення нерозв'язності квінтики та доведення фундаментальної теореми алгебри.