23: Теорія Галуа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64378

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Класичною задачею алгебри є пошук розв'язків поліноміального рівняння. Рішення квадратного рівняння було відомо ще в давнину. Італійські математики знайшли загальні розв'язки загальних кубічних і квартичних рівнянь у шістнадцятому столітті; однак спроби розв'язання загального полінома п'ятого ступеня, або квінтичного, були відбиті протягом наступних трьохсот років. Звичайно, рівняння, такі як\(x^5 - 1 = 0\) або\(x^6 - x^3 - 6 = 0\) можуть бути розв'язані, але жодного розв'язку, подібного до квадратичної формули, не знайдено для загального квінтика,

\[ a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0\text{.} \nonumber \]

Нарешті, на початку дев'ятнадцятого століття Руффіні та Абель знайшли квінтики, які не могли бути вирішені жодною формулою. Однак саме Галуа надав повне пояснення, показавши, які поліноми можна і не можна вирішувати за формулами. Він виявив зв'язок між групами і розширеннями полів. Теорія Галуа демонструє сильну взаємозалежність теорії груп та полів і мала далекосяжні наслідки за межами своєї початкової мети.

У цьому розділі ми доведемо фундаментальну теорему теорії Галуа. Цей результат буде використаний для встановлення нерозв'язності квінтики та доведення фундаментальної теореми алгебри.