Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Групи перестановок

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64203

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Групи перестановок займають центральне місце при вивченні геометричних симетрій і теорії Галуа, вивченні пошуку розв'язків поліноміальних рівнянь. Вони також надають рясні приклади неабелевих груп.

    Згадаймо на мить симетрії рівностороннього трикутника\(\bigtriangleup ABC\) з глави 3. Симетрії насправді складаються з перестановок трьох вершин, де перестановка множини\(S = \{ A, B, C \}\) є один на один і\(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) на карті Три вершини мають наступні шість перестановок.

    \ begin {align*}\ почати {pmatrix} A & B & C\\ A & B & C\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ end {pmatrix} B & C\\ A & C & B\ кінець {pmatrix}\ quad \ почати {pmatrix} A & B & C\\ C & B & A\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ end {pmatrix}\ end {align*}

    Ми використовували масив

    \[ \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix} \nonumber \]

    для позначення перестановки, що посилає\(A\)\(B\text{,}\)\(B\)\(C\) до\(C\text{,}\) і до\(A\text{.}\) Тобто,

    \ begin {вирівнювати*} A &\ відображатиметься на B\\ B &\\ відображатися на C\\ C &\ mapstto A\ text {.} \ end {вирівнювати*}

    Симетрії трикутника утворюють групу. У цьому розділі ми вивчимо групи такого типу.