5: Групи перестановок

Групи перестановок займають центральне місце при вивченні геометричних симетрій і теорії Галуа, вивченні пошуку розв'язків поліноміальних рівнянь. Вони також надають рясні приклади неабелевих груп.

Згадаймо на мить симетрії рівностороннього трикутника$\bigtriangleup ABC$ з глави 3. Симетрії насправді складаються з перестановок трьох вершин, де перестановка множини$S = \{ A, B, C \}$ є один на один і$\pi :S \rightarrow S\text{.}$ на карті Три вершини мають наступні шість перестановок.

\ begin {align*}\ почати {pmatrix} A & B & C\\ A & B & C\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ end {pmatrix} B & C\\ A & C & B\ кінець {pmatrix}\ quad \ почати {pmatrix} A & B & C\\ C & B & A\ end {pmatrix}\ qquad\ begin {pmatrix} A & B & C\\ end {pmatrix}\ end {align*}

Ми використовували масив

для позначення перестановки, що посилає$A$$B\text{,}$$B$$C$ до$C\text{,}$ і до$A\text{.}$ Тобто,

\ begin {вирівнювати*} A &\ відображатиметься на B\\ B &\\ відображатися на C\\ C &\ mapstto A\ text {.} \ end {вирівнювати*}

Симетрії трикутника утворюють групу. У цьому розділі ми вивчимо групи такого типу.