4.5: Вправи

1

Доведіть або спростуйте кожне з наступних тверджень.

1. Всі генератори\({\mathbb Z}_{60}\) є простими.
2. \(U(8)\)носить циклічний характер.
3. \({\mathbb Q}\)носить циклічний характер.
4. Якщо кожна власна підгрупа групи\(G\) циклічна, то\(G\) є циклічною групою.
5. Група з кінцевим числом підгруп є скінченною.

2

Знайдіть порядок кожного з наступних елементів.

1. \(\displaystyle 5 \in {\mathbb Z}_{12}\)
2. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}\)
3. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast\)
4. \(\displaystyle -i \in {\mathbb C}^\ast\)
5. \(\displaystyle 72 \in {\mathbb Z}_{240}\)
6. \(\displaystyle 312 \in {\mathbb Z}_{471}\)

3

Перерахуйте всі елементи в кожній з наступних підгруп.

1. Підгрупа\({\mathbb Z}\) згенерованих\(7\)
2. Підгрупа\({\mathbb Z}_{24}\) згенерованих\(15\)
3. Всі підгрупи\({\mathbb Z}_{12}\)
4. Всі підгрупи\({\mathbb Z}_{60}\)
5. Всі підгрупи\({\mathbb Z}_{13}\)
6. Всі підгрупи\({\mathbb Z}_{48}\)
7. Підгрупа, згенерована 3 в\(U(20)\)
8. Підгрупа, згенерована 5 в\(U(18)\)
9. Підгрупа\({\mathbb R}^\ast\) згенерованих\(7\)
10. Підгрупа\({\mathbb C}^\ast\) генерується за допомогою\(i\) where\(i^2 = -1\)
11. Підгрупа\({\mathbb C}^\ast\) згенерованих\(2i\)
12. Підгрупа\({\mathbb C}^\ast\) згенерованих\((1 + i) / \sqrt{2}\)
13. Підгрупа\({\mathbb C}^\ast\) згенерованих\((1 + \sqrt{3}\, i) / 2\)

4

Знайдіть підгрупи\(GL_2( {\mathbb R })\) генеруються кожною з наступних матриць.

1. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
3. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
4. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
5. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
6. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}\)

5

Знайдіть порядок кожного елемента в\({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

6

Знайти порядок кожного елемента в групі симетрії квадрата,\(D_4\text{.}\)

7

Які всі циклічні підгрупи кватерніонної групи,\(Q_8\text{?}\)

8

Перелічити всі циклічні підгрупи\(U(30)\text{.}\)

9

Перерахуйте кожен генератор кожної підгрупи порядку 8 в\({\mathbb Z}_{32}\text{.}\)

10

Знайти всі елементи скінченного порядку в кожній з наступних груп. Тут «\(\ast\)» позначає набір зі знятим нулем.

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Q}^\ast\)
3. \(\displaystyle {\mathbb R}^\ast\)

11

Якщо\(a^{24} =e\) в групі,\(G\text{,}\) які можливі замовлення\(a\text{?}\)

12

Знайдіть циклічну групу з рівно одним генератором. Чи можете ви знайти циклічні групи з рівно двома генераторами? Чотири генератори? Як щодо\(n\) генераторів?

13

Для\(n \leq 20\text{,}\) яких груп\(U(n)\) циклічні? Складіть здогадки щодо того, що істинно взагалі. Чи можете ви довести свою здогадку?

14

Нехай

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \nonumber \]

бути елементами в\(GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Показати, що\(A\) і\(B\) мають кінцеві порядки,\(AB\) але ні.

15

Оцініть кожне з наступних дій.

1. \(\displaystyle (3-2i)+ (5i-6)\)
2. \(\displaystyle (4-5i)-\overline{(4i -4)}\)
3. \(\displaystyle (5-4i)(7+2i)\)
4. \(\displaystyle (9-i) \overline{(9-i)}\)
5. \(\displaystyle i^{45}\)
6. \(\displaystyle (1+i)+\overline{(1+i)}\)

16

Перетворіть наступні комплексні числа у форму\(a + bi\text{.}\)

1. \(\displaystyle 2 \operatorname{cis}(\pi / 6 )\)
2. \(\displaystyle 5 \operatorname{cis}(9\pi/4)\)
3. \(\displaystyle 3 \operatorname{cis}(\pi)\)
4. \(\displaystyle \operatorname{cis}(7\pi/4) /2\)

17

Змініть наступні комплексні числа на полярне представлення.

1. \(\displaystyle 1-i\)
2. \(\displaystyle -5\)
3. \(\displaystyle 2+2i\)
4. \(\displaystyle \sqrt{3} + i\)
5. \(\displaystyle -3i\)
6. \(\displaystyle 2i + 2 \sqrt{3}\)

18

Обчисліть кожне з наступних виразів.

1. \(\displaystyle (1+i)^{-1}\)
2. \(\displaystyle (1 - i)^{6}\)
3. \(\displaystyle (\sqrt{3} + i)^{5}\)
4. \(\displaystyle (-i)^{10}\)
5. \(\displaystyle ((1-i)/2)^{4}\)
6. \(\displaystyle (-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}\)
7. \(\displaystyle (-2 + 2i)^{-5}\)

19

Доведіть кожне з наступних тверджень.

1. \(\displaystyle |z| = | \overline{z}|\)
2. \(\displaystyle z \overline{z} = |z|^2\)
3. \(\displaystyle z^{-1} = \overline{z} / |z|^2\)
4. \(\displaystyle |z +w| \leq |z| + |w|\)
5. \(\displaystyle |z - w| \geq | |z| - |w||\)
6. \(\displaystyle |z w| = |z| |w|\)

20

Перерахуйте і графуйте 6-е коріння єдності. Які бувають генератори цієї групи? Які примітивні 6-е коріння єдності?

21

Перерахуйте і графуйте 5-е коріння єдності. Які бувають генератори цієї групи? Які примітивні 5-е коріння єдності?

22

Обчисліть кожне з наступних дій.

1. \(\displaystyle 292^{3171} \pmod{ 582}\)
2. \(\displaystyle 2557^{ 341} \pmod{ 5681}\)
3. \(\displaystyle 2071^{ 9521} \pmod{ 4724}\)
4. \(\displaystyle 971^{ 321} \pmod{ 765}\)

23

\(a, b \in G\text{.}\)Дозвольте довести наступні твердження.

1. Порядок\(a\) такої ж, як і порядок\(a^{-1}\text{.}\)
2. Для всіх\(g \in G\text{,}\)\(|a| = |g^{-1}ag|\text{.}\)
3. Порядок\(ab\) такої ж, як і порядок\(ba\text{.}\)

24

\(q\)Дозволяти\(p\) і бути відмінними простими числами. Скільки генераторів\({\mathbb Z}_{pq}\) має?

25

\(p\)Дозволяти бути простим і\(r\) бути натуральним числом. Скільки генераторів\({\mathbb Z}_{p^r}\) має?

26

Доведіть, що не\({\mathbb Z}_{p}\) має нетривіальних підгруп\(p\), якщо є простим.

27

Якщо\(g\) і\(h\) є замовлення\(15\) і\(16\) відповідно в групі\(G\text{,}\) який порядок\(\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \text{?}\)

28

\(a\)Дозволяти бути елементом в групі\(G\text{.}\) Що таке генератор для підгрупи\(\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\text{?}\)

29

Доведіть, що\({\mathbb Z}_n\) має парну кількість генераторів для\(n \gt 2\text{.}\)

30

Припустимо, що\(G\) це група і нехай\(a\text{,}\)\(b \in G\text{.}\) Доведіть, що якщо\(|a| = m\) і\(|b| = n\) з\(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) то\(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}\)

31

\(G\)Дозволяти бути абелевою групою. Показати, що елементи скінченного порядку\(G\) утворюють підгрупу. Ця підгрупа називається торсіонною підгрупою\(G\text{.}\)

32

\(G\)Дозволяти кінцева циклічна група порядку\(n\) генерується\(x\text{.}\) Показати, що якщо\(y = x^k\) де\(\gcd(k,n) = 1\text{,}\) то\(y\) повинен бути генератор\(G\text{.}\)

33

Якщо\(G\) є абелевою групою, яка містить пару циклічних підгруп порядку\(2\text{,}\) показати, що\(G\) повинна містити підгрупу порядку\(4\text{.}\) Чи повинна ця підгрупа бути циклічною?

34

\(G\)Дозволяти бути абелевою групою порядку,\(pq\) де\(\gcd(p,q) = 1\text{.}\) If\(G\) містить елементи\(a\) і\(b\) порядку\(p\) і\(q\) відповідно, потім показати, що\(G\) є циклічним.

35

Доведіть, що\(\mathbb Z\) підгрупи саме\(n{\mathbb Z}\) для\(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)

36

Доведіть, що генератори цілих чисел\(r\) такі, що\(1 \leq r \lt n\) і\({\mathbb Z}_n\)\(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)

37

Довести, що якщо не\(G\) має належних нетривіальних підгруп, то\(G\) є циклічною групою.

38

Довести, що порядок елемента в циклічній групі\(G\) повинен розділити порядок групи.

39

Доведіть,\(G\) що якщо циклічна група порядку,\(m\) а\(d \mid m\text{,}\) потім\(G\) повинні мати підгрупу порядку\(d\text{.}\)

40

Для чого цілі числа\(n\)\(-1\) є\(n\) корінь одиниці?

41

Якщо\(z = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) і\(w = s(\cos \phi + i \sin \phi)\) є двома ненульовими комплексними числами, показати, що

\[ zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]\text{.} \nonumber \]

42

Доведіть, що група кола є підгрупою\({\mathbb C}^*\text{.}\)

43

Довести, що коріння єдності утворюють циклічну\({\mathbb T}\) підгрупу порядку\(n\)\(n\text{.}\)

44

\(\alpha \in \mathbb T\text{.}\)Дозвольте довести, що\(\alpha^m =1\) і\(\alpha^n = 1\) якщо і тільки якщо\(\alpha^d = 1\)\(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

45

Нехай\(z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}\) Якщо\(|z| \neq 1\text{,}\) довести, що порядок\(z\) нескінченний.

46

Дозвольте\(z =\cos \theta + i \sin \theta\) бути в\({\mathbb T}\) де\(\theta \in {\mathbb Q}\text{.}\) Доведіть, що порядок\(z\) нескінченний.