Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1.5: Синус і косинус комплементарних кутів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54668

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Синус кута дорівнює косинусу його доповнення.

    \(\Delta ABC\)являє собою прямокутний трикутник з\(m\angle C=90^{\circ}\) і\(\sin A=k\). Що таке\(\cos B\)?

    Синус і косинус комплементарних кутів

    Нагадаємо, що синус і косинус кутів - це співвідношення пар сторін в прямих трикутниках.

    • Синус кута в прямокутному трикутнику - це відношення сторони, протилежної куту, до гіпотенузи.
    • Косинус кута в прямокутному трикутнику - це відношення сторони, прилеглої до кута, до гіпотенузи.

    У наведених нижче задачах ви вивчите, як пов'язані синус і косинус кутів у прямокутному трикутнику.

    Давайте розглянемо кілька прикладів проблем.

    1. Розглянемо прямокутний трикутник нижче. Знайти синус і косинус кутів A і B через a, b і c Що ви помітили?

    F-D_6381D803F3B9E1340A77b9BF35C98eb57ФБА961Б9534E48052637A85+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \(\sin A=\dfrac{a}{c}\),\(\sin B=\dfrac{b}{c}\)\(\cos A=\dfrac{b}{c}\),\(\cos B=\dfrac{a}{c}\) Зверніть увагу, що\(\sin A=\cos B\) і\(\sin B=\cos A\).

    2. Розглянемо трикутник з попередньої задачі. Як це\(\angle A\) пов'язано з\(\angle B\)?

    Сума мір трьох кутів у трикутнику дорівнює\(180^{\circ}\). Це означає, що\(m\angle A+m\angle B+m\angle C=180^{\circ}\). \(\angle C\)є прямим кутом так\(m\angle C=90^{\circ}\). Тому,\(m\angle A+m\angle B=90^{\circ}\). Кути A і B є доповнюючими кутами, оскільки їх сума є\(90^{\circ}\).

    У #1 ви бачили, що\(\sin A=\cos B\) і\(\sin B=\cos A\). Це означає, що синус і косинус взаємодоповнюючих кутів рівні.

    3. Знайти\(80^{\circ}\) і\(\cos 10^{\circ}\). Поясніть результат.

    \(\sin 80^{\circ}\approx 0.985\)і\(\cos 10^{\circ}\approx 0.985\). \(\sin 80^{\circ}=\cos 10^{\circ}\)тому що\(80^{\circ}\) і\(10^{\circ}\) є додатковими кутовими мірами. \(\sin 80^{\circ}\)і\(\cos 10^{\circ}\) є співвідношеннями однакових сторін прямокутного трикутника, як показано нижче.

    F-D_79818954 AB634D05767dB6Db1F5a61060324d49bf22d7705a3C49+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, що таке\(\cos B\).

    \(\Delta ABC\)являє собою прямокутний трикутник з\(m\angle C=90^{\circ}\) і\(\sin A=k\). Що таке\(\cos B\)?

    Рішення

    \(\angle A\)і\(\angle B\) взаємодоповнюють, оскільки вони є двома непрямими кутами прямокутного трикутника. Це означає, що\(\sin A=\cos B\) і\(\sin B=\cos A\). Якщо\(\sin A=k\), то\(\cos B=k\) так само.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Якщо\(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\),\(\cos\stackrel?{=}\dfrac{1}{2}\).

    Рішення

    Синус і косинус взаємодоповнюючих кутів рівні. \(90^{\circ}−30^{\circ}=60^{\circ}\)доповнює\(30^{\circ}\). Тому,\(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Розглянемо прямокутний трикутник нижче. Знайти\(\tan A\) і\(\tan B\).

    F-D_6381D803F3B9E1340A77b9BF35C98eb57ФБА961Б9534E48052637A85+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення

    \(\tan A=\dfrac{a}{b}\)і\(\tan B=\dfrac{b}{a}\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Загалом, яка залежність між дотичними доповнюють кутів?

    Рішення

    Взагалі, тангенси взаємодоповнюючих кутів є взаємними.

    Рецензія

    1. Як пов'язані два непрямі кути в прямокутному трикутнику? Поясніть.

    2. Як пов'язані синус і косинус взаємодоповнюючих кутів? Поясніть.

    3. Як пов'язані тангенси взаємодоповнюючих кутів? Поясніть.

    Нехай A і B бути два непрямі кути в прямокутний трикутник.

    4. Якщо\(\tan A=\dfrac{1}{2}\), що таке\(\tan B\)?

    5. Якщо\(\sin A=\dfrac{7}{10}\), що таке\(\cos B\)?

    6. Якщо\(\cos A=\dfrac{1}{4}\) що таке\(\sin B\)?

    7. Якщо\(\sin A=\dfrac{3}{5}\),\(\cos \stackrel?{=} \dfrac{3}{5}\)?

    8. Спростити\(\dfrac{\sin A+\cos B}{2}\).

    9. Якщо\(\tan A=\dfrac{2}{3}\) що таке\(\tan B\)?

    10. Якщо\(\tan B=\dfrac{1}{5}\), що таке\(\tan A\)? Який кут більше,\(\angle A\) або\(\angle B\)?

    Вирішити для\(\theta\).

    11. \(\cos 30^{\circ}=\sin \theta\)

    12. \(\sin 75^{\circ}=\cos \theta\)

    13. \(\cos 52^{\circ}=\sin \theta\)

    14. \(\sin 18^{\circ}=\cos \theta\)

    15. \(\cos 49^{\circ}=\sin \theta\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    Додаткові кути Додатковими кутами є пара кутів з сумою\(90^{\circ}\).
    косинус Косинус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, прилеглої до даного кута, на довжину гіпотенузи.
    синус Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Практика: Синус і косинус комплементарних кутів